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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 中档题目强化练——三角函数、解三角形


数学

R B(理)

中档题目强化练——三角函数、 解三角形
第四章 三角函数、解三角形

A组
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7 1.已知角 A 是△ABC 的一个内角,若 sin A+cos A= ,则 13 tan A 等于 12 A.- 5 ( A ) 7 B. 12 7 C.- 12 12 D. 5

? 7 ?sin A+cos A= , 13 解析 由? ?sin2A+cos2A=1, ?

? ?sin A=12, 13 ? 得? 5 ? cos A=- ? 13 ?

? ?sin A=- 5 , 13 ? 或? 12 ? cos A= ? 13 ?

12 (舍去),∴tan A=- . 5

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π 2.函数 y=3cos(x+φ)+2 的图象关于直线 x= 对称,则 4 φ 的可能取值是 ( A ) 3π 3π π π A. B.- C. D. 4 4 4 2

解析 ∵y=cos x+2 的对称轴为 x=kπ(k∈Z), π ∴x+φ=kπ(k∈Z),即 x=kπ-φ(k∈Z),令 =kπ- 4 π 3π φ(k∈Z)得 φ=kπ- (k∈Z), 在四个选项中, 只有 4 4

满足题意.

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3.已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 ?π? π ? ? x= 对称,且 f?3 ?=0,则 ω 的最小值为 ( A ) 12 ? ? A.2 B.4 C.6 D.8
π π π 解析 由题意知 ω· + φ = k 1π,ω·+φ=k2π+ , 12 3 2 其中 k1,k2∈Z,两式相减可得 ω=4(k2-k1)+2,

又 ω>0,易知 ω 的最小值为 2.故选 A.

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4.设函数 f(x)=cos(ωx+φ)-

? π? ? 3sin(ωx+φ)?ω>1,|φ|< ? ,且 ? 2? ?

π 其图象相邻的两条对称轴为 x1=0,x2= ,则 ( 2 ? π? ? A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在?0, ? ?上为增函数 2 ? ? ? π? ? B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在?0,2 ? ?上为减函数 ? ? C.y=f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为增函数 D.y=f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为减函数

)

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解析 由已知条件得

? π? ? f(x)=2cos?ωx+φ+3? ?, ? ?

T π 2π 由题意得2=2,∴T=π.∴T= ω ,∴ω=2.
? π? ? 又∵f(0)=2cos?φ+3? ?,x=0 ? ?

为 f(x)的对称轴,

π π ∴f(0)=2 或-2,又∵|φ|<2,∴φ=-3, ? π? ? ? 此时 f(x)=2cos 2x,在?0,2?上为减函数,故选 B. ? ? 答案 B

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? π? ? ? 在?0,2 ?上有 ? ?

5.已知函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x-m

两个零点,则 m 的取值范围是 ( A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[1,2]

)

解析 利用三角函数公式转化一下,得 f(x) = π 2sin(2x+6)-m, π 它的零点是函数 y1=2sin(2x+6)和 y2=m 的交点 所对应的 x 的值, ? ? π ? 0 , ∴要在? y1 和 y2 就要有两个交点, ? ?上有两个零点, 2 ? ?

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? π? ? ? 在?0,2 ?上有 ? ?

5.已知函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x-m

两个零点,则 m 的取值范围是 ( B ) A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[1,2]

结合函数

? ? π? π? ? ? ? y1=2sin?2x+6 ?在?0,2? ?上的图象, ? ? ? ?

知道当 y2=m 在[1,2)上移动时, 两个函数有两个 交点.

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3 π 6.已知△ABC 的面积为 ,AC= 3,∠ABC= , 2 3

3+ 3 . 则△ABC 的周长等于________
1 3 解析 S=2acsin∠ABC= 2 ,得 ac=2; ①

a2+c2-b2 2 根据余弦定理 cos∠ABC= ,得 a + 2ac c2=5. ②

由①②可求得 a+c=3,则三角形周长可求.

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7.函数

? ? π k π ? ? ? ? π - + , 0 ? ? ? 12 ?(k∈Z) 4 y=tan?2x+6 ?的对称中心为___________________ . ? ? ? ?

π 解析 ∵y=tan x(x≠2+kπ,k∈Z)的对称中心为 ? kπ ? ? ? , 0 ? ?(k∈Z), ?2 ? π kπ π kπ ∴可令 2x+6= 2 (k∈Z), 解得 x=-12+ 4 (k∈Z). ? ? π ? 2 x + 因此,函数 y=tan? ? ?的对称中心为 6 ? ? ? ? π kπ ? ? - + , 0 ? ?(k∈Z). 12 4 ? ?

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8.已知函数

?π? ? f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f? ? ?= ?2 ?

2 - ,则 f(0)=________. 3

2π 解析 由图象,可知所求函数的最小正周期为 3 , 故 ω=3. 从函数图象可以看出这个函数的图象关于点 ?7π ? ? ? , 0 ? ?中心对称, 12 ? ?

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8.已知函数

2 2 3 - ,则 f(0)=________. 3

?π? ? f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f? ? ?= ?2 ?

也就是函数 f(x)满足

?7π ? ?7π ? ? ? ? - x + x f? =- f ? ? ? ?, ?12 ? ?12 ?

?π? ?2π? π ? ? ? 当 x=12时,得 f?2?=-f? ? ?=-f(0), ? ? ?3? 2 故得 f(0)=3.

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9.(2013· 重庆)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 c,且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最 大值,并指出此时 B 的值.
b2+c2-a2 - 3bc 解 (1)由余弦定理得 cos A= = 2bc 2bc 3 =- . 2 5π 又因为 0<A<π,所以 A= 6 .

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9.(2013· 重庆)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 c,且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最 大值,并指出此时 B 的值.

1 (2)由(1)得 sin A= , 2 又由正弦定理及 a= 3得 1 1 asin B S=2absin C=2· asin C=3sin Bsin C, sin A ·

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9.(2013· 重庆)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 c,且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最 大值,并指出此时 B 的值.

因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C) =3cos(B-C). π-A π 所以,当 B=C,即 B= 2 =12时, S+3cos Bcos C 取最大值 3.

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π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图象 2 π 与 x 轴的相交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象 2 ?2π ? 上一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; ?π π? (2)当 x∈?12, 2?时,求 f(x)的值域. ? ?

A=2. π T π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2得, 2=2, 2π 2π 即 T=π,所以 ω= T = π =2.

解 (1)由最低点为

?2π ? ? ,- 2 M? ? ?,得 3 ? ?

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π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图象 2 π 与 x 轴的相交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象 2 ?2π ? 上一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; ?π π? (2)当 x∈?12, 2?时,求 f(x)的值域. ? ?

由点


?2π ? ? M? 3 ,-2? ?在函数 ? ?

f(x)的图象上,

? ? 2π ? 2sin?2× 3 +φ? ?=-2, ? ?

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π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图象 2 π 与 x 轴的相交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象 2 ?2π ? 上一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; ?π π? (2)当 x∈?12, 2?时,求 f(x)的值域. ? ?



4π π 故 +φ=2kπ- ,k∈Z, 3 2 11π 所以 φ=2kπ- (k∈Z). 6

?4π ? ? sin? 3 +φ? ?=-1. ? ?

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π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图象 2 π 与 x 轴的相交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象 2 ?2π ? 上一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; ?π π? (2)当 x∈?12, 2?时,求 f(x)的值域. ? ?



? π? ? ? 0 , φ∈? ?,所以 2 ? ?

π φ= , 6

故 f(x)的解析式为

? π? ? f(x)=2sin?2x+6? ?. ? ?

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π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图象 2 π 与 x 轴的相交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象 2 ?2π ? 上一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; ?π π? (2)当 x∈?12, 2?时,求 f(x)的值域. ? ?

(2)因为

?π π? ? ? x∈?12,2 ?,所以 ? ?

7π? π ? ?π ? 2x+ ∈?3, 6 ?. 6 ? ?

π π π 当 2x+6=2,即 x=6时,f(x)取得最大值 2;

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π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图象 2 π 与 x 轴的相交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象 2 ?2π ? 上一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; ?π π? (2)当 x∈?12, 2?时,求 f(x)的值域. ? ?

π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 2

故函数 f(x)的值域为[ -1,2] .

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2 1.若 0≤sin α≤ ,且 α∈[-2π,0],则 α 的取值范围是 ( ) 2 ? ? ? 7π? ? ? ? 5π A.?-2π,- ?∪?- ,-π? ? 4? ? 4 ? ? ? ? ? 5π ? 7π ? ? ? B.?-2π+2kπ,- +2kπ?∪?- +2kπ,-π+2kπ? ? (k∈Z) 4 4 ? ? ? ? ? ? ? π? ? ? ?3π C.?0, ?∪? ,π? ? 4? ? 4 ? ? ? ? ? π? 3π ? ? ? D.?2kπ,2kπ+ ?∪?2kπ+ ,2kπ+π? ?(k∈Z) 4 4 ? ? ? ?

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解析 根据题意并结合正弦线可知, ? π? ? α 满足?2kπ,2kπ+4 ? ?∪ ? ? ? ? 3π ? ? 2 k π + , 2 k π + π ? ?(k∈Z), 4 ? ?

∵α∈[ -2π,0] ,∴α 的取值范围是 ? ? ? 7π? 5π ? ? ? ? - 2 π ,- - ,- π ∪ ? ? ? ?. 4 4 ? ? ? ?
故选 A.

答案 A

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3 1 4 2 5 2.同时具有下列性质:“①对任意x∈R,f(x+π)=f(x)恒成立;②图 ? π π? π 象关于直线x= 对称;③在?-6,3 ?上是增函数”的函数可以是 3 ? ?
?x π? A.f(x)=sin?2+6 ? ? ? ? π? C.f(x)=cos?2x+3 ? ? ? ? π? B.f(x)=sin?2x- 6? ? ? ? π? D.f(x)=cos?2x-6 ? ? ?

( B )

解析 依题意,知满足条件的函数的一个周期是 π, ? π π? π 以x= 为对称轴,且在?-6,3?上是增函数. 3 ? ? 对于A,其周期为4π,因此不正确;
?π ? ? π π? 对于C,f?3?=-1,但该函数在?-6,3?上不是增函数,因此C不正确; ? ? ? ?

?π? 对于D,f?3?≠± 1,因此D不正确. ? ?

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3. 已知函数 f(x)=2sin

?π ? ? x, g(x)=2sin?2-x? 直线 ?, ? ?

x=m 与 f(x),

g(x) 的图象分别交于 M 、 N 两点,则 |MN| 的最大值为

2 2 . ________
解析 构造函数 F(x)=2sin x-2cos x=2 故最大值为 2 2.
? π? ? 2sin?x-4? ?, ? ?

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4.曲线

? ? π? π? ? ? ? y=2sin?x+4 ?cos?x-4 ? ?与直线 ? ? ? ?

1 y= 在 y 轴右侧的交点 2

按横坐标从小到大依次记为 P1, P2, P3 ,?,则 |P2P4|=

π ________.
? ? π? π? ? ? ? 解析 y=2sin?x+4?cos?x-4? ? ? ? ? ? ? ? ? π? π π? π? ? ? ? ? 2? =2sin?x+4?· cos?x+4-2?=2sin ?x+4? ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? =1-cos?2x+2? ?=1+sin 2x, ? ?

|P2P4|恰为一个周期的长度 π.

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5

5.已知函数 f(x)= 3(sin2x-cos2x)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? ? π π ? (2)设 x∈? ?- , ?,求 f(x)的值域和单调递增区间. 3 3? ?
解析 (1)∵f(x)=- 3(cos2x-sin2x)-2sin xcos x ? π? ? =- 3cos 2x-sin 2x=-2sin?2x+3? ?, ? ?

∴f(x)的最小正周期为 π.

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5.已知函数 f(x)= 3(sin2x-cos2x)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? ? π π ? (2)设 x∈? ?- , ?,求 f(x)的值域和单调递增区间. 3 3? ?
? π π? π π ? ? (2)∵x∈?-3,3?,∴- ≤2x+ ≤π. 3 3 ? ?

? π? 3 ? ∴- 2 ≤sin?2x+3? ?≤1. ? ? ∴f(x)的值域为[-2, 3]. ? π? ? ∵当 y=sin?2x+3? ?递减时,f(x)递增, ? ?

π π 3π 令 2kπ+2≤2x+3≤2kπ+ 2 ,k∈Z,

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5.已知函数 f(x)= 3(sin2x-cos2x)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? ? π π ? (2)设 x∈? ?- , ?,求 f(x)的值域和单调递增区间. 3 3? ?
π 7π 则 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 12 12


? π π? π π ? ? - , x∈? 3 3?,∴12≤x≤3. ? ?
?π π? ? f(x)的单调递增区间为?12,3? ?. ? ?



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