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山东省潍坊市2015届高三上学期期末考试数学试题(理,A卷)Word版含答案.doc


高三数学(理)
本试卷共 5 页,分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题 共 50 分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在 规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.复数 A. ?2 2.设集合 M ? x x ? 3 ? 2 , N ? x y ? A. ? 2,5? 3.下列说法中正确的是 A.命题“若 x ? y,则 ? x ? ? y ”的逆否命题是“若 ? x ? ? y ,则 x ? y ” B.若命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 0,则?p : ?x ? R, x ? 1 ? 0
2 2

a?i 为纯虚数,则实数 a ? 2?i
B. ?

?

?

?

x ? 2 ,则M ? N ?
B. ?1,5? C.

?

1 2

C.2D.

1 2

? 2,5? D. ?1,5?

C.设 l 是一条直线, ? , ? 是两个不同的平面,若 l ? ? , l ? ?,则? / / ?
2 D.设 x, y ? R ,则“ ? x ? y ? ? x ? 0 ”是“ x ? y ”的必要而不充分条件

4.定义在 R 上的偶函数 y ? f ? x ? 的部分图象如图所示, 则在 ? ?2,0 ? 上, 下列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 A. y ? x ? 1
2

B. y ? x ?1

?2 x ? 1 x ? 0 C. y ? ? 3 ?x ?1 x ? 0

?e x x ? 0 ? D. y ? ? ? x ? ?e x ? 0

5.若过点 P ?2 3, ?2 的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4 有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是 A. ? 0,

?

?

? ?

??
? 6?
5

B. ? 0, ? ? 3?

? ??

C. ? 0, ? D. ? 0, ? ? 6? ? 3?

? ??

?

??

1? ? 6.二项式 ? 2 x 2 ? ? 的展开式中 x 的系数为 x? ?
A. ?20 7.运行右面的程序框图,若输入 n ? 2015 ,则输出的 a ? B.20C. ?40 D.40

4030 4029 2015 B. 4029 4030 C. 4031 2015 D. 4031
A. 8.向右图中边长为 2 的正方形中,随机撒一粒黄豆,则黄豆落在图 中阴影部分的概率为

1 ? 2 ln 2 4 2 ? ln 2 C. 4
A. 9.某公司生产甲、 乙两种桶装产品, 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原

ln 2 2 2 ? ln 2 D. 4
B. 料3

千克,B 原料 1 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克,B 原料 3 千克.每生产一桶甲产品的 利润 400 元,每生产一桶乙产品的利润 300 元.公司在生产这两种产品的计划中,每天消耗 A、 B 原料都不超过 12 千克,通过合理安排生产计划,公司每天可获得的最大利润是(单位:元) A.1600 B.2100 C.2800D.4800

10.设函数 f ? x ? 的定义域为 D, 若任取 x1 ? D , 存在唯一的 x2 ? D满足 则称 C 为函数 y ? f ? x ? 在 D 上的均值.给出下列五个函数:

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?C, 2

2 x ① y ? x ;② y ? x ;③ y ? 4sin x ;④ y ? 1gx ;⑤ y ? 2 .则所有满足在其定义域上的均

值为 2 的函数的序号为 A.①③ B.①④ C.①④⑤D.②③④⑤

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 注意事项: 将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.
? 11.若向量 a,b 的夹角为 150 , a ? 3, b ? 4,则 2a ? b ? ___________.

12. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为 __________. 13.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c .已知 a2 ? b2 ? bc,sin C ? 2sin B ,则角 A 为__________. 14.已知 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左,右焦点,P 为双曲线右支上的 a 2 b2

一点,且 PF 1F 2 为等腰三角形,则该双曲线的离心率为_________. 1 ? 2 PF 2 .若 ?PF 15.设方程 x ? ax ? 4 ? 0 的各实根为 x1 , x2 , ???, xk ? k ? 4? .若点 ? xi ,
4

? ?

4? ? ? i ? 1, 2,??? , k ? 均在 xi ?

直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是_________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? sin x ?
2

1 1 cos 2 x ? , x ? R. 2 2

(I)求函数 f ? x ? 在 ? ?

? ? ?? , 上的最值; ? 4 2? ?

(II)若将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来 4
6 5 ? 4? 11? , ? 3 6 ? ?? ? ? ? .求 cos ? ? ? ? ?2 6?

的 2 倍, 纵坐标不变, 得到 g ? x ? 的图象.已知 g ?? ? ? ? , ? ? ? 的值. 17.(本小题满分 12 分) 如 图 , 四 边 形 ACDF 为 正 方 形 , 平 面 A C D F? 平 面 BCDE,BC=2DE=2CD=4,DE//BC, ?CDE ? 90 ,M 为 AB
?



中点. (I)证明:EM//平面 ACDF; (II)求二面角 A ? BE ? C 的余弦值.

18.(本小题满分 12 分) 某机械厂生产一种产品,产品按测试指标分为:指标大于或等于 90 为优等次,大于或等于 80 小于 90 为良等次,小于 80 为差等次.生产一件优等次产品盈利 100 元,生产一件良等次 产品盈利 60 元,生产一件差等次产品亏损 20 元.现随机抽查高级技工甲和中级技工乙生产 的这种产品各 100 件进行检测,结果统计如下:

根据上表统计得到甲、乙两人生产这种产品为优,良,差等次的频率,现分别作为他们每次 生产一件这种产品为优,良,差等次的概率,且每次生产一件产品的等次互不受影响. (I)计算高级技工甲生产三件产品,至少有 2 件优等品的概率; (II)甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为 X 元(利润=盈利-亏损) ,求随机 变量 X 的概率分布和数学期望.

19.(本小题满分 12 分)
? 各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知点 ? an , an ?1 ? n ? N 在函数 y ? 3x 的图

?

?

象上,且 S3 ? 26. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II) 在 an与an?1 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数组成公差为 dn 的等差数列, 求数列 ? 的前 n 项和 Tn ,并求使 Tn ?

?1? ? ? dn ?

8 5

n 40 ? 成立的最大正整数 n. n ?1 5? 3 27

20.(本小题满分 13 分) 已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: 2 ?

y2 a

x2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经 b2

过点 Q ? 1.

? 3 ? ? 2 ,1? ? ,过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为 ? ?

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)过抛物线 C2 : y ? x2 ? h ? h ? R? 上一点 P 的切线与椭圆 C1 交于不同两点 M,N,点 A 为椭圆 C1 的右顶点,记线段 MN 与 PA 的中点分别为 G、H 点,当直线 GH 与 x 轴垂直时, 求 h 的最小值.

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2 f ? x ? . (I)当 a ? 1 时,求函数 g ? x ? 的单调区间; ( II )设 A ? x1 , y1 ? , B? x 1, y 2? 是函数 y ? f ? x? 图象上任意不同两点,线段 AB 中点为 C ? x0 , y0 ? ,直线 AB 的斜率为 k.证明: k ? f ? ? x0 ? ; ( III ) 设 F ? x ??

?f ?

b x? ? x ?1

0 ? b? , 对 任 意 x1, x2 ? ? 0, 2?, x1 ? x2 , 都 有

F ? x1 ? ? F ? x2 ? ? ?1 ,求实数 b 的取值范围. x1 ? x2


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