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高中数学课堂之高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4_图文

高中数学课堂之高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质

学案·新知自解

1.认识和理解空间中线面、面面垂直的性质. 2.能够灵活应用线面、面面垂直的性质定理证明相关问题. 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.

直线与平面垂直的性质

文字语言

垂直于同一个平面的两条直线__平__行___

符号语言

ab⊥⊥αα??????__a_∥__b__

图形语言

①线面垂直?线线平行 作用
②作平行线

平面与平面垂直的性质

文字语言 两个平面垂直,则_一__个__平__面__内___垂直于_交__线___的直线与另一个平面 _垂__直___

符号语言

α⊥β ?? α∩β=l???a⊥β __a_?_α__ ? __a_⊥__l _ ??

图形语言

作用 ①面面垂直?_线__面___垂直; ②作面的垂线

[化解疑难] 1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的联系

2.剖析平面与平面垂直的性质定理 (1)定理成立的条件有两个 ①两平面垂直; ②直线在其中一个面内且与两平面的交线垂直. (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直或线线垂 直. (3)定理还说明了若两个平面垂直,过其中一个平面内一点垂直于另一个平 面的直线必在第一个平面内. (4)解题过程中遇到面面垂直的问题时,通常利用此定理转化为线面垂直.

1.已知直线 l 垂直于直线 AB 和 AC,直线 m 垂直于直线 BC 和 AC,则

直线 l,m 的位置关系是( )

A.平行

B.异面

C.相交

D.垂直

解析: 因为直线 l 垂直于直线 AB 和 AC,所以 l 垂直于平面 ABC,同理, 直线 m 垂直于平面 ABC,根据线面垂直的性质定理得 l∥m.

答案: A

2.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=n,直线 l?α,直线 m?β,则下列说法正

确的个数是( )

①若 l⊥n,l⊥m,则 l⊥β;

②若 l∥n,则 l∥β;

③若 m⊥n,l⊥m,则 m⊥α.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析: 由线面平行的判定定理知②正确;由面面垂直的性质定理知①③ 正确.
答案: D

3.已知 m,n 是直线,α,β,γ 是平面,给出下列说法: ①若 α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则 n⊥α 或 n⊥β; ②若 α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 m∥n; ③若 m 不垂直于 α,则 m 不可能垂直于 α 内的无数条直线; ④若 α∩β=m,n∥m 且 n?α,n?β,则 n∥α 且 n∥β. 其中正确的说法序号是________(注:把你认为正确的说法的序号都填上).

解析: ①错,垂直于交线,不一定垂直平面;②对;③错,凡是平面内 垂直于 m 的射影的直线,m 都与它们垂直;④对.故②④正确.
答案: ②④

教案·课堂探究

直线与平面垂直的性质定理的应用 多维探究型 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,EF 与异面直线 AC、A1D 都垂 直相交. 求证:EF∥BD1.

证明: 如图所示,连接 AB1、B1D1、B1C、BD, 因为 DD1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, 所以 DD1⊥AC. 又 AC⊥BD,DD1∩BD=D, 所以 AC⊥平面 BDD1B1, 又 BD1?平面 BDD1B1, 所以 AC⊥BD1.

同理可证 BD1⊥B1C, 又 AC∩B1C=C, 所以 BD1⊥平面 AB1C. 因为 EF⊥AC,EF⊥A1D, 又 A1D∥B1C,所以 EF⊥B1C.B1C∩AC=C. 所以 EF⊥平面 AB1C,所以 EF∥BD1.

[归纳升华] 线面垂直的性质定理提供了证明两直线平行的重要依据,也是由垂直关系 转化为平行关系的重要方法.

1.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC.
求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点.

证明: (1)因为四边形 ADD1A1 为正方形, 所以 AD1⊥A1D. 又 CD⊥平面 ADD1A1, 所以 CD⊥AD1. 因为 A1D∩CD=D, 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又 MN⊥平面 A1DC,所以 MN∥AD1.

(2)连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC, 所以 ON 綊12CD 綊12AB,
所以 ON∥AM, 又 MN∥OA, 所以四边形 AMNO 为平行四边形, 所以 ON=AM. 因为 ON=12AB,所以 AM=12AB, 所以 M 是 AB 的中点.

面 PAB.

平面与平面垂直的性质定理的应用 多维探究型 如图,已知 PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC,求证:BC⊥平

证明: 过点 A 作 AE⊥PB,垂足为 E, 因为平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAB∩平面 PBC=PB, 所以 AE⊥平面 PBC, 因为 BC?平面 PBC,所以 AE⊥BC, 因为 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, 所以 PA⊥BC,因为 PA∩AE=A, 所以 BC⊥平面 PAB.

[归纳升华] 利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1) 两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交 线.

2.(2015·河源市高二期中)在三棱锥 P-ABC 中,平面 PBC⊥平面 ABC, AB=AC,E,F 分别为 BC,BP 的中点.求证:
(1)直线 EF∥平面 PAC; (2)平面 AEF⊥平面 PBC.

证明: (1)因为 E,F 分别是 BC,BP 的中点, 所以 EF∥PC. 又 EF?平面 PAC,PC?平面 PAC, 所以 EF∥平面 PAC. (2)在△ABC 中,因为 AB=AC,E 为 BC 中点, 所以 AE⊥BC. 因为平面 PBC⊥平面 ABC, 平面 PBC∩平面 ABC=BC,所以 AE⊥平面 PBC. 又 AE?平面 AEF,所以平面 AEF⊥平面 PBC.

线面、面面垂直的综合问题 分层深化型 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别为 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

证明: (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,
所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD.

(3)因为 AB⊥AD,而且四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE⊥CD,AD⊥CD, 由(1)知 PA⊥底面 ABCD. 所以 PA⊥CD.又 AD∩PA=A, 所以 CD⊥平面 PAD.所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,所以 PD∥EF. 所以 CD⊥EF.又 EF∩BE=E, 所以 CD⊥平面 BEF.又 CD?平面 PCD, 所以平面 BEF⊥平面 PCD.

[归纳升华] 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、 面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判 定定理进行论证.

[同类练]☆ 1.(2015·宿州市高二期中)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,P,Q 分别 为线段 AB,CD 的中点,EP⊥平面 ABCD. (1)求证:AQ∥平面 CEP; (2)求证:平面 AEQ⊥平面 DEP.

解析: (1)在矩形 ABCD 中, 因为 AP=PB,DQ=QC, 所以 AP 綊 CQ.
所以 AQCP 为平行四边形. 所以 CP∥AQ. 因为 CP?平面 CEP,AQ?平面 CEP, 所以 AQ∥平面 CEP.

(2)因为 EP⊥平面 ABCD,AQ?平面 ABCD, 所以 AQ⊥EP. 因为 AB=2BC,P 为 AB 的中点,所以 AP=AD.连接 PQ,则四边形 ADQP 为正方形. 所以 AQ⊥DP.又 EP∩DP=P,所以 AQ⊥平面 DEP. 因为 AQ?平面 AEQ, 所以平面 AEQ⊥平面 DEP.

[变式练]☆ 2.如图,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,ABCD 是∠DAB=60°且边 长为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在的平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB.

证明: (1)连接 PG,BG,由题知△PAD 为正三角形,G 是 AD 的中点, ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PG⊥平面 ABCD,∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60°, ∴△ABD 是正三角形,∴BG⊥AD. 又 AD∩PG=G,∴BG⊥平面 PAD.

(2)由(1)可知 BG⊥AD,PG⊥AD. 又 PG∩BG=G, ∴AD⊥平面 PBG, ∵PB?平面 PBG, ∴AD⊥PB.

[拓展练]☆ 3.如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,SA⊥平面 ABCD,且 SA=AB,点 E 为 AB 的中点,点 F 为 SC 的中点. 求证:(1)EF⊥CD; (2)平面 SCD⊥平面 SCE.

证明: (1)连接 AC,AF,BF. ∵SA⊥平面 ABCD, ∴SA⊥AC,∴△SAC 为直角三角形. 又∵F 为 SC 的中点, ∴AF 为 Rt△SAC 斜边 SC 上的中线, ∴AF=12SC.

又∵四边形 ABCD 是正方形, ∴CB⊥AB. 而由 SA⊥平面 ABCD,得 CB⊥SA, ∴CB⊥平面 SAB,∴CB⊥SB, ∴BF 为 Rt△SBC 斜边 SC 上的中线, ∴BF=12SC,∴AF=BF. ∴△AFB 为等腰三角形. ∵E 为 AB 的中点,∴EF⊥AB. 又 CD∥AB,∴EF⊥CD.

(2)在 Rt△SAE 和 Rt△CBE 中, ∵SA=CB,AE=BE, ∴Rt△SAE≌Rt△CBE, ∴SE=EC,即△SEC 为等腰三角形. ∵F 为 SC 的中点, ∴EF⊥SC. 又∵EF⊥CD,且 SC∩CD=C, ∴EF⊥平面 SCD. 又∵EF?平面 SCE, ∴平面 SCD⊥平面 SCE.

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