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3.1数系的扩充与复数的概念


“数”是万物的本 源,支配整个自然界和 人类社会.世间一切事 物都可归结为数或数的 比例,这是世界所以美 好和谐的源泉.
毕达哥拉斯(约公元前560—480年)

数系的扩充

SHUXI DI KUOCHONG

计数的需要

自然数

正整数



数系的扩充

SHUXI DI KUOCHONG

中国是世界上最早认识应用负数的 国家.早在2000多年前的《九章算术》 中,就有正数和负数的记载.在古代人民 生活中,以收入钱为正,以支出钱为负.在 粮食生产中,以产量增加为正,以产量减 少为负.古代的人们为区别正、负数,常 用红色算筹表示正,黑色算筹表示负.

数系的扩充

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珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米.
吐鲁番盆地大约比海平面低155米.

+8844 -155

数系的扩充

SHUXI DI KUOCHONG

自然数集

整数集

正整数 整 数
自然数 负整数 零

自然数 集

整数 集

有理数集

正整数 自然数 整数 有理数 分数 零

负整数

数系的扩充

SHUXI DI KUOCHONG

自然数 集

整数 集

有理数 集

问题:边长为1的正方形的对角线长度为多少?

1

1

数系的扩充

SHUXI DI KUOCHONG

自然数 集

整数 集

有理数 集

实数 集

正整数 自然数
整数



实 数

有理数

负整数

分数
无理数

数系的扩充

SHUXI DI KUOCHONG

【问题1】在自然数集中方程 x ? 4 ? 0 有解吗? 【问题2】在整数集中方程 x ? 4 ? 0 有解吗?
自然数 整 数

?
自 然 数 负 整 数

数系的扩充

SHUXI DI KUOCHONG

【问题3】在整数集中方程 3x ? 2 ? 0 有解吗?

自然数

整 数

有理数

?
自 然 数 负 整 数

?
整 数 分 数

数系的扩充

SHUXI DI KUOCHONG

【问题4】在有理数集中方程 x ? 2 ? 0 有解吗?
2

x2 ? 1 ? 0 有解吗? 【问题5】在实数集中方程
自然数 整 数

有理数

实 数

?
自 然 数 负 整 数

?
整 数 分 数

?
有 理 数 无 理 数

数系的扩充

SHUXI DI KUOCHONG

【问题4】在有理数集中方程 x ? 2 ? 0 有解吗?
2

x2 ? 1 ? 0 有解吗? 【问题5】在实数集中方程

没有实数根
x ?1 ? 0
2

?

x ? ?1
2

学生活动
讨论

现在我们要进行数系的再 一次扩充就是要解决这个 问题, 怎么解决?

问题6: 你能给出一个解决问题的方 案吗?
引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

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1637年,法国 数学家笛卡尔把这 样的数叫做“虚数”
笛卡尔 (R.Descartes,1596--1661)

欧 拉 Leonhard Euler (1707-1783)
1777年 欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数

高 斯
Johann Carl Friedrich Gauss

(1777—1855)
1801年 高斯系统使用了i这个符号

使之通行于世

数系的扩充

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1.新数 i 叫做虚数单位,并规定: (1)i 2 ? ?1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进 行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.

数系的扩充

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2.复数的概念 (1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用字母 z 表示.

(2) z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部 其中

i 称为虚数单位.

(3)全体复数所形成的集合叫做复数 集,一般用字母 C 表示.

数系的扩充

SHUXI DI KUOCHONG

自然数 集

整数 集

有理数 集

实数 集

复 数 集
有理数

正整数 自然数
整数
负整数



?

实数 虚数

分数

无理数

复数的分类:
复数z=a+bi (a,b?R) 条件 数的类型 b=0 实数 a=b=0 实数0 b≠0 虚数 a=0且b≠0 纯虚数 复数 z=a+bi (a,b?R) 实数 (b=0) 纯虚数(a=0) 虚数(b≠0) 非纯虚数(a≠0) 实数集R是复数 集C的真子集,

R

C

三、复数的分类
?实数(b ? 0) 复数a+bi ? ) ?虚数(b ? 0)(当a ? 0时为纯虚数

如图所示:

?C R?
实数集

复数集 虚数集
纯虚数集

复数集 虚数集 实数集
纯虚数集

C

Z N RQ

1.写出下列复数的实部与虚部.

4,

2 ? 3i, 0 , ? 1 ? 4 i,

6i

2

3

解: 4的实部为 4 ,虚部为 0
2-3i的实部为 2 ,虚部为 -3 0的实部为 0 ,虚部为 0 ; 1 1 4 ? ? i 的实部为? 2 ,虚部为 2 3 6i的实部为 0 ,虚部为 6

;
;
4 3

;



2.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数, 哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。

2? 7

i

2

i 1?

?

2 0 0.618 i 7 3 ? 9 2i i 3 5 +8,

?

3、判断下列命题是否正确:

(1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数
(2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数

(3)若a为实数,则Z= a一定不是虚数

实数m取什么值时, 复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是 (1)实数(2)虚数(3)纯虚数 (4)0 (5)6+2i 解:(1)当 m ? 1 ? 0,即 m ? 1 时,复数z 是实数.
(2)当 m ? 1 ? 0,即 m

例1

? 1 时,复数z 是虚数.

(3)当 m(m ? 1) ? 0 且m ? 1 ? 0 即m ? 0

时,复数z 是纯虚数.

如果两个复数的实部和虚部分别相 等,那么我们就说这两个复数相等.
若a, b, c, d ? R,

?a ? c ??b ? d a ? bi ? c ? di ?
1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系

注 意 2、若Z1,Z2中不都为实数,Z1与Z2只有相 等或不相等两关系,而不能比较大小

数系的扩充

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例2:已知

( x ? y) ? ( x ? 2 y) i ? (2x ? 5) ? (3x ? y) i 求实数 x 与 y
?x ? 3 解得: ? ? y ? ?2
转化

解: 根据两个复数相等的充要条件, 可得方程组

?x ? y ? 2 x ? 5 ? ? x ? 2 y ? 3x ? y

求方程组的解的问题

1、若x,y为实数,且

?

x ? y ? x ? yi ? 2 ? 4i
2 2

?

求x,y.

x=-3,y=4

2-3x-2)+(x2-5x+6) 2.若(2x

i

=0,求x的值.

x=2

探究:任意两个复数可以比较大小吗?

认为可以者,请拿出进行比较的方法;

认为不可以者,请说明理由。
两个实数可以比较大小
实数与虚数不可以比较大小 虚数与虚数不可以比较大小

B

n?Z

*

i
i

4n

?
?

1

4n ?2

-1

i ? i 4n ?3 i ? ?i

4n ?1

课堂小结
1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需 要,到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理 论,形成一个独立的数学分支. 2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方 的矛盾,并将实数集扩充到了复数集,它使得任 何一个复数都可以写成 a+bi(a,b∈R)的形 式.

3.复数包括了实数和虚数,实数的某些性质在复 数集中不成立,如x2≥0; 若x-y>0,则x>y等, 今后在数学解题中,如果没有特殊说明,一般都 在实数集内解决问题.

4.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等

a ? bi

?a ? c ? c ? di ? ? ?b ? d

练习 1、以2i-3的虚部为实部,3i+2i2的实部为虚部 的复数是( A ) A. 2-2i B.2+2i C. -3+3i D. 3+3i

2、设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},那 么( B ) A. R∪M=I B. R∩M={?}

C. R ? M ? I

D. I ? M ? R

练习 3、已知复数Z=(2m2-3m -2)+(m2 -2m)i(m∈R)是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数; 求m的值.



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