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15-16版:2.1 充分条件2.2 必要条件(创新设计)


第一章——

§2 充分条件与必要条件
2.1 充分条件
[学习目标]

2.2 必要条件

1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件的意义.

2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.
3. 通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养学

生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.

栏目索引
CONTENTS PAGE

1 预习导学 2 课堂讲义

挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功

3 当堂检测

预习导学

挑战自我,点点落实

[知识链接]
判断下列两个命题的真假,并思考命题(1)中条件和结论之 间的关系: (1)若x>a2+b2,则x>2ab; (2)若|x|=1,则x=1. 答案 (1)为真命题, (2)为假命题.
必要条件
4

2.1 充分条件~2.2

命题(1)中,有x>a2+b2,必有x>2ab,即x>a2+b2?x>2ab,

所以 “x>a2 + b2” 是 “x>2ab” 的充分条件, “x>2ab” 是
“x>a2 +b2” 的必要条件.命题 (2) 中,由 |x| =1 ,可得 x=1

或-1.
结论:一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理 可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p?q,并且 说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
2.1 充分条件~2.2 必要条件
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[预习导引]
充分条件与必要条件
命题真假 推出关系 条件关系 “若p,则q”是真 “若p,则q”是假

命题
P? q

命题
p ?q

p是q的 充分 条件

q是p的 充分 条件

p不是q的 必要 条件 q不是p的 必要条件
必要条件
6

2.1 充分条件~2.2

课堂讲义

重点难点,个个击破

要点一 充分条件、必要条件
例1 指出下列命题中,p是q的什么条件?

(1)p:x2=2x+1,q:x= 2x+1 ;
解 ∵x2=2x+1?x= 2x+1 , x= 2x+1 ?x2=2x+1,∴p是q的必要不充分条件. (2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;

解 ∵a2+b2=0?a=b=0?a+b=0,
a+b=0?a2+b2=0,∴p是q的充分不必要条件.
2.1 充分条件~2.2 必要条件
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(3)p:x=1或x=2,q:x-1=

x-1 ;

解 ∵当x=1或x=2成立时,可得x-1= x-1 成立,反过

来,当x-1= x-1 成立时,可以推出x=1或x=2,
∴p既是q的充分条件,也是q的必要条件.

(4)p:sin α>sin β,q:α>β.
解 由sin α>sin β不能推出α>β,反过来由α>β也不能推出

sin α>sin β,∴p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
2.1 充分条件~2.2 必要条件
8

规律方法 推出p.

要判断 p 是不是 q 的充分条件,就要看 p 能

否推出q,要判断p是不是q的必要条件,就要看q能否

2.1 充分条件~2.2

必要条件

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跟踪演练1 下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的什么条

件?(充分不必要条件,必要不充分条件,既是充分条件也是
必要条件,既不充分也不必要条件)

(1)若x=1,则x2-4x+3=0;
解 因为命题“若x =1,则x2 - 4x + 3 = 0”是真命题,而

命题“若x2 - 4x + 3 = 0,则x =1”是假命题,所以p是q的
充分条件,但不是必要条件,即p是q的充分不必要条件;
2.1 充分条件~2.2 必要条件
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(2)若f(x)=x,则f(x)为增函数;
解 解 ∵p?q,而q?p,∴p是q的充分不必要条件. ∵p?q,而q?p,∴p是q的必要不充分条件. (3)若x为无理数,则x2为无理数; (4)若x=y,则x2=y2;

解 ∵p?q,而q?p,∴p是q的充分不必要条件.
(5)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;

解 ∵p?q,而q?p,∴p是q的充分不必要条件.
(6)若a>b,则ac>bc. 解 ∵p?q,而q?p,∴p是q的既不充分也不必要条件.
2.1 充分条件~2.2 必要条件
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要点二 充分条件、必要条件与集合的关系 例2 是否存在实数 p,使4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件?如 果存在,求出p的取值范围;否则,说明理由. 解 由x2-x-2>0,解得x>2或x<-1, 令A={x|x>2,或x<-1}, p 由4x+p<0,得B={x|x<-4 }, p 当B?A,即-4 ≤-1,即p≥4时, p 此时x<- 4 ≤-1?x2-x-2>0, ∴当p≥4时,4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件.
2.1 充分条件~2.2 必要条件
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规律方法

(1)设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q},

则 p?q 可得 A?B; q?p 可得 B?A ; p?q 可得 A = B ,若 p

是q的充分不必要条件,则A ? B.
(2) 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键 就是找出集合间的包含关系,要注意范围的临界值.

2.1 充分条件~2.2

必要条件

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跟踪演练2 解

已知M={x|(x-a)2<1},N={x|x2-5x-24<0},若M

是N的充分条件,求a的取值范围.
由(x-a)2<1得,x2-2ax+(a-1)(a+1)<0, ∴a-1<x<a+1. 又由x2-5x-24<0得,-3<x<8. ∵M是N的充分条件,∴M?N, ? ?a-1≥-3, ∴ ? 解得-2≤a≤7. ? ?a+1≤8, 故a的取值范围是-2≤a≤7.
2.1 充分条件~2.2 必要条件
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当堂检测

当堂训练,体验成功

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1.“-2<x<1”是“x>1或x<-1”的( C )
A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件
C.既不是充分条件,也不是必要条件

D.既是充分条件,也是必要条件
解析 ∵-2<x<1?x>1或x<-1,且x>1或x<-1?-2<x<1,∴“-

2<x<1”是“x>1或x<-1”的既不充分条件,也不必要条件.
2.1 充分条件~2.2 必要条件
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2.“θ=0”是“sin θ=0”的( A )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件

C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

解析

由于“θ=0”时,一定有“sin θ=0”成立,反之不成立,
必要条件

所以“θ=0”是“sin θ=0”的充分不必要条件.
2.1 充分条件~2.2
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3.“a>b”是“a>|b|”的( B )
A.充分不必要条件

B.必要不充分条件
C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件
解析 由a>|b|?a>b,而a>b推不出a>|b|.
2.1 充分条件~2.2 必要条件
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1 2 3 4

4 .若 “x<m” 是 “(x - 1)(x - 2)>0” 的充分不必要条件,
求m的取值范围.



由(x-1)(x-2)>0可得x>2或x<1,

由已知条件,知{x|x<m} ?{x|x>2,或x<1}. 所以m≤1.故m的取值范围为m≤1.
2.1 充分条件~2.2 必要条件
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课堂小结

1.充分条件、必要条件的判断方法:
(1)定义法:直接利用定义进行判断.

(2)等价法:“p?q”表示p等价于q,要证p?q,只需证
它的逆否命题? q? ? p即可;同理要证q?p,只需证 ? p? ? q即可.所以p?q,只需? q? ? p.

(3)利用集合间的包含关系进行判断.
2.1 充分条件~2.2 必要条件
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2 .根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主 要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转 化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参 数的不等式(组)进行求解.

2.1 充分条件~2.2

必要条件

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