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届湖南省长沙市周南中学第三次月考试卷(理)

2007 届湖南省长沙市周南中学第三次月考试卷(理)

一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分)

1.若 sin ? ? cos? ? 1? 3 ,则 sin 2? = 2

A. 3 2

B. - 3 2

C. 1 2

D. - 1 2

2.设

f

(x)

?

??2ex?1

? ??log3

(

x

2

?1)

(x<2) ,则f (x ? 2)

(

f

(2))的值为

A.0

B.1

C.2

D.3

3.在等差数列{an } 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 3a9 ? a11的值为

A.6

B.12

C.24

D.48

? ? 4.设集合

A

?

? ?x ?

3x ?1 1? x

?

? 0?
?



B

?

y | y ? ?x2, ?1 ? x ? 2

,则 A

(?U B) 为

A.?x 0 ? x ?1?

? ? B.

x x ? R, x ? 0

C.

??x ?

?

1 3

?

x

?

1?? ?

D.

? ?

x

?

x

?

?

1?

3

? ?

5.设等比数列{an } 的前 n 项和为 S n ,若 S4 ? 1 ,S8 ? 3 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 ?(



A.14

B.16

C.18

D.20

6.对一切实数 x,不等式 x2 ? a x ?1? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

A.(- ? ,-2)

B.[-2,+ ? )

C.[-2,2]

D.[0,+ ? )

7.函数

y

?

log 1
2

x

的定义域为

? ??

1 4

,

a

? ??

,值域为?0, 2? ,则 a

的最大值是

A. 3

B. 3 4

C. 2

D. 4

8.若 p : x2 ? x ? 2 ? 0, q : 1? x ? 0, 则 ? p 是 ? q 的 | x ?1|

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也不必要条件

9.对正整数 n,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则数列

{ an } 的前 n ?1

n

项和的公式 Sn

?

A. n(n ? 3) 2n ?1

B. n(n ?1) 2

C. 2n?1 ? 2

D. n2 ? n ? 6 2

10. 已知函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? a x( a ? 0 且 a ? 1)的图象关于直线 y ? x 对称,

记 g(x) ? f (x)[ f (x) ? 2 f (2) ?1] ,若 y ? g(x) 在区间[ 1 ,2] 上是增函数,则实数 a 的取 2
值范围是

A.[2,??)

B. (0,1) ? (1,2)

C.[1 , 2) 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分)

D. (0,1)

11.若角?的终边经过点(- 2 2 ,-1),则 sin?-cos?的值是

12.不等式 log 1 (3x ?1) ? ?3的解集是
2

13.设

Sn

是等差数列?an? 的前

n

项和,若公差

d

?

?

3 23

a1

?

0

,则使

Sn

取最小值的正整数

n 的值是

14.设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有:f(x+3) =-f(x),且当 x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,则

f(113.5)=

15. 已知 an ? logn?1(n ? 2)(n ? N?) ,我们把使乘积 a1·a2·a3·…·an 为整数的数 n 叫做
“劣数”,则在区间[1,2006]内的所有劣数的和为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)

16.(12 分)若 tan?

?

1 2

,求

sin ?? ? 5? tan ?3? ??

? ?

cot

? ??

? 2

?

?

? ??

tan

????

?

3? 2

? ??

cos ?8? ?? ? sin ??? ? 4? ?

sin( 7? 2

??)

17.(12 分)记函数 f(x)=

2

?

x?3 x ?1

的定义域为

A,g(x)=

lg

???

x

?

a

?1? ? 2a

?

x???

?a

? 1?

的定义域为 B.

(1)求 A;

(2)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

18. (14 分)已知函数 f(x)=ax3+bx2,曲线 y=f(x)过点 P(-1,2),且在点 P 处的切线恰 好与直线 x-3y=0 垂直. (1)求实数 a ,b 的值; (2)若关于 x 的方程 f(x)+k=0 在[-3,2]上仅有一实数解,求实数 k 的取值范围.

19. (14 分)设 Sn 是数列?an ? 的前 n 项和,且 Sn ? 2an ? 2(n ? N* ) .

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)若 bn

?

log2

a2n?1,设 cn

?

1 (1 ? bn )2

(n ? N* ) ,且数列?cn ? 的前

n

项和为

Tn

,证明:Tn<

1 4



20. (14 分)某森林出现火灾,火势正以每分钟100m2 的速度顺风蔓延,消防站接到警报
立即派消防队员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每

分钟灭火 50m2 ,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元,另附加每次救
火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元,而烧毁一平方米森林损失费为 60 元.
(1)设派 x 名消防队员前去救火,用 t 分钟将火扑灭,试建立 t 与 x 的函数关系式;
(2)问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少?
21.(14 分)设 f ? x? ? ? x ?1?2 , g ? x? ? 4? x ?1? ,数列{an}满足 a1 ? 2,
f ?an ? ? ?an ? an?1? g ?an ? ,数列?bn? 满足 bn ? 3 f ?an ? ? g ?an?1 ? (1)证明?an ?1?是等比数列; (2)设 cn ? n?an ?1? ,且?cn ?的前 n 项和为Tn ,求Tn 的表达式; (3)求数列?bn? 中 bn 的最大值与最小值.



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