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北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(3)函数与导数试题解析


北京市 2012 年高考数学最新联考试题分类大汇编
一、选择题: (5)(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试文科)设 x ? 0 ,且 1 ? b ? a ,则
x x

(A) 0 ? b ? a ? 1 【答案】C
x

(B) 0 ? a ? b ? 1

(C) 1 ? b ? a

(D) 1 ? a ? b

【解析】因为 x ? 0 ,且 1 ? b ? a ,所以 1 ? b ? a 。
x

8.(北京市西城区 2012 年 1 月高三期末考试理科)已知点 A ( ? 1, ? 1) .若曲线 G 上存在两点
B , C ,使 △ A B C 为正三角形,则称 G 为 ? 型曲线.给定下列三条曲线:

① y ? ? x ? 3 (0 ? x ? 3) ; 其中, ? 型曲线的个数是( (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C

② y? )

2 ? x (? 2 ? x ? 0) ;
2

③ y??

1 x

( x ? 0) . y
C?

y=-x+3 O A
B?

x

【解析】对于①, y ? ? x ? 3 (0 ? x ? 3) 的图像是一条线段,记为 B B ?, 如图(1)所 示,从

的图象是圆 x ? y ? 2 在第二象限的部分,如图(2)所示,显然,无论点
2 2

B、C 在何处,△ABC 都不可能为正三角形,所以②不是 ? 型曲线。 对于③, y ? ?
1 x ( x ? 0 ) 表示双曲线在第四象限的一支,如图(3)

所示,显然,存在点 B,C,使△ABC 为正三角形,所以③满足; 综上, ? 型曲线的个数为 2,故选 C. 7. (2012 年 3 月北京市朝阳区高三一模文科)某工厂生产的 A 种产品 进入某商场销售,商场为吸引厂家第一年免收管理费,因此第一年 A 种产品定价为每件 70 元, 年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始, 商场对 A 种产品 征收销售额的 x % 的管理费(即销售 100 元要征 收 x 元),于是该产品定价每件比第一年 增加了
70 ? x% 1 ? x%

元,预计年销售量减少 x 万件,要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的

管理费不 少于 14 万元,则 x 的最大值是 A. 2 B. 6.5 C. 8.8 【答案】D

D. 10

【答案】C 3.(北京市西城区 2012 年 4 月高三第一次模拟文)若 a ? lo g 2 3 , b ? lo g 3 2 , c ? lo g 4 则下列结论正确的是( D ) (A) a ? c ? b (C) b ? c ? a (B) c ? a ? b (D) c ? b ? a
? 2 ? x ? 1, ? f ( x ? 1), x ? 0, x ? 0.

1 3



(8) (北京市东城区 2012 年 4 月高考一模理科)已知函数 f ( x ) ? ?

若方程

f ( x ) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是

(A) ? ? ? ,1 ?

(B) ? ? ? ,1 ?

(C) ? 0 ,1 ?

(D) ? 0 , ? ? ?

【答案】A (8)(北京市东城区 2012 年 4 月高考一模文科)设集合 A ? [0, ) , B ? [ ,1] ,函数
2 2 1 1

1 ? ? x? , f (x) ? ? 2 ? 2 (1 ? x ), ?

x ? A, x ? B.

若 x 0 ? A ,且 f [ f ( x 0 )] ? A , 则 x 0 的取值范围是

(A)( 0 ,

1 4

]

(B) (

1 1 , ] 4 2

(C)(

1 1 , ) 4 2

(D) [0,

3 8

]

【答案】C

“函数 y=f(x)在 R 上单调递减”的 (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 【答案】A

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

8.(2012 年 3 月北京市丰台区高三一模文科)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足
f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x ) ? x 3 .若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? lo g a x 至少有 6

个零点,则 a 的取值范围是 (B) 1 (A) (1,5)

(C)
(0, ] ? [5, ? ? ) 5 1

(0, ) ? [5, ? ? ) 5

(D) [ ,1) ? (1, 5]
5

1

二、填空题: (11)(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试文科)已知函数 f ( x ) ? ?
5 f ( ) 的值为 6 1 【答案】 ? 2

?

3 x,

x ? 0, x ? 0,

? f ( x ? 1),

那么



【解析】 f ( ) ? f ( ? 1) ? f ( ? ) ? 3( ? ) ? ?
6 6 6 6

5

5

1

1

1 2

(13)(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试文科)对于函数 f ( x ) ? lg x ? 2 ? 1 ,有如下三 个命题:

① f ( x ? 2) 是偶函数; ② f ( x ) 在区间 ? ? ? , 2 ? 上是减函数, 在区间 ? 2, ? ? ? 上是增函 数; ③ f ( x ? 2 ) ? f ( x ) 在区间 ? 2, ? ? ? 上是增函数. 其中正确命题的序号是 上) 【答案】①② . (将你认为正确的命题序号都填

【解析】 :函数 f ( x ) 和 f ( x ? 2) 的图像如图所示,由图像可知 ①
f (x ?


? f x ? 2


x )?


x? ?(


x x?2 ) ?


?


2 l , x?2 g l g 2

由复合函数的单调性法则,可知函数 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) 在区间

? 2, ? ? ? 上是减函数。所以③错。
9. (北京市西城区 2012 年 1 月高三期末考试理科) 函数 f ( x ) ?
1 lo g 2 x

的定义域是______.

【答案】 { x |0 ? x ? 1或 x ? 1}

是 Q 的导数) ,则商品价格 P 的取值范围是

. (10, 20)

ì 1, x ? Q , ? (14) (2012年4月北京市海淀区高三一模理科)已知函数 f ( x ) = ? í

? 0, x ? ?R Q , ? ?



(ⅰ) f ( f ( x )) =



(ⅱ)给出下列三个命题: ① 函数 f ( x ) 是偶函数;

f ( f (2)) 的值为 0 ;函数 g ( x ) ? f ( x ) ? k 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是
?3 ? ? ,1 ? ?4 ?

.

【答案】

6 2

14.(2012 年 3 月北京市丰台区高三一模文科 )定义在区间 [ a , b ] 上的连续函数 y ? f ( x ) , 如果 ? ? ? [ a , b ] , 使得 f ( b ) ? f ( a ) ? f '(? )( b ? a ) , 则称 ? 为区间 [ a , b ] 上的 “中值点” 下 . 列函数: f ( x ) ? 3 x ? 2 ; f (x ) ?x ① ②
2

③ ? ? 1 ; f (x ) ?( x 1 ? x n l )

; f (x ) ? x ? ) ④ (

1 2

3

中,

在区间 [0,1] 上“中值点”多于一个的函数序号为____. (写出所有满足条件的函数的序 .. 号) 【答案】①④ 13. (2012 年 4 月北京市房山区高三一模理科设 f ( x ) 是定义在 R 上不为零的函数,对任意

x , y ? R ,都有 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ,若 a 1 ?

1 2

, a n ? f ( n )( n ? N ) ,则数列 { a n } 的前
*

n 项和的取值范围是

.

?1 ? ? 2 ,1 ? ? ?

三、解答题: (18)(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试文科) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x )?
1 3 x ? mx
3 2

? 3 m x ? 1 ( m ? 0) .
2

(Ⅰ)若 m ? 1 ,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线方程;
, ( Ⅱ ) 若 函 数 f ( x ) 在 区 间 ( 2m ? 1m ? 1) 单调递增,求实数 m 的取值范 上





解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x )?
2

1 3

x ? x ? 3 x ? 1 , f ( 2)?
3 2

8 3

? 4 ? 6 ?1?

5 3

. ???3 分

f ' ( x )? x ? 2 x ? 3 , f ' ( 2)? 4 ? 4 ? 3 ? 5 .

由于 m ? 0 , f ? ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
x
( ?? , ? 3 m )

? 3m

(? 3m , m )

m

( m , ?? )

f '(x)

+ 单调增

0 极大值

— 单调减

0 极小 值

+ 单调增

f (x)

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , ? 3 m ) 和 ( m , ? ? ) .

??? ?9分

19. (北京市西城区 2012 年 1 月高三期末考试理科)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?
1 2 ax
2

? ln( 1 ? x ) ,其中 a ? R .

(Ⅰ)若 x ? 2 是 f ( x ) 的极值点 ,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围.

② 当 a ? 0 时,令 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? 0 ,或 x 2 ?

1 a

?1.

当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 与 f ? ( x ) 的情况如下:

x

( ? 1, x1 )
?

x1

( x1 , x 2 )

x2

( x2 , ? ? )

f ?( x ) f (x)

0

?

0

?



f ( x1 )



f ( x2 )



x

( ? 1, x 2 )
?

x2

( x 2 , x1 )

x1

( x1 , ? ? )

f ?( x ) f (x)

0

?

0

?



f ( x2 )



f ( x1 )


1 a ? 1) 和 (0, ? ? ) . ?8 分

所以, f ( x ) 的单调增区间是 (

1 a

? 1, 0 ) ;单调减区间是 ( ? 1,

??????10 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递增,由 f ( 0 ) ? 0 ,知 不合题意. ? ? ? ? ? ? 11 分

(18) (2012 年 4 月北京市海淀区高三一模理科) (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x ) ? e

? kx

(x ? x ?
2

1 k

) (k ? 0) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

当 k ? ? 2 时, f '( x ) ? 2 e ( x ? 1) ? 0 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是
2x 2

(- ? ,

).

???????????????3 分 当 ? 2 ? k ? 0 时,
f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化情况如下:
x

(?? ,
?

2 k

)

2 k
0

(

2 k

, ? 1)
?

?1
0

( ? 1, ? ? )
?

f '( x ) f (x)

?

极大值
2

?

极小值
2

?

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , ) 和 ( ? 1, ? ? ) ,单调递减区间是 ( , ? 1) .
k k

???????????????5 分 当 k ? ? 2 时,
f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化情况如下:
x

( ? ? , ? 1)
?

?1
0

( ? 1,
?

2 k

)

2 k
0

(

2 k

, ?? )
?

f '( x ) f (x)

?

极大值

?
2

极小值

?
2

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , ? 1) 和 ( , ? ? ) ,单调递减区间是 ( ? 1, ) .
k k

???????????????7 分

(Ⅱ)当 k = - 1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e 当 k ? ? 2 时, f ( x ) 无极大值.

?2

. 理 由如下:

所以 ?
1 2

e

k

?

1 2

e

?2

.

k

因为

e

?2

? 3e

?2


?2

所以 f ( x ) 的极大值不可能等于 3e

.

???????????????12 分
?2

综上所述,当 k ? ? 1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e

.

???????????????13 分 18. (2012 年 3 月北京市朝阳区高三一模文科)(本题满分 14 分)

2 2 x (Ⅱ) f ? ( x ) ? ? a x ? 2 a x ? 1 ? ? e ,设 g ( x ) ? a x ? 2 a x ? 1 ,

(1)当 a ? 0 时, f ( x ) ? ? e , f ( x ) 在 ? ? ? , ? ? ? 上为单调减函数. ??5 分
x

(2)当 a ? 0 时,方程 g ( x ) ? ax ? 2 ax ? 1 = 0 的判别式为 ? ? 4 a ? 4 a ,
2
2

令 ? ? 0 , 解得 a ? 0 (舍去)或 a ? ? 1 .

3° a ? ? 1 时, ? ? 4 a ? 4 a ? 0 ,令 g ( x ) ? 0 ,
2

方程 a x ? 2 a x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根
2

x1 ? ? 1 ?

a ?a
2

a

, x2 ? ? 1 ?

a ?a
2



a

当 x ? ?1 ?

a ?a
2

时, g ( x ) ? 0 , f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( ? 1 ?

a ?a
2

, ? ? ) 上为

a

a

单调减函数. ??????????????????????????13 分 综上所述,当 ? 1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调减区间为 ? ? ? , ? ? ? ;当 a ? ? 1 时,
a ?a
2

函数 f ( x ) 的单调减区间为 ( ? ? , ? 1 ?

) ,? 1 ? (

a ?a
2

, ?? ) , 函数 f ( x ) 的

a

a

单调增区间为 ( ? 1 ?

a ?a
2

, ?1 ?

a ?a
2

).

??????????14 分

a

a

19. (北京市西城区 2012 年 4 月高三第一次模拟文)(本小题满分 13 分) 如图,抛物线 y ? ? x ? 9 与 x 轴交于两点 A , B ,点 C , D 在抛物线上 (点 C 在第一象
2

限) C D ∥ A B .记 | C D | ? 2 x ,梯形 A B C D 面积为 S . , (Ⅰ)求面积 S 以 x 为自变量的函数式; (Ⅱ)若
| CD | | AB | ? k ,其中 k 为常数,且 0 ? k ? 1 ,求 S 的最大值.

19.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,点 C 的横坐标为 x ,点 C 的纵坐标为 y C ? ? x ? 9 .
2 2

??1 分

点 B 的横坐标 x B 满足方程 ? x B ? 9 ? 0 ,解得 x B ? 3 ,舍去 x B ? ? 3 . ??2 分 所以 S ? 分 由点 C 在第一象限,得 0 ? x ? 3 . 所以 S 关于 x 的函数式为 S ? ( x ? 3)( ? x ? 9) , 0 ? x ? 3 .????5 分
2

1 2

(| C D | ? | A B |) ? y C ?

1 2

( 2 x ? 2 ? 3)( ? x ? 9 ) ? ( x ? 3)( ? x ? 9 ) . ?? 4
2 2

① 若 1 ? 3k ,即
x

1 3

? k ? 1 时, f ? ( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下:
(0,1)
1

(1, 3 k )

f ?( x ) f (x)

?

0

?



极大值

↘ ????11 分

所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值,且最大值为 f (1) ? 3 2 . ② 若 1 ? 3k ,即 0 ? k ?
1 3

时, f ?( x ) ? 0 恒成立,
2

所以, f ( x ) 的最大值为 f (3 k ) ? 27 (1 ? k )(1 ? k ) .
0 S 综上, ? k ? 1 时, 的最大值为 3 2 ; ? k ? 3 1 1 3

????13 分
S 时, 的最大值为 2 7 (1 ? k )(1 ? k ) .
2

(18) (共 14 分) (Ⅰ)解: f ? ( x ) ? x ? 2 e ?
3e x
2

.

????

2分

f ?( x ) ? x ? 2 e ?

3e x

2

?

( x ? e )( x ? 3e ) x

( x ? 0) .

在区间 (0 , e ) 上,有 f ?( x ) ? 0 ;在区间 (e, ? ? ) 上,有 f ?( x ) ? 0 . 故 f ( x ) 在 (0 , e ) 单调递减,在 (e, ? ? ) 单调递增,

故 F ( x ) 的最小值 m ? 2 a ? 3e ? 2 e ? 2 e ,符合题意;
2

????13



(18)(北京市东城区 2012 年 4 月高考一模文科)(本小题共 13 分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x ) ? ( a x ? 2 )e 的一个极值点. ( a ? R )
x

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x 2 ? ? 0 , 2 ? 时,证明 : f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e . (18) (共 13 分) (Ⅰ)解: f '( x ) ? ( a x ? a ? 2 )e ,
x

????2 分 ????4 分

由已知得 f ' (1) ? 0 ,解得 a ? 1 .

当 a ? 1 时, f ( x ) ? ( x ? 2 )e ,在 x ? 1 处取得极小值.
x

所以 a ? 1 .

????5 分

所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? ( ? e ) ? e .

????13 分

18. (2012 年 3 月北京市丰台区高三一模文科)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ? ax ? 1 (a ? R ) .
3 2

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线 x+y+1=0 平行,求 a 的值; 2 (Ⅱ)若 a>0,函数 y=f(x)在区间(a,a -3)上存在极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a>2,求证:函数 y=f(x)在(0,2)上恰有一个零点. 18.解: (Ⅰ)

x ? 2a .

????????6 分 2 因为 a>0,所以 x ? 0 不在区间(a,a - 3)内, 2 要 使 函 数 在 区 间 (a , a -3) 上 存 在 极 值 , 只 需

a ? 2a ? a ? 3 .
2

????????7 分 以



????????13 分 18.(2012 年 4 月北京市房山区高三一模理科(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? mx . (I)当 m ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (II)求函数 f ( x ) 的极值; (III)若函数 f ( x ) 在区间 ? 0, e ? 1 ? 上恰有 两个零点,求 m 的取值范围. ? ?
2

18. (本小题共 13 分)

(II) f ? ( x ) ?

1 1? x

? m , ( x ? ? 1)

(1) m ? 0 时, f ?( x ) ? 0 恒成立

f ( x ) 在 ( ? 1, ? ? ) 上单调递增,无极值.

????????6 分

(2) m ? 0 时,由于

1 m

? 1 ? ?1

?

若 f ( x ) 在 ? 0, e ? 1 ? 恰有两个零点,只需 ? ?
2

? f ( e 2 ? 1) ? 0 ? ? 1 2 ?1 ? e ?1 ?0 ? m ?

? 2 ? m ( e 2 ? 1) ? 0 2 ? ? 2 ? m ?1 即? 1 e ?1 ? m ?1 ? 2 e ?

????????13 分

(注明:如有其它解法,酌情给分)



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