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第二章 函数、导数及其应用 课时跟踪检测(八) 二次函数与幂函数 Word版含答案

课时跟踪检测(八) 一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1 二次函数与幂函数 1.函数 y=x 3 的图象是( ) 解析:选 B 由幂函数 y=x ,若 0<α <1,在第一象限内过(1,1),排除 A、D,又其 α 图象上凸,则排除 C,故选 B. ?5 ? 2 2.函数 y=x +ax+6 在? ,+∞?上是增函数,则 a 的取值范围为( ?2 ? A.(-∞,-5] B.(-∞,5] ) ) ? 25 ? C. ,值域为?- ,-4?,则 m 的取值范围是( ? 4 ? A. ?3 ? B.? ,4? ?2 ? ?3 ? D.? ,3? ?2 ? ?3 ? C.? ,+∞? ?2 ? 3 25 ?3? 解析:选 D 二次函数图象的对称轴为 x= ,且 f? ?=- ,f(3)=f(0)=-4,由图 2 4 ?2? ?3 ? 得 m∈? ,3?. ?2 ? 6.对于任意实数 x,函数 f(x)=(5-a)x -6x+a+5 恒为正值,则 a 的取值范围是 ________. ? ?5-a>0, 解析:由题意可得? ?Δ =36- ? 2 -a a+ <0, 解得-4<a<4. 答案:(-4,4) ?1 ? 2 7.已知函数 f(x)=x -(a-1)x+5 在区间? ,1?上为增函数,那么 f(2)的取值范围 ?2 ? 是________. ?1 ? 2 解析:函数 f(x)=x -(a-1)x+5 在区间? ,1?上为增函数,由于其图象(抛物线)开 ?2 ? 口向上, 所以其对称轴 x= a-1 2 1 1 a-1 1 或与直线 x= 重合或位于直线 x= 的左侧, 即应有 ≤ , 2 2 2 2 解得 a≤2,∴f(2)=4-(a-1)×2+5≥7,即 f(2)≥7. 答案:时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围. 解:(1)因为 f(-2)=1,即 4a-2b+1=1,所以 b=2a. 因为方程 f(x)=0 有且只有一个根,所以 Δ =b -4a=0. 所以 4a -4a=0,所以 a=1,b=2. 所以 f(x)=(x+1) . (2)g(x)=f(x)-kx=x +2x+1-kx=x -(k-2)x+1=?x- 2 2 2 2 2 ? ? k-2?2 2 ? ? +1- k- 4 2 . 由 g(x)的图象知,要满足题意,则 k-2 2 ≥2 或 k-2 2 ≤-1,即 k≥6 或 k≤0, ∴所求实数 k 的取值范围为(-∞,0]∪上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x∈ 上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在上是“关联函数”,区间称为“关联区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在上是“关联函数”,则 m 的取值范围为________. 解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x -5x+4-m 在上有两个不同的零点.在同一直角 坐标系下作出函数 y=m 与 y=x -5x+4(x∈)的图象如图所示,结合图象可知,当 x∈时, 2 2 ? ? ? ? y=x2-5x+4∈?- ,-2?,故当 m∈?- ,-2?时,函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈)的图 4 4 9 9 ? ? ? ? 象有两个交点. ? 9 ? 答案:?- ,-2? ? 4 ? 2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x.现已画出函数 2 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象: (1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈),求函数 g(x)的最小值. 解:(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增. (2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x) +2×(-x)=x -2x(x>0), ∴f(x)=? ?x -2x,x>0, ? ? ?x +2x,x≤0. 2 2 2 2 2 2 (3)g(x)=x -2x-2ax+2,对称轴方程为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值; 当 1<a+1≤2,即 0<a≤1 时,g(a+1)=-a -2a+1 为最小值; 当 a+1>2,即 a>1 时,g(2)=2-4a 为最小值. 1-2a,a≤0, ? ? 2 综上,g(x)min=?-a -2a+1,0<a≤1, ? ?2-4a,a>1. 2


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