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高中数学导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义课件新人教A版_图文

1.1.3 导数的几何意义

主题1 导数的几何意义 1.如图(1)l1是否为曲线在点A处的切线?l2是否为曲线在 点B处的切线?l2是否为曲线在点C处的切线?

提示:l1不是曲线在点A处的切线;l2是曲线以点B为切 点的切线,不是以点C为切点的切线.

2.你能不能类比圆的割线和切线的动态关系,结合图 (2)直观地感知,当Pn→P时对应的一般曲线的切线? 提示:当Pn→P时,割线趋于确定的位置,这个确定位 置上的直线就是曲线在点P处的切线.

3.问题2从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程, 进一步,如图(3)如何研究割线方程和切线方程的变化 关系?

提示:割线逼近切线,不妨设点P(x0,y0), Pn(x0+Δx,f(x0+Δx)).割线PPn的方程为y- f当(xP0n)→= Pf ,(x0即? ?Δ?xxx)-→f0(x时,0) ,(x-变x化0)?的最终结果是

lim f (x0 ? ?x)=-ff′?x(0x? 0),故切线方程

?x?0
就是

y-y0=?xf′(x0)(x-x0).

结论:导数的几何意义 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,用符号 表示为f′(x0)=__?lxi_m?_0_f _(x_0_?_?_?x_x)_?_f_(_x_0)__=_k_ .

【微思考】 求曲线在某点P(x0,y0)处的切线方程时易忽略什么? 提示:易忽略切点在曲线上或忽略切点在切线上.

主题2 导数的概念 已知函数y=x2,完成下表:

2

4

6

8 10 12

结论:导函数的定义:

当x变化时,f′(x)是x的一个函数,称它为f(x)的导

函数(简称导数),

即f′(x)=y′= ___f_?_x_?_?_x_?_?_f_?_x?.

lim

?x?0

?x

【微思考】 导函数f′(x)与函数在x=x0处的导数f′(x0)相同吗? 它们有什么区别与联系? 提示:不相同.y=f(x)导函数为f′(x),f′(x0)是 y=f(x)在x0处的导数.

【预习自测】

1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)的几何意义



()

A.在点x0处的斜率 B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切 值 C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率 D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率

【解析】选C.由导数的几何意义可知函数y=f(x)在x =x0处的导数f ′(x0),即为曲线在点(x0,f(x0))处 的切线的斜率.

2.设f ′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处

的切线

()

A.不存在

B.与x轴平行或重合

C.与x轴垂直

D.与x轴斜交

【解析】选B.曲线在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0, 切线平行或重合于x轴.

3.函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的

截距为

()

A.10

B.5

C.-1

D. ? 3

7

【解析】选D.因为f(x)=x3+4x+5, 所以f′(x)=3x2+4,
所以f′(1)=7,即切线斜率为7,
又f(1)=10,故切点坐标为(1,10),
所以切线的方程为:y-10=7(x-1),当y=0时,x= - . 3 7

4.过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为 _______.

【解析】依题意得,割线的斜率为 2 ?1 =1. 1?0
答案:1

5.抛物线y2=x与x轴、y轴都只有一个公共点,但只 有_______是它的切线,而_______不是它的切线.

【解析】根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线 y2=x的一条切线,x轴不是切线. 答案:y轴 x轴

6.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C

的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),试求

f ?1? ?x? ? f ?1? 的值.

lim

?x?0

?x

【解析】由导数的概念和几何意义知,lim f (1? ?x) ? f (1)

?x?0

?x

=f ′(1)=kAB= 0 ? 4=-2.

2?0

类型一 求曲线的切线方程

【典例1】(1)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴

交点的纵坐标是

()

A.-9

B.-3

C.9

D.15

(2)已知曲线方程为y=x2,则过点A(2,4)且与曲线相切

的直线方程为__________.

【解题指南】(1)先求出函数y=x3+11在x=1处的导数, 再求出切线方程,最后求与y轴交点的纵坐标. (2)由于点A在曲线上,可利用导数的几何意义,求出 切线的斜率,再利用点斜式写出直线的方程.

【解析】(1)选C.

y?

|x?1

?

lim[(1
?x?0

?

?x)3

?11]-(13 ?x

?

11)

= ?1? ?x?3-1

lim

?x?0 ?x

= ?1? ?x-1[? ?1? ?x?2 ?1? ?x ?1]

lim

= ?x?0

?x =3,

lim[??x?2 ? 3?x ? 3]
?x?0

所 以 曲 线 y=x3+11 在 点 P(1,12) 处 的 切 线 方 程 为 y - 12= 3(x-1),即3x-y+9=0, 令x=0,解得y=9, 所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的 纵坐标是9.

(2)因为f′(x)=

?x ? ?x?2 ? x2
lim

?x?0

?x

= 2?xgx ? ??x?2

lim

?x?0


=?2xx,

lim ?2x+?x?
?x?0

又点A(2,4)在曲线y=x2上,所以f′(2)=4, 所以所求切线的斜率k=4, 故所求切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 答案:4x-y-4=0

【延伸探究】 1.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为“点B(0,0)”, 则结果如何?

【解析】因为f′(x)=

(x ? ?x)2 ? x2 lim

?x?0

?x

=又点?lxiBm?(0 20?,x0g)x?在?x?曲?x线?2 y==x2?l上xim?0,(2x所+以?xf) ′=(20x),=0,

所以所求切线的斜率k=0,

故所求切线的方程为y-0=0(x-0),即y=0.

2.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为“点C(3,5)”, 则结果如何?

【解析】因为点C(3,5)不在曲线y=x2上,

所以设切点坐标为(x0,x20).

因为f′(x)= ?x ? ?x?2 ? x2

lim

=

?x?0

2?xgx ? ??x?2

2x0?l,xim?0

?x

=

?x

=2x,所以f′(x0)=

lim ?2x ? ?x??
?x?0

所以切线的斜率k=2x0, 切线方程为y-x20=2x0(x-x0),又因为点C(3,5)在切 线上,所以5-x20=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5. 所以切点坐标为(1,1),(5,25). 故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5), 即2x-y-1=0或10x-y-25=0.

【方法总结】 1.求曲线在点P(x0,y0)处切线的步骤 (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f ′(x0). (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0= f ′(x0)(x-x0).

2.过曲线外的点P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q(x0,y0). (2)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f ′(x0).

(3)利用Q在曲线上,点P(x1,y1)在切线上和f ′(x0)= kPQ,解出x0,y0及f ′(x0). (4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0= f ′(x0)·(x-x0).

【补偿训练】在曲线y=x2上,点P处的切线垂直于直

线2x-6y+5=0,则P点坐标为( )

A.(2,4)

C.( , )

?1 2

1 4

B.( , ) D.(-?232,494)

【解析】选B.f′(x)= lim f (x ? ?x) ? f (x)

?x?0

?x

= ?x ? ?x?2 ? x2 =2x,

lim

设P?x(?x00,y0)?是x 满足条件的点,

因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,

所以2x0· =-1,得x0= ,y0= .

1 3

?3

9

24

类型二 求曲线的切点 【典例2】已知曲线y=2x2+a在点P处的切线方程为8xy-15=0,求切点P的坐标和实数a的值. 【解题指南】根据切线方程得到切线斜率为8,即 f′(x)=8,解导数方程即可得到结论.

【解析】设切点P的坐标为(x0,y0),切线斜率为k.

? ? 由y′=

lim

?y

?

[2?
lim

x

?

?x ?2

?

a]?

2x2 ? a

=

?x?0=?x4x,?x?0

?x

lim ?4x ? 2?x?
得 ?x?0 =4x0.

k ? y? |x?x0

根据题意得4x0=8,x0=2, 分别代入y=2x2+a和y=8x-15, 得a=-7,y0=1. 故所求切点为P(2,1),a=-7.

【方法总结】求曲线切点坐标的步骤
(1)设切点:先设出切点坐标(x0,y0). (2)求斜率:求切线的斜率f′(x0). (3)列方程:由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方 程求x0. (4) 求 切 点 : 因 点 (x0,y0) 在 曲 线 上 , 将 (x0,y0) 代 入 曲 线方程求y0,得切点坐标.

【巩固训练】如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直线 y=4x+3平行,那么曲线与切线相切的切点坐标为
() A.(1,-8) B.(-1,-12) C.(1,-8)或(-1,-12) D.(1,-12)或(-1,-8)

【解析】选C.设切点坐标为P(x0,y0), 则y0=x30+x0-10的切线斜率为k=

lim

(x0

?

3
?x)

?

(x0

?

?x)

?10

?

(

x

3 0

?

x0

?10)

=?x?0

?x

lim

3x

2 0

?x

?

3x0

?

?x

?2

?

??x

?3

?

?x

?x?0

?x

? ? =

lim[
?x?0

3x20+1

+3x 0=?x3+x?2?0x+?2 1]=4,

所以x0=±1,

当x0=1时,y0=-8,当x0=-1时,y0=-12,

所以切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).

类型三 导数几何意义的综合应用

【 典 例 3】(1) 若 曲 线 y=x2+ax+b 在 点 (0,b) 处 的 切 线 方

程为x-y+1=0,则( )

A.a=1,b=1

B.a=-1,b=1

C.a=1,b=-1

D.a=-1,b=-1

(2)(2017·福州高二检测)已知函数f(x)的图象如图所 示,下列数值的排序正确的是( ) A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3)

【解题指南】(1)利用切点在切线上,切点在曲线上, 切点处的导数等于切线斜率求解. (2)从图象上可以看出f(2)与f(3)的大小,且其值大于1; 再由导数的几何意义,看出f′(2)与f′(3)的大小且其值 小于1.

【解析】(1)选A.将点(0,b)代入x-y+1=0中,得b=1,

由导数的几何意义得,

k=

[?0 ? ?x?2 ? a ?0 ? ?x? ? b]-b

y? =

|x?0

?

lim
?x?0

=a=?1x,

综上,lima=??1x,?2 ?ba=?1x .? lim (?x ? a)

?x?0 ?x

?x?0

(2)选B.根据导数的几何意义,在x∈[2,3]上,曲线

在x=2处切线斜率最大,k= f ?3? ? f=?2f?(3)-f(2)>

f′(3).

3?2

【方法总结】有关导数的几何意义的综合问题的求解 策略 (1)转化:利用导数的几何意义把问题转化为求切线方 程或切点坐标问题. (2)数形结合:注意方程思想、数形结合思想的应用.

【巩固训练】已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线 上的点到直线的最短距离.

【解析】根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线

y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短.

设切点坐标为(x0,x20),



=2x0=1,

所以yx? |x0?=x0 ? ?l,xim所?0 (以x0切? ?点?xx)坐2 ?标x2为0 ( , ).

1

11

2

24

切点到直线x-y-2=0的距离为d=| 1 ? 1 ? 2=| 7, 2 24
所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最2 短距离为8 7 2 . 8

【补偿训练】(2017·泰安高二检测)如果f′(x)是二

次 函 数 , 且 f′(x) 的 图 象 开 口 向 上 , 顶 点 坐 标 为

(1, ),那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α 的取值3 范围是( )

A.(0, ]
C.( , ? ] 3
? 2? 23

B.[ , ) D.[ ? ,π?)
32 ? 3

【解题指南】由二次函数的图象可知最小值为 3 ,再
根据导数的几何意义可知k=tan α≥ ,结合正切函 3
数的图象求出角α的范围.

【解析】选B.根据题意得f′(x)≥ 3 ,则曲线y=f(x)
上任一点的切线的斜率k=tan α≥ ,结合正切函数 3
的图象可得α∈[ , ). ??
32

【课堂小结】 1.知识总结

2.方法总结 (1) 函 数 y=f(x) 在 点 x0 处 的 导 数 的 几 何 意 义 是 曲 线 y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.也就是说,曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0),相 应地,切线的方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

(2)导数f′(x)是针对某一区间内任意点x而言的,函 数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,是指对于区间 (a,b)内的每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导 数f′(x0),根据函数的定义,在区间(a,b)内就构成了 一个新的函数,就是函数f(x)的导函数f′(x).



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