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高中数学排列组合例题


排列组合 一.特殊元素和特殊位置优先策略
例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 C3
1 1 3 A4

到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 76 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种
n

然后排首位共有 C4

最后排其它位置共有

由分步计数原理得 C4C3 A4

1

1

3

? 288

C4

1

A4

3

C3

1

练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如 果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 7 8 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 A 4 并 4 从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有(8-1) !种排法即 7 !
C D E B A A B C D E F G H A F G H

练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内 部进行自排。由分步计数原理可得共有
5 2 2 A5 A2 A2 ? 480 种不同的排法

甲 乙

丙 丁

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆 形排列共有

1 m An n

三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有
4 第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A 6 A 5 种, 5

不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有

4 A5 A6 5



元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新 端
节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间 的全排列数,则共有不同排法种数是:

练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A 2 4 种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A14 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列 有 A 5 种,则共有 A 2 A1 A5 种 5 4 4 5

A 7 / A3 7 3
4 A 7 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有

(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有

1 种坐法,则共有 A 7 种方法。

4

思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有

方法

前 排
练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
5 C10

后 排

定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研 究.

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配

练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间 的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略
1

例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C52 种方法.再把 4 个元素(包含一个 复合元素)装入 4 个不同的盒内有 A 4 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有 4
4 C52 A 4

练习题:一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之 间,这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有 A 2 种排法,再排小集团内部共有 2
A A 种排法,由分步计数原理共有 A A A 种排法.
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? C94 3 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数 C103 十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的 取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中 有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C53 ,只含有 1 个偶数的取
1 1 法有 C5C52 ,和为偶数的取法共有 C5C52 ? C53 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条
1 件的取法共有 C5C52 ? C53 ? 9

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面,再从整体中淘汰.

1524
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

3

练习题: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求 同一 品种的必须连在一起, 并且水彩画不在两端, 那么共有陈列方式的种数 2 5 4 为 A 2 A5 A 4 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 A 2 A 5 A 5 种 2 5 5 十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9 个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每 一种插板方法对应一种分法共有 C96 种分法。

练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在 内的 抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 解: 分三步取书得 C62C42C22 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 2 2 2 C6 C4 C2 中 还 有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共 有 A 3 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 C62C42C22 / A 3 种分法。 3 3
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 A n ( n 为均分的 组数)避免重复计数。
n

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板, 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 Cn?1
m?1

练习题: 5 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法?( C13C84C44 / A 2 ) 2 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少 种不同的 分组方法 (1540) 3.某校高二年级共有六个班级, 现从外地转 入 4 名学生, 要安排到该年级的两个班级 且每班安
2

2 2 排 2 名,则不同的安排方案种数为______( C42C22 A6 / A 2? 90 ) 十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人 唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标 准进行研究 只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C32C32 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选 1 1 上唱歌人员 C5C3C42 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C52C52 种, 由分类

际操作法,如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时,则 4,5 号球有 只有 1 种装法, 同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数 2 原理有 2C5 种

5
3 号盒

3
4 号盒

4
5 号盒

计数原理共有
2 2 1 1 2 2 2 C3 C3 ? C5C3C4 ? C5 C5 种。

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果

练习题: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会, 若这 4 人中必须既有男生又 有女生,则不同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人, 他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. (27) 本题还有如下分类标准: *以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能 关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少 种? 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C53 种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒 模型等,可使问题直观解决

练习题: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡, 则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种? (9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种
1 3 2 5 4

十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析:先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积, 1 所有的偶因数为: C5 ? C52 ? C53 ? C54 ? C55 练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线 解:我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 C84 ?12 ? 58 ,每个四面体 有 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成 3 ? 58 ? 174 对异面直线 十七.化归策略 例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的 选法有多少种? 解: 将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也 不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这
3

练习题:某排共有 10 个座位,若 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法 有多少种?(120) 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这 五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法 解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C52 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实

→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7
1 1 人所在的行列都划掉, 如此继续下去.从 3×3 方队中选 3 人的方法有 C3C2C11 种。

再从 5×5 方阵选出 3×3 方阵便可解决问题.从 5×5 方队中选取 3 行 3 列有 C53C53 选法所以从 5×5 方阵选不在同一行也不在 1 1 同一列的 3 人有 C53C53C3C2C11 选法。

分析:因同一学生可以同时夺得 n 项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作 7 家 “店”,五项冠军看作 5 名“客”,每个“客”有 7 种住宿法,由乘法原理得 7 5 种.
22.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再消去这几个元素的顺序.或者,先让其它元素选取位置排列, 留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例 4. 5 个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法? 5 解法 1:将 5 个人依次站成一排,有 A5 种站法, 2 然后再消去甲乙之间的顺序数 A2 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
5 A5 3 ? 5 ? 4 ? 3 ? A5 2 A2

练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路, A 走到 B 的最短 从 3 路径有多少种?( C7 ? 35 )

B

3 解法 2:先让甲乙之外的三人从 5 个位置选出 3 个站好,有 A5 种站法,留下的两个位置自然给甲乙有 1 种站法 3 3 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 ?1 ? A5 变式:如下图所示,有 5 横 8 竖构成的方格图,从 A 到 B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?

A
十八.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数? 解: N ? 2 A55 ? 2 A44 ? A33 ? A22 ? A11 ? 297 练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列 起来,第 71 个数是 3140 十九.树图策略 例 19. 3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球仍回到甲的 N ? 10 手中,则不同的传球方式有______ 练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅( i ? 1,2,3,4,5 )的 不同坐法有多少种? N ? 44 二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只, 要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 解: 红 1 1 1 2 2 3
黄 兰 取法 1 3
1 1 C5 C 4

B

A

B

解:

如图所示

A

2 2
1 2 C5 C 4

3 1
1 3 C5 C 4

1 2
1 C52 C3

2 1

1 1
3 1 C5 C 2

二十一:住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素: 一类元素可以重复, 另一类不能重复, 把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数 有 .

C52 C32

将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11 格: 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列,有 11 4 7 A4 ? A7 其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经, 所以从 A 到 B 共有

A11

种排法.

5 4 C(5??11)?(8?1) ? C11

条不同的路径.
4

5


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