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2.3等差数列的前n项和(1)


2.3等差数列的前 项和(1) 2.3等差数列的前n项和(1) 等差数列的前n

一、新课引入
泰姬陵坐落于印度古都阿格, 泰姬陵坐落于印度古都阿格 , 是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建, 她宏伟壮观, 妃所建 , 她宏伟壮观 , 纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷, 而成的主体建筑叫人心醉神迷 , 成为世 界七大奇迹之一。 陵寝以宝石镶饰, 界七大奇迹之一 。 陵寝以宝石镶饰 , 图 案之细致令人叫绝。 案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案, 以相 传说陵寝中有一个三角形图案 , 100层 同大小的圆宝石镶饰而成 , 共有 100 层 见左图) 奢靡之程度,可见一斑。 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗? 你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

问题1: 的正整数之和. 问题 :求1到100的正整数之和 到 的正整数之和

“倒序相加求和 ” 的算 倒序相加求和” 倒序相加求和 法 【问题 2】求 1 到 n 的正整数之和 Sn = 1+ 2 + 3 + L+ (n ?1) + n 问题 求

探究发现

Q Sn = 1 +

2

+ 3

+ L + (n ? 1) + n +1

S n = n + (n ? 1) + (n ? 2) + L + 2 ∴ 2 S n = (1 + n) + (1 + n) + L + (1 + n) 14444244443
n

n(n + 1) Sn = 2

探究发现
如何求等差数列{an }的前n项和Sn ? 问题3: 问题 :

二 新课
等差数列{an }的前n项和公式 n(a1 + an ) n( n ? 1) Sn = d = na1 + 2 2

注意体会“倒序相加求和” 注意体会“倒序相加求和”的思想

说明:已知a1 , an , n, d , Sn中的任意三个, 可 以 求出 其 余的 两 个 .

练习 : 在等差数列{an }中 (1)已知a1 = 5, an = 95, n = 10, 求Sn ; (2)已知a1 = 100, d = ?2, n = 50, 求Sn ; (3)已知a1 = 4, S8 = 172, 求a8和d . (4)等差数列 ? 10, 6, 2, 的前多少项和是54? ? ? L

三 例题

【例 1】已知一个等差数列的前 10 项的和是 】 310, 1220, 310,前 20 项的和是 1220,由此可以确定求 项和的公式吗? 其前 n 项和的公式吗?

【变式】证明等差数列依次 k 项之和 变式】 Sk , S 2k ? S k 、 S3k ? S 2 k 成等差数列。 成等差数列。

【例 2】已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n = ?2n + 9n , 】
2

求这个数列的通项公式。 求这个数列的通项公式。

(1)这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项 )这个数列是等差数列吗?如果是, 与公差分别是什么? 与公差分别是什么?

(3)求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn 。 ) ? Sn ? 项和。 (4)求数列 ? ? 的前 n 项和。 ) ?n?
结论:数列{an }为等差数列当且仅当它的前n项和 具有Sn = pn + qn( p、q为常数)的形式.
2

(2) n 为何值时, S n 有最大值? ) 为何值时, 有最大值?

【探究】一般地,如果一个数列 {an } 的前 n 项和为 探究】一般地, 为常数, S n = pn + qn + r , 其中 p, q, r 为常数, p ≠ 0 , 且
2

那么这个数列一定是等差数列吗?如果是, 它的首 那么这个数列一定是等差数列吗?如果是, 项与公差分别是多少? 项与公差分别是多少?
(1 为等差数列; 【结论】 1)若 r = 0 时, an = 2 pn + q ? p ,则 {an } 为等差数列; 结论】 ( 不是等差数列,但从第二项开始 (2)若 r ≠ 0 时,则 {an } 不是等差数列,但从第二项开始 构成等差数列。 构成等差数列。

【例 3】已知两个等差数列 {an } {bn } 它们的前 n 项和

S n 2n + 3 a9 分别为 S n , Tn ,若 ,求 = Tn 3n ? 1 b9

已知两个数列 【例 4】已知两个数列 {an } 和 {bn } 满足

(2)若数列 {an } 是等差数列,求证 {bn } 也是等差数列。 ) 是等差数列, 也是等差数列。

a1 + 2a2 + 3a3 + L nan bn = (n ∈ N ? ) , 1+ 2 + 3 +L+ n 是等差数列, 也是等差数列; (1)若数列 {bn } 是等差数列,求证 {an } 也是等差数列;


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