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2009年高考数学试题分类汇编——概率与统计


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2009 年高考数学试题分类汇编——概率与统计 年高考数学试题分类汇编—— ——概率与统计
一、选择题 1.(2009 山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品 净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) ,[98,100), [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且 小于 104 克的产品的个数是( A.90 B.75 C. 60 D.45 ). 96 98 100 102 104 106 克 第 8 题图 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 频率/组距

【解析】:产品净重小于 100 克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,设样本容量为 n , 则

36 = 0.300 ,所以 n = 120 ,净重大于或等于 98 克并且小于 n

104 克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本 中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120×0.75=90.故选 A. 答案:A 【命题立意】 :本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关 的数据. 2.(2009 山东卷理)在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos ( A. ).

πx
2

的值介于 0 到

1 之间的概率为 2

1 3

B.

2

π π

C.

1 2

D.

2 3

2 2 2 2 需使 ? ≤ ≤? 或 ≤ ≤ ∴ ?1 ≤ x ≤ ? 或 ≤ x ≤ 1 ,区间长度为 ,由几何概 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 πx 1 1 型知 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 3 = .故选 A. 2 2 2 3

【解析】:在区间[-1,1]上随机取一个数 x,即 x ∈ [ ?1,1] 时,要使 cos

πx

的值介于 0 到

π

πx

π

πx

π

1 之间, 2

答案:A 【命题立意】 :本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函数值
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cos

πx
2

的范围,再由长度型几何概型求得.

3.(2009 山东卷文)在区间 [ ? ( A. ).

π π

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 2 2 3

【解析】 :在区间 [ ?

π π 1 , ] 上随机取一个数 x,即 x ∈ [? , ] 时,要使 cos x 的值介于 0 到 之 2 2 2 2 2 π π π π π 1 间,需使 ? ≤ x ≤ ? 或 ≤ x ≤ ,区间长度为 ,由几何概型知 cos x 的值介于 0 到 之 2 3 3 2 3 2

1 3

B.

2

π

C.

π π

1 2

D.

π

1 间的概率为 3 = .故选 A.

π

3

答案:A 【命题立意】 :本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函数值

cos x 的范围,再由长度型几何概型求得.
4.(2009 安徽卷理)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙 也从这 6 个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 (A)

1 75

(B)

2 75

(C)

3 75

(D)

4 75

[解析 如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 解析] 解析 6 个点中任意选两个点连成直线,共有 C6 ? C6 = 15 × 15 = 225
2 2

?B ?
C

?F ?E ? A

?D

种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有

AC // DB, AD // CB, AE // BF, AF // BE , CE // FD, CF // ED
共 12 对,所以所求概率为 p =

12 4 = ,选 D 225 75

5.(2009 安徽卷文)考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩下的 3 个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于

A.1

B.

C.

D. 0

w.w.w.k.s.5.u.c.o .m

【解析】 依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有 C6 个.由正方体各中心的对称性可得任 取三个点必构成等边三角形,故概率为 1,选 A。 【答案】A
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w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3

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6.(2009 江西卷文)甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相 等,现任意将这 4 个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率 为 A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

答案:D 【解析】所有可能的比赛分组情况共有 4 × 故选 D . 7.(2009 江西卷理)为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片,每袋食品 随机装入一张卡片,集齐 3 种卡片可获奖,现购买该种食品 5 袋,能获奖的概率为 A.

C42C22 = 12 种,甲乙相遇的分组情况恰好有 6 种, 2!

31 81

B.

33 81

C.

48 81

D.

50 81

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

答案:D 【解析】 P =

35 ? (3 × 25 ? 3) 50 = 故选 D 35 81

8.(2009 四川卷文)设矩形的长为 a ,宽为 b ,其比满足 b ∶ a =

5 ?1 ≈ 0.618 ,这种矩 2

形给人以美感,称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽 取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次:0.598 乙批次:0.618 0.625 0.613 0.628 0.592 0.595 0.622 0.639 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论是 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 【答案】A 答案】 【解析】甲批次的平均数为 0.617,乙批次的平均数为 0.613 解析】 9.(2009 宁夏海南卷理)对变量 x, y 有观测数据理力争( x1 , y1 ) (i=1,2,…,10) ,得散点
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图 1;对变量 u ,v 有观测数据( u1 , v1 ) (i=1,2,…,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以 判断。

(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关

(B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关

解析:由这两个散点图可以判断,变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关,选 C 10.(2009 辽宁卷文)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机 取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 (A)

π
4

(B) 1 ?

π
4

(C)

π
8

(D) 1 ?

π
8
π
2

【解析】长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为

因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 ? 【答案】B

π
2

÷2=

π
4

π
4

11.(2009 四川卷文)设矩形的长为 a ,宽为 b ,其比满足 b ∶ a =

5 ?1 ≈ 0.618 ,这种矩 2

形给人以美感,称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽 取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次:0.598 乙批次:0.618 0.625 0.613 0.628 0.592 0.595 0.622 0.639 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论是 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近
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B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 【答案】A 答案】 【解析】甲批次的平均数为 0.617,乙批次的平均数为 0.613 解析】 【备考提示】用以上各数据与 0.618(或 0.6)的差进行计算,以减少 备考提示】 计算量,说明多思则少算。 12.(2009 陕西卷文)某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数 是老年职工人数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的 样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 (A)9 答案 B. 解析:由比例可得该单位老年职工共有 90 人,用分层抽样的比例应抽取 18 人. 13.(2009 福建卷文)一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别 (B)18 (C)27 (D) 36

(0,10]

(20, 20]

(20,30)

(30, 40)

(40,50]

(50, 60]

(60, 70]

频数

12

13

24

15

16

13

7

则样本数据落在 (10, 40) 上的频率为 A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64

解析 由题意可知频数在 (10, 40 ] 的有:13+24+15=52,由频率=频数 ÷ 总数可得 0.52.故选 C. 14.(2009 年上海卷理)若事件 E 与 F 相互独立,且 P ( E ) = P ( F ) = 等于 (A) 0 【答案】B 【解析】 P ( E I F ) = P ( E ) ? P ( F ) = (B)

1 ,则 P ( E I F ) 的值 4

1 16

(C)

1 4

(D)

1 2

1 1 1 × = 4 4 16

15.(2009 年上海卷理)在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有 发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人” 。根据过去 10 天
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甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是 (A)甲地:总体均值为 3,中位数为 4 (C)丙地:中位数为 2,众数为 3 【答案】D 【解析】根据信息可知,连续 10 天内,每天的新增疑似病例不能有超过 7 的数,选项 A 中, 中位数为 4, 可能存在大于 7 的数; 同理, 在选项 C 中也有可能; 选项 B 中的总体方差大于 0, 叙述不明确,如果数目太大,也有可能存在大于 7 的数;选项 D 中,根据方差公式,如果有 大于 7 的数存在,那么方差不会为 3,故答案选 D. 二、填空题 1.(2009 年广东卷文)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2,现要从中抽取 40 名职工作样 本,用系统抽样法,将全体职工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号, 6-10 号…,196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取 人. 。若 (B)乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 (D)丁地:总体均值为 2,总体方差为 3

图 2 【答案】37, 20

【解析】由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,所以第 6 组抽出的号码 为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37. 40 岁以下年龄段的职工数为 200 × 0.5 = 100 ,则应抽取的人数为

40 × 100 = 20 人. 200

2.( 2009 广 东 卷 理 ) 已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX = 0 , DX = 1 ,则

a=

,b =



【解析】 由题知 a + b + c =

11 1 1 5 2 2 , a + c + = 0 , × a +1 × c + 2 × ? 12 = 1, 解得 a = , 12 6 12 12

b=

1 . 4

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3.(2009 浙江卷文)某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下,则在区间 [4,5) 上的数据 3. 的频数为 ..

30【命题意图】此题考查了频率分布直方图,通过设问既考查了设图能力,也考查了运用图


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表解决实际问题的水平和能力 【解析】对于在区间 [ 4,5] 的频率/组距的数值为 0.3 ,而总数为 100,因此频数为 30 4.(2009 安徽卷理)若随机变量 X ~ N ( ? , σ ) ,则 4.
2
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

P ( X ≤ ? ) =________.
[解析]

1 2

5.(2009 安徽卷文)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段 为边可以构成三角形的概率是________。 【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况: 2、3、4 或 3、4、5 或 2、4、5,故 P = 【答案】0.75 6.(2009 江苏卷)现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9, 若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10, 它们的长度恰好相差 0.3m 的事 件数为 2,分别是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为 0.2。 7.(2009 江苏卷)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习, 每人投 10 次,投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2

3 3 = =0.75. 3 C4 4

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

.

3号 7 6 .

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s = 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。 甲班的方差较小,数据的平均值为 7, 故方差 s =
2

(6 ? 7) 2 + 02 + 0 2 + (8 ? 7) 2 + 02 2 = 5 5

8.(2009 辽宁卷理)某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比 为 1:2:1,用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产的电子产品中 共取 100 件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产
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品的使用寿命的平均值分别为 980h,1020h,1032h,则抽取的 100 件产品的使用寿命 的平均值为 【解析】 x = h.

980 × 1+1020 × 2+1032 ×1 =1013 4

【答案】1013 9.(2009 湖北卷文)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8、0.6、0.5, 则三人都达标的概率是 【答案】0.24 0.76 ,三人中至少有一人达标的概率是 。

【解析】三人均达标为 0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为 1-0.24=0.76 10.(2009 湖北卷文)下图是样本容量为 200 的频率分布直方图。 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在【6,10】内的频数为 10)内的概率约为 。 ,数据落在(2,

【答案】64 【解析】观察直方图易得频数为 200 × 0.08 × 4 = 64 ,频 率为 0.1 × 4 = 0.4 11.(2009 湖南卷文) 一个总体分为 A,B 两层,用分 层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本。 已知 B

1 ,则总体中的个体数为 120 12 10 1 解: 设总体中的个体数为 x ,则 = ? x = 120. x 12
层中每个个体被抽到的概率都为

.

12.(2009 湖南卷理)一个总体分为 A,B 两层,其个体数之比为 4:1,用分层抽样方法从总体 中抽取一个容量为 10 的样本,已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 位 50 。 【答案】 :40 【解析】由条件易知 B 层中抽取的样本数是 2,设 B 层总体数是 n ,则又由 B 层中甲、乙都

1 ,则总体中的个数数 28

C2 1 2 被抽到的概率是 2 = ,可得 n = 8 ,所以总体中的个数是 4 × 8 + 8 = 40 C n 28
13.(2009 天津卷理)某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工 俭学的情况, 拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。 已知该学院的 A 专业有 380
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名学生,B 专业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取____名学生。 【考点定位】本小题考查分层抽样,基础题。 解析:C 专业的学生有 1200 ? 380 ? 420 = 400 ,由分层抽样原理,应抽取 120 × 名。 14.(2009 福建卷文)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B, 则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 。

400 = 40 1200

解析解析:如图可设 AB = 1 ,则 AB = 1 ,根据几何概率可知其整体事件 解析 是其周长 3 ,则其概率是

2 。 3

w。w.w. k. s.5.u.c. o.m

15. 2009 上海卷文) ( 若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者, 则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是 【答案】 (结果用最简分数表示) 。

5 7

【解析】因为只有 2 名女生,所以选出 3 人中至少有一名男生,当选出的学生全是男生时有:
3 C 5 ,概率为::

3 C5 2 2 5 = ,所以,均不少于 1 名的概率为:1- = 。 3 7 7 C7 7

16.(2009 重庆卷文)5 个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有 字作答) . 【答案】72

种(用数

解析可恩两个步骤完成,第一步骤先排除甲乙外的其他三人,有 A 3 种,第二步将甲乙二人插 入前人形成的四个空隙中,有 A 4 种,则甲、乙两不相邻的排法有 A 3 A 4 = 72 种。
2 3 2

3

17. (2009 重庆卷文) 从一堆苹果中任取 5 只, 称得它们的质量如下 (单位: 125 124 121 克) 123 127 则该样本标准差 s = (克) (用数字作答) .

【答案】2 解 析 因 为 样 本 平 均 数 x=

1 (125 + 124 + 121 + 123 + 127) = 124 , 则 样 本 方 差 5

1 s 2 = (12 + O 2 + 32 + 12 + 32 ) = 4, 所以 s = 2 5
18.(2009 湖北卷理)样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图
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估 计 , 样 本 数 据 落 在 [6,10) 内 的 频 数 为 为 【答案】64 . 0.4

, 数 据 落 在 [2,10) 内 的 概 率 约

【解析】由于在 [6,10) 范围内频数、组距是 0.08,所以频率是 0.08*组距=0.32,而频数=频率* 样本容量,所以频数=(0.08*4)*200=64 同样在 [2, 6) 范围内的频数为 16,所以在 [2,10) 范围内的频数和为 80,概率为 80/200=0.4 三、解答题 1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 13 分) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图 7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率.

【解析】 由茎叶图可知: (1) 甲班身高集中于 160 : 179 之 间,而乙班身高集中于 170 : 180 之间。因此乙班平均身高高于甲班;

158 + 162 + 163 + 168 + 168 + 170 + 171 + 179 + 179 + 182 = 170 10 1 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158?170)2 +(162?170) +(163?170) +(168?170) +(168?170) 10
(2) x =

+ (170 ? 170 ) + (171 ? 170 ) + (179 ? 170 ) + (179 ? 170 ) + (182 ? 170 ) ] =57
2 2 2 2 2

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件; ;

∴ P ( A) =

4 2 = 10 5

2.( 2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
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对某城市一年 (365 天) 的空气质量进行监测, 获得的 API 数据按照区间 [0,50] , 50,100] , (

(100,150] , (150,200] , (200,250] , (250,300] 进行分组,得到频率分布直方图如图 5.
(1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. ( 结 果 用 分 数 表 示 . 已 知 5 = 78125 , 2 = 128 ,
7 7

3 2 7 + + 1825 365 1825

3 8 123 + = , 365 = 73 × 5 ) 1825 9125 9125 3 2 7 3 8 123 解: (1)由图可知 50x = 1 ? ( + + + + ) × 50 = 1 ? × 50 ,解 1825 365 1825 1825 9125 9125 119 得x = ; 18250 119 2 (2) 365 × ( × 50 + × 50) = 219 ; 18250 365 +
(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为

119 2 219 3 3 2 × 50 + × 50 = = ,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 1 ? = , 18250 365 365 5 5 5 2 7 3 0 2 6 3 1 76653 7 6 一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 1 ? C 7 ( ) ( ) ? C 7 ( ) ( ) = . 5 5 5 5 78125 3.(2009 浙江卷理) (本题满分 14 分)在 1, 2 , 3, ? , 9 这 9 个自然数中,任取 3 个数.
(I)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率;
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(II)设 ξ 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1, 2,3 ,则有两组相邻的数

1, 2 和 2, 3 ,此时 ξ 的值是 2 ) .求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ .
1 C4C5 2 10 解析: (I)记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A,则 P ( A) = = ; 3 C9 21
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(II)随机变量 ξ 的取值为 0,1, 2, ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

5 12

1 2
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

1 12

所以 ξ 的数学期望为 Eξ = 0 ×

5 1 1 2 + 1× + 2 × = 12 2 12 3

4.(2009 北京卷文) (本小题共 13 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的 概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运 用概率知识解决实际问题的能力. (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于 事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以事件 A 的 概率为 P ( A ) = ? 1 ? ? × ?1 ? ? ×

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . = 3 ? 3 27

(Ⅱ) 设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B, 这名学生 在上学路上遇到 k 次红灯的事件 Bk ( k = 0,1, 2 ) . 则由题意,得 P ( B0 ) = ?
1 3

? 2 ? 16 ? = , ? 3 ? 81
2 2

4

24 ? 1 ? ? 2 ? 32 ?1? ? 2? P ( B1 ) = C ? ? ? ? = , P ( B2 ) = C42 ? ? ? ? = . 81 ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 3? ? 3?
1 4

由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” , ∴事件 B 的概率为 P ( B ) = P ( B0 ) + P ( B1 ) + P ( B2 ) =
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8 . 9

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5.(2009 北京卷理) (本小题共 13 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红 灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布列及期望. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随 解析】 机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于 事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以事件 A 的 概率为 P ( A ) = ? 1 ? ? × ?1 ? ? ×

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . = 3 ? 3 27

(Ⅱ)由题意,可得 ξ 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ξ = 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯” k = 0,1,2,3,4) ( ,

?1? ?2? ∴ P (ξ = 2k ) = C ? ? ? ? ?3? ? 3?
4 k

k

4? k

( k = 0,1, 2,3, 4 ) ,

∴即 ξ 的分布列是

ξ
P

0

2

4

6

8

32 8 8 81 27 81 16 32 8 8 1 8 ∴ ξ 的期望是 Eξ = 0 × + 2× + 4× + 6× + 8× = . 81 81 27 81 81 3

16 81

1 81

6.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次, 某同学在 A 处的命中率 q 1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 ,该同学选择先在 A 处投一球,以 后都在 B 处投,用 ξ 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为

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ξ
p

0 0.03

2 P1

3 P2

4 P3

5 P4

(1) 求 q 2 的值; (2) 求随机变量 ξ 的数学期望 E ξ ; (3) 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概 率的大小。 解:(1)设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25, P ( A) = 0.75 , P(B)= q 2 , P ( B ) = 1 ? q2 . 根据分布列知: ξ =0 时 P ( ABB ) = P ( A) P ( B ) P ( B ) = 0.75(1 ? q2 ) =0.03,所以 1 ? q2 = 0.2 ,
2

q 2 =0.8. (2)当 ξ =2 时, P1= P ( AB B + A BB ) = P( AB B ) + P ( A BB )

= P( A) P( B) P( B) + P( A) P( B) P( B) =0.75 q 2 ( 1 ? q2 )×2=1.5 q 2 ( 1 ? q2 )=0.24
当 ξ =3 时, P2 = P ( ABB ) = P ( A) P ( B ) P ( B ) = 0.25(1 ? q2 ) =0.01,
2

当 ξ =4 时, P3= P ( ABB ) = P ( A) P ( B ) P ( B ) = 0.75q2 =0.48,
2

当 ξ =5 时, P4= P ( ABB + AB ) = P ( ABB ) + P ( AB )

= P( A) P( B) P( B) + P ( A) P( B) = 0.25q2 (1 ? q2 ) + 0.25q2 =0.24
所以随机变量 ξ 的分布列为

ξ
p

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

随机变量 ξ 的数学期望 Eξ = 0 × 0.03 + 2 × 0.24 + 3 × 0.01 + 4 × 0.48 + 5 × 0.24 = 3.63 (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P ( BBB + BBB + BB )

= P ( BBB ) + P ( BBB ) + P ( BB ) = 2(1 ? q2 )q2 2 + q2 2 = 0.896 ;
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72.
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由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. 【命题立意】 :本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率 知识解决问题的能力. 7.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表 (单位:辆): 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1) 求 z 的值. (2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从 中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数

与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 解 : (1). 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 , z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以

50 10 = , 所 以 n=2000. n 100 + 300

400 m = ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 1000 5

S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆,至少 有 1 辆舒适型轿车的概率为 (3)样本的平均数为 x =

7 . 10

1 (9.4 + 8.6 + 9.2 + 9.6 + 8.7 + 9.3 + 9.0 + 8.2) = 9 , 8
8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4,

总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为

6 = 0.75 . 8

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【命题立意】 :本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题. 要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答. 8.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人,其中有 6 名女工人。 现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行 技术考核。 (Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数; (Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (Ⅲ)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

解析:本题考查概率统计知识, 解析:本题考查概率统计知识,要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概 率的能力,第一问直接利用分层统计原理即可得人数,第二问注意要用组合公式得出概率, 率的能力,第一问直接利用分层统计原理即可得人数,第二问注意要用组合公式得出概率, 第三问关键是理解清楚题意以及恰有 名男工人的具体含义 从而正确分类求概率。 的具体含义, 第三问关键是理解清楚题意以及恰有 2 名男工人的具体含义,从而正确分类求概率。 清楚题意以及 解: (I)由于甲、乙两组各有 10 名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取 4 名 工人进行技术考核,则从每组各抽取 2 名工人。 (II)记 A 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则

P( A) =

1 1 C4C6 8 = 2 15 C10

(III) Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人, i = 0,2 1,

B j 表示事件:从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人, j = 0,2 1, B 表示事件:抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

Ai 与 B j 独立, i,j = 0,2 ,且 B = A0 ? B2 + A1 ? B1 + A2 ? B0 1,


P ( B ) = P ( A0 ? B2 + A1 ? B1 + A2 ? B0 ) = P ( A0 ) ? P ( B2 ) + P ( A1 ) ? P ( B1 ) + P ( A2 ) ? P ( B0 )
1 1 1 1 2 2 2 C 4 C 4 C 4 C 6 C 6 C 4 C 62 C 6 = 2 ? 2 + 2 ? + 2 ? 2 C10 C10 C10 C82 C10 C 10

9.(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意 在试题卷上作答无效) 注意: ............. 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假
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设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (I)求甲获得这次比赛胜利的概率; (II)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ξ 得分布列及数学期望。 分析:本题较常规,比 08 年的概率统计题要容易。 分析 需提醒的是:认真审题是前提,部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分,这是很 可惜的,主要原因在于没读懂题。 另外,还要注意表述,这也是考生较薄弱的环节。 10.(2009 安徽卷理) 本小题满分 12 分) ( 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C, 因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的, 于是假定他受 A 和受 B 感染的概 率都是

1 1 .同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 .在这种假定之下,B、C、D 中直接 .. 2 3

受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 X 的均值 (即数学期望). 本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均 值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识。体现 数学的科学价值。本小题满分 12 分。 解:随机变量 X 的分布列是 X P X 的均值为 EX = 1× 1 2 3

1 3 1 1 1 11 + 2 × + 3× = 3 2 6 6

1 2

1 6

附:X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是 ① A—B—C—D ② A—B—C └D ③ A—B—C └D ④ A—B—D └C

1 : 6
⑤ A—C—D └B ⑥

在情形①和②之下,A 直接感染了一个人;在情形③、④、⑤之下,A 直接感染了两个人;在
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情形⑥之下,A 直接感染了三个人。 11.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分) 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A,将其与原有的一个优良品种 B 进行对照 试验,两种小麦各种植了 25 亩,所得亩产数据(单位:千克)如下:
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

品种 A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,414, 415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,451,454 品种 B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,395,397 397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 (Ⅰ)完成所附的茎叶图 (Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点?
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅲ)通过观察茎叶图,对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论。 【思路】由统计知识可求出 A、B 两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图,用茎叶图处理数 据,看其分布就比较明了。
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

【解析】 (1)茎叶图如图所示 A 9 7 8 7 5 8 9 2 5 0 5 4 2 7 3 3 1 4 0 0 5 5 3 4 1 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 3 1 4 3 5 6 1 2 4 457 7 0 1 1 3 6 7 0 2 5 6 2 0 B

(2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数 据.
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(3)通过观察茎叶图,可以发现品种 A 的平均每亩产量为 411.1 千克,品种 B 的平均亩产量 为 397.8 千克.由此可知,品种 A 的平均亩产量比品种 B 的平均亩产量高.但品种 A 的亩产量不 够稳定,而品种 B 的亩产量比较集中 D 平均产量附近. 12.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分) 某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进 行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

1 .若某人获得两个“支持” ,则 2

给予 10 万元的创业资助;若只获得一个“支持” ,则给予 5 万元的资助;若未获得“支持” , 则不予资助.求: (1) 该公司的资助总额为零的概率; (2)该公司的资助总额超过 15 万元的概率.
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

解: (1)设 A 表示资助总额为零这个事件,则

1 ?1? P ( A) = ? ? = ? 2 ? 64
(2)设 B 表示资助总额超过 15 万元这个事件,则

6

?1? ? 1 ? ? 1 ? 11 P ( B ) = 15 × ? ? + 6 × ? ? + ? ? = ?2? ? 2 ? ? 2 ? 32
13.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) 某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行 评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

6

6

6

1 .若某人获得两个“支持” ,则给 2

予 10 万元的创业资助;若只获得一个“支持” ,则给予 5 万元的资助;若未获得“支持” ,则 不予资助,令 ξ 表示该公司的资助总额. (1) 写出 ξ 的分布列; (2) 求数学期望 Eξ . 解: (1) ξ 的所有取值为 0,5,10,15, 20, 25,30

1 3 15 5 P (ξ = 5) = P (ξ = 10) = P (ξ = 15) = 64 32 64 16 15 3 1 P (ξ = 20) = P (ξ = 25) = P (ξ = 30) = 64 32 64 3 15 5 15 3 1 (2) Eξ = 5 × + 10 × + 15 × + 20 × + 25 × + 30 × = 15 . 32 64 16 64 32 64

P (ξ = 0) =

14.(2009 天津卷文) (本小题满分 12 分)
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为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A, B,C 三个区中抽 取 7 个工厂进行调查,已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂 (Ⅰ)求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数; (Ⅱ)若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个 工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。 【答案】(1) 2,3,2(2)

11 21 7 1 = , 63 9

【解析】 (1) 解: 工厂总数为 18+27+18=63, 样本容量与总体中的个体数比为 所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2.

(2) A1 , A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂, 1 , B2 , B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂, 1 ,C 2 设 B C 为在 C 区中抽得的 2 个工厂,这 7 个工厂中随机的抽取 2 个,全部的可能结果有: C 7 种,随 机 的 抽 取 的 2 个 工 厂 至 少 有 一 个 来 自 A 区 的 结 果 有 ( A1 , A2 ) ,
2

( A1 , B2 ) ( A1 , B1 ) ( A1 , B3 ) ( A1 , C 2 ) ( A1 , C1 ) ,同理 A2 还能组合 5 种,一共有 11 种。所以所求
的概率为

11 11 = C 72 21

【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件 发生的概率等基础知识,考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。 15.(2009 湖北卷理)(本小题满分 10 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4,5;另一个盒子也 装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5,6。现从一个盒子中任取一张卡片, 其上面的数记为 x; 再从另一盒子里任取一张卡片, 其上面的数记为 y, 记随机变量η=x+y , 求 η 的分布列和数学期望。 16.解析:依题意,可分别取 η = 5 、6、 ???? 11 取,则有

1 1 2 3 = , p (η = 6) = , p (η = 7) = 4 × 4 16 16 16 4 3 2 1 p (η = 8) = , p (η = 9) = , p (η = 10) = , p (η = 11) = 16 16 16 16 p (η = 5) =
∴η 的分布列为
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η
p

5

6

7

8

9

10

11

2 3 4 3 16 16 16 16 1 2 3 4 3 2 1 Eη = 5 × + 6 × + 7 × + 8 × + 9 × + 10 × + 11× = 8 . 16 16 16 16 16 16 16
16.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分)

1 16

2 16

1 16

为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人 士发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) 。某旅游公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中 省外游客中有

3 是省外游客,其余是省内游客。在 4
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

1 2 持金卡,在省内游客中有 持银卡。 3 3

(I)在该团中随机采访 2 名游客,求恰有 1 人持银卡的概率; (II)在该团中随机采访 2 名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率. 【解析】I)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡. 解析】 设事件 A 为“采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡”,则

P( A) =

1 1 C6C30 2 = 2 7 C36

所以采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡的概率是

2 . 7

…………………………………6 分

(II)设事件 B 为“采访该团 2 人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为: 事件 B1 为“采访该团 2 人,持金卡 0 人,持银卡 0 人”,或事件 B2 为“采访该团 2 人,持金 卡 1 人,持银卡 1 人”两种情况,则

P( B) = P( B1 ) + P( B2 ) =

1 1 2 C21 C9C6 44 + 2 = 2 C36 C36 105

所以采访该团 2 人,持金卡与持银卡人数相等的概率是 17.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12 分)

44 . 105

……………………12 分

某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人,现 采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技 术考核。 (I)求从甲、乙两组各抽取的人数; (II)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率;
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(III)记 ξ 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ξ 的分布列及数学期望。 分析: 分析 (I)这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层 抽样与性别无关。 (II)在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 P = (III) ξ 的可能取值为 0,1,2,3
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

1 1 C4 ? C6 8 = 2 C10 15

P(ξ = 0) =

1 C1C1 C 1 C 2 C1 28 C42 C3 6 ? 1 = , P(ξ = 1) = 4 2 6 ? 3 + 4 ? 2 = , 2 1 2 1 C10 C5 75 C10 C5 C10 C5 75 1 C62 C2 10 31 ? 1= , P (ξ = 2) = 1 ? P (ξ = 0) ? P (ξ = 1) ? P (ξ = 3) = 2 75 C10 C5 75

P(ξ = 3) =

分布列及期望略。 评析:本题较常规,比 08 年的概率统计题要容易。在计算 P (ξ = 2) 时,采用分类的方法, 用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力。 18.(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分)

1 某人向一目射击 4 次,每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分,第一、二、 3
三部分面积之比为 1:3:6。击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比。 (Ⅰ)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (Ⅱ)若目标被击中 2 次,A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” , 求 P(A) 解: (Ⅰ)依题意 X 的分列为
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

(Ⅱ)设 A1 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. B1 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,
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A = A1 B1 ∪ A1 B1 ∪ A1 B1 ∪ A2 B2 ,
所求的概率为

P( A) = P( A1 B1 ) + P( A1 B1 ) + P A1 B1) P( A2 B2 ) ( + P( A1 B1 ) + P( A1 ) P( B1 ) + P A1 ) P( B1 ) + P( A2 ) P( B2 ) (
0.1× 0.9 + 0.9 × 0.1 + 0.1× 0.1 + 0.3 × 0.3 = 0.28
19.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名, 其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名工人 参加过长期培训(称为 B 类工人) ,现用分层抽样方法(按 A 类、B 类分二层)从该工厂的工人 中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数) 。 (I)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为 A 类工人,乙为 B 类工人; (II)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽插结果分别如下表 1 和表 2. 表 1: 生产能力分 组 人数 表 2: 生产能力分组 人数 4 8 ………12 分

[100,110 )

[110,120 )

[120,130 )
x

[130,140 )
5

[140,150 )
3

[110,120 )
6

[120,130 )
y

[130,140 )
36

[140,150 )
18

(i)先确定 x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人中 个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方 图直接回答结论)

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(ii) 分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数, 并估计该工厂工人的生产能力的平 均数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 解: (Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均为

1 ,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到” 10

相互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为

p=

1 1 1 × = . 10 10 100

(Ⅱ) (i)由题意知 A 类工人中应抽查 25 名,B 类工人中应抽查 75 名. 故

4 + 8 + x + 5 = 25 ,得 x = 5 ,

6 + y + 36 + 18 = 75 ,得 y = 15 .
频率分布直方图如下

从直方图可以判断:B 类工人中个体间的关异程度更小 . (ii) x A =

4 8 5 5 3 ×105 + × 115 + × 125 + × 135 + × 145 = 123 , 25 25 25 25 25
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6 15 36 18 × 115 + × 125 + × 135 + × 145 = 133.8 , 75 75 75 75 25 75 x= × 123 + × 133.8 = 131.1 100 100 xB =
A 类工人生产能力的平均数, 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的 B 平均数的会计值分别为 123,133.8 和 131.1 . 20.(2009 湖南卷文) (本小题满分 12 分) 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业 建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的 地从中任选一个项目参与建设.求: (I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

1 1 1 、 、 .现有 3 名工人独立 2 3 6

(II)至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率. 解: 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

Ai , Bi , Ci , i=1,2,3.由题意知 A1 , A2 , A3 相互独立, B1 , B2 , B3 相互独立, C1 , C2 , C3
相互独立, Ai , B j , Ck (i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同)相互独立, 且 P ( Ai ) =

1 1 1 , P ( Bi ) = , P (Ci ) = . 2 3 6 1 1 1 1 × × = . 2 3 6 6 1 3

(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P= 3! P ( A1 B2C3 ) = 6 P ( A1 ) P ( B2 ) P (C3 ) = 6 × (Ⅱ)至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率 P= 1 ? P ( B1 B2 B3 ) = 1 ? P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) = 1 ? (1 ? ) =
3
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

19 . 27

21.(本小题满分 12 分) 某企业有两个分厂生产某种零件, 按规定内径尺寸 (单位: 的值落在 mm) (29.94, 30.06) 的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出 500 件,量其内径尺寸,的结果如 下表: 甲厂

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(1) 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2) 由于以上统计数据填下面 2 × 2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的 零件的质量有差异” 。 甲 厂 优质品 非优质品 合计 附: x =
2

乙 厂

合计

n(n11n22 ? n12 n21 )2 p ( x 2 ≥ k ) 0.05 0.01 , n1+ n2 + n+1n+2 k 3.841 6.635

解: (Ⅰ)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率估计为

360 = 72% ; 500

……6 分

乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 (Ⅱ) 甲厂 优质品 非优质品 合计 360 140 500 乙厂 320 180 500

320 = 64% 500

合计 680 320 1000 ……8 分

x2 =

1000 × (360 ×180 ? 320 × 140) 2 500 × 500 × 680 × 320 ≈ 7.35 > 6.635,
……12 分

所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异” 。

22.(2009 全国卷Ⅰ文) (本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假设 在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知前 2 局 中,甲、乙各胜 1 局。 (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率,综合
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题。 解:记“第 i 局甲获胜”为事件 Ai ( i = 3,4,5) , “第 j 局甲获胜”为事件 B i ( j = 3,4,5) 。 (Ⅰ)设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A,则

A = A3 ? A4 + B3 ? B4 ,由于各局比赛结果相互独立,故 P ( A) = P ( A3 ? A4 + B3 ? B4 ) = P ( A3 ? A4 ) + P ( B 3 ? B4 ) = P ( A3 ) P ( A4 ) + P ( B 3 ) P ( B4 )
= 0.6 × 0.6 + 0.4 × 0.4 = 0.52 。
(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B,因前两局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得这 次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜 2 局,从而

B = A3 ? A4 + B 3 ? A4 ? A5 + A3 ? B4 ? A5 ,由于各局比赛结果相互独立,故
P ( B ) = P ( A3 ? A4 + B 3 ? A4 ? A5 + A3 ? B4 ? A5 )

= P ( A3 ? A4 ) + P ( B 3 ? A4 ? A5 ) + P ( A3 ? B4 ? A5 ) = P ( A3 ) P ( A4 ) + P ( B 3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) + P ( A3 ) P ( B4 ) P ( A5 ) = 0.6 × 0.6 + 0.4 × 0.6 × 0.6 + 0.6 × 0.4 × 0.6 = 0.648
23.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人 士发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) 。某旅游公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中 省外游客中有
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

3 是省外游客,其余是省内游客。在 4
w. w.w. k.s.5. u.c.o.m

1 2 持金卡,在省内游客中有 持银卡。 3 3

(I)在该团中随机采访 2 名游客,求恰有 1 人持银卡的概率; (II)在该团中随机采访 2 名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率. 【解析】I)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡. 解析】 设事件 A 为“采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡”,则

P( A) =

1 1 C6C30 2 = 2 C36 7

所以采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡的概率是

2 . 7

…………………………………6 分

(II)设事件 B 为“采访该团 2 人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为: 事件 B1 为“采访该团 2 人,持金卡 0 人,持银卡 0 人”,或事件 B2 为“采访该团 2 人,持金
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卡 1 人,持银卡 1 人”两种情况,则

P( B) = P( B1 ) + P( B2 ) =

1 1 2 C21 C9C6 44 + 2 = 2 105 C36 C36

所以采访该团 2 人,持金卡与持银卡人数相等的概率是

44 . 105

……………………12 分

24.(本小题满分 12 分) 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ 表示, 椐统计,随机变量 ξ 的概率分布如下:

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

ξ
p

0 0.1

1 0.3

2 2a

3 a

(Ⅰ)求 a 的值和 ξ 的数学期望; (Ⅱ) 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费 者投诉 2 次的概率。 解析:(Ⅰ)由概率分布的性质知, 0.1 + 0.3 + 2a + a = 1∴ a = 0.2 则 ξ 的分布列为

ξ
p

0 0.1

1 0.3

2 0.4

3 0.2

Eξ = 0 × 0.1 + 1× 0.3 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 = 1.7

(Ⅱ)设事件 A 表示”2 个月内共被投诉 2 次"

事件 A1 表示”2 个月内有一个月被投诉

2 次,另一个月被投诉 0 次" ,事件 A2 表示”2 个月内每个月均被投诉 1 次" 则由事件的独 立性可得
1 P ( A1 ) = C2 P (ξ = 2) P (ξ = 0) = 2 × 0.4 × 0.1 = 0.08

P ( A2 ) = [ P (ξ = 1)]2 = (0.3) 2 = 0.09
故该企业在这两个月共被投诉 2 次的概率为 0.17. 25.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

P( A) = P( A ) + P( A2 ) = 0.08 + 0.09 = 0.17 1

椐统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0,1,2 的概率分别为 0.4,0.5,0.1 (Ⅰ) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率; (Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者
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投诉 2 次的概率。 解析:解答 1(Ⅰ)设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”事件 B 表示“一个月内被 投诉的次数为 1” 所以 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) = 0.4 + 0.5 = 0.9 (Ⅱ)设事件 Ai 表示“第 i 个月被投诉的次数为 0”事件 Bi 表示“第 i 个月被投诉的次数 为 1”事件 Ci 表示“第 i 个月被投诉的次数为 2”事件 D 表示“两个月内被投诉 2 次” 所以 P ( Ai ) = 0.4, P ( Bi ) = 0.5, P (Ci ) = 0.1(i = 1, 2) 所以两个月中,一个月被投诉 2 次,另一个月被投诉 0 次的概率为 P ( A1C2 + A2C1 ) 一、二月份均被投诉 1 次的概率为 P ( B1 B2 ) 所以 P ( D ) = P ( A1C2 + A2C1 ) + P ( B1 B2 ) = P ( A1C2 ) + P ( A2C1 ) + P ( B1 B2 ) 由事件的独立性的

p ( D ) = 0.4 × 0.1 + 0.1× 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.33
解答 2(Ⅰ)设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次”设事件 B 表示“一个月内被投诉的 次数不超过 1 次” 所以 p ( A) = 0.1,∴ P ( B ) = 1 ? P ( A) = 1 ? 0.1 = 0.9 (Ⅱ)同解答 1(Ⅱ) 26.(2009 宁夏海南卷文) (本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名工 人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二层)从该工厂的 工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数). (Ⅰ)A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人?
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(Ⅱ)从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 表 1: 生产能力分 组 人数 4 8

[100,110 )

[110,120 )

[120,130 )
x
第 - 29 - 页

[130,140 )
5

[140,150 )
3

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表 2: 生产能力分组 人数

[110,120 )
6

[120,130 )
y

[130,140 )
36

[140,150 )
18

(1) 先确定 x, y ,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人中 个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观 察直方图直接回答结论)

(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人和生产能力的平均数 (同一组中的数据用该区间的中点值作代表) 。 (19)解: (Ⅰ) A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 (Ⅱ)(ⅰ)由 4 + 8 + x + 5 + 3 = 25 ,得 x = 5 , ... 分 ...4

6 + y + 36 + 18 = 75 ,得 y = 15 。
频率分布直方图如下

... 分 ...8 从直方图可以判断: B 类工人中个体间的差异程度更小。 ... 分 ...9

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(ii) x A =

4 8 5 5 3 × 105 + × 115 + × 125 + × 135 + × 145 = 123 , 25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB = × 115 + × 125 + × 135 + × 145 = 133.8 , 75 75 75 75 25 75 x= × 123 + × 133.8 = 131.1 100 100

A 类工人生产能力的平均数, 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估 B 计值分别为 123,133.8 和 131.1. 27.(2009 湖南卷理)(本小题满分 12 分)
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设 工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 任选一个项目参与建设。 (I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (II)记 ξ 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数, ξ 的 求 分布列及数学期望。 解:记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

1 1 1 、 、 ,现在 3 名工人独立地从中 2 3 6

A1 , B1 , C1 ,i=1,2,3.由题意知 A1 A2 A3 相互独立, B1 B2 B3 相互独立, C1 C2C3 相互独立,
1 A1 , B1 , C1 (i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同)相互独立,且 P( A1 )=,P( B1 )= , 3 1 P( C1 )= 6
(1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3!P( A1 B2 C3 )=6P( A1 )P( B2 )P( C3 )=6 ×

1 1 1 1 × × = 2 3 6 6 1 ) , 3

(2) 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η ,由己已知,η -B(3, 且 ξ =3η 。

1 , 27 2 2 2 1 3 P( ξ =1)=P(η =2)= C3 ( ) ( ) = 3 3 9 2 2 4 1 1 P( ξ =2)=P(η =1)= C3 ( ) ( ) = 3 3 9 2 3 8 0 P( ξ =3)=P(η =0)= C3 ( ) = 3 27
所以 P( ξ =0)=P(η =3)= C3 ( ) =
1

1 3

3

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故 ξ 的分布是

ξ
P

0

1

2

3

2 9 1 2 4 8 ξ 的数学期望 E ξ =0 × +1 × +2 × +3 × =2 27 9 9 27

1 27

4 9

8 27

解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 D1 , i=1,2,3 ,由此已知, D1 ·D, D1 相互独立,且 P( D1 )-( A1 , C1 )= P( A1 )+P( C1 )= 所以 ξ -- B (3, ) ,既 P (ξ = K ) = C3 ( ) ( )
K K

1 1 2 + = 2 6 3

w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

2 3

2 3

1 3

3? K

, k = 0,1, 2, 3.

故 ξ 的分布列是

ξ
p

0 1 27

1

2

3

2 9

4 9

8 27

28.(2009 四川卷理) (本小题满分 12 分) 为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人士发 行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) 。某旅游公司组织 了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中 游客中有

3 是省外游客,其余是省内游客。在省外 4

1 2 持金卡,在省内游客中有 持银卡。 3 3

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (II)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布 列及数学期望 Eξ 。 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考察 运用概率只是解决实际问题的能力。 解: (Ⅰ)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人 持银卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2
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人” , 事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡” , 。 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡”
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

P( B ) = P( A1 ) + P( A2 )
1 2 1 1 1 C9C21 C9C6C21 = 3 + 3 C36 C36

9 27 + 34 170 36 = 85 =
所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是

36 。 85

…………………………………………………………6 分 (Ⅱ) ξ 的可能取值为 0,1,2,3

C33 1 P(ξ = 0) = 3 = , C9 84 P(ξ = 2) =

1 C6C32 3 P(ξ = 1) = = C93 14

w. w.w. k.s.5.u.c.o.m

1 C62C3 15 C 3 15 = , P (ξ = 3) = 6 = , 3 3 C9 28 C9 21

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

所以 ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

1 3 15 5 84 14 28 21 1 3 15 5 所以 Eξ = 0 × + 1× + 2 × + 3 × = 2 , ……………………12 分 84 14 28 21
29.(2009 福建卷文) (本小题满分 12 分) 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一 个球 (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。 解: (I)一共有 8 种不同的结果,列举如下: (红、红、红、、 )(红、红、黑)(红、黑、红)(红、黑、黑)(黑、红、红)(黑、 、 、 、 、
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红、黑)(黑、黑、红)(黑、黑、黑) 、 、 (Ⅱ)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A 事件 A 包含的基本事件为: (红、红、黑)(红、黑、红)(黑、红、红)事件 A 、 、 包含的基本事件数为 3 由(I)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P ( A) = 30.(2009 重庆卷理) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为

3 8

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

2 1 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 3 2

(Ⅰ)两种大树各成活 1 株的概率; (Ⅱ)成活的株数 ξ 的分布列与期望. 解:设 Ak 表示甲种大树成活 k 株,k=0,1,2

Bl 表示乙种大树成活 l 株,l=0,1,2
则 Ak , Bl 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

2 1 1 1 P( Ak ) = C k 2 ( ) k ( ) 2 ? k , P( Bl ) = C l 2 ( )l ( ) 2 ?l . 3 3 2 2
据此算得

1 , 9 1 P( B0 ) = , 4

P( A0 ) =

4 , P ( A2 ) = 9 1 P( B1 ) = , P( B2 ) = 2

P( A1 ) =

4 . 9 1 . 4

w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

(Ⅰ) 所求概率为

4 1 2 P( A2 ? B1 ) = P( A1 ) ? P( B1 ) = × = 9 2 9
(Ⅱ) 解法一:

.

ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

1 1 1 P(ξ = 0) = P ( A0 ? B0 ) = P( A0 ) ? P( B0 ) = × = , 9 4 36 1 1 4 1 1 P(ξ = 1) = P( A0 ? B1 ) + P( A1 ? B0 ) = × + × = , 9 2 9 4 6 1 1 4 1 4 1 P(ξ = 2) = P( A0 ? B2 ) + P( A1 ? B1 ) + P( A2 ? B0 ) = × + × + × 9 4 9 2 9 4
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=

13 , 36

4 1 4 1 1 P (ξ = 3) = P ( A1 ? B2 ) + P ( A2 ? B1 ) = × + × = . 9 4 9 2 3 4 1 1 P (ξ = 4) = P ( A2 ? B2 ) = × = . 9 4 9
综上知 ξ 有分布列

ξ
P 从而, ξ 的期望为

0 1/36

1 1/6

2 13/36

3 1/3

4 1/9

Eξ = 0 × =

1 1 13 1 1 + 1× + 2 × + 3 × + 4 × 36 6 36 3 9

7 (株) 3

解法二: 分布列的求法同上 令 ξ1,ξ 2 分别表示甲乙两种树成活的株数,则

2 1 3 2 2 4 1 故有 Eξ1 =2 × = ,Eξ 2 = 2 × = 1 3 3 2 7 从而知 Eξ = Eξ1 + Eξ 2 = 3

ξ1 : B(2, ),ξ 2 : B(2, )

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

31.(2009 重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为

5 4 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 6 5

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

(Ⅰ)至少有 1 株成活的概率; (Ⅱ)两种大树各成活 1 株的概率. 解: 设 Ak 表示第 k 株甲种大树成活, k = 1, 2 ; 设 Bl 表示第 l 株乙种大树成活, l = 1, 2 则 A1 , A2 , B1 , B2 独立,且 P ( A1 ) = P ( A2 ) = (Ⅰ)至少有 1 株成活的概率为:

5 4 , P ( B1 ) = P ( B2 ) = 6 5

1 1 899 1 ? P ( A1 ? A2 ? B1 ? B2 ) = 1 ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( B1 ) ? P ( B2 ) = 1 ? ( ) 2 ( )2 = 6 5 900
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(Ⅱ)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概率为:
1 P = C2

5 1 1 4 1 10 8 4 ? C2 = × = 66 5 5 36 25 45

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