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浙江省学军中学2012届高三上学期期中考试题数学理

杭州学军中学 2011 学年第一学期期中考试 高三数学(理)试卷
本卷共 150 分,时间:120 分钟 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 若函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 A,函数 g ( x) ? lg( x ? 1) , x ?[2,11] 的值域为 B, 则 A? B 为 A. (??,1] 2.在△ABC 中,“ A ? B. (??,1) C. [0,1] D. [0,1) ( ( ) ) ( )

?
3

”是“ sin A ?

3 ”的 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设等差数列 {an } 的前n项和为Sn , 若2a8 ? 6 ? a11 , 则S9 的值等于 A.54 4. 已知 ? ? ( B.45 C.36 D.27 ( )

4 ,则 tan ? 等于 4 4 4 5 1 1 A. ? 7 B.7 C. ? D. 7 7 ? ? ? ? ? ? ? 5. 已知向量 | a |? 1,| b |? 3, b ? a ,则 a ? b 与 b 夹角为 , ) , sin(? ? )?
A.

? 3?

?





? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

6.将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图象向左平移 最小值等于 A.2

? 个单位,若所得图象与原图象重合,则 ? 的 2
( ) D.8

5? 6

B.4

C.6

7. 等比数列 {an } 的首项a1 =1,前n项和为Sn , 且 9S3 ? S6 ,则数列 ?

?1? ? 的前 5 项和为( ? an ?

)

A.

15 或5 8

B.

31 或5 16

C.

15 8

D.

31 16
( )

1+cosx π 8.设曲线 y= 在点?2,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于 ? ? sinx A.-1
4

B.1
3 2

C.-2

D.2 ( )

9. 若函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 2 有且仅有一个极值点,则实数 a 的取值范围

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A.[ ?

4 4 6, 6] 3 3

B. [ ?

4 4 4 2 4 2 6, 6) , ] C.( 3 3 3 3

D.( ?

4 2 4 2 , ) 3 3

10.已知函数 f ( x ) ? ? 零点个数是 A.1

?2 x

?1 ? x ? 1

? f ( x ? 2) ? 1, 1 ? x ? 3
C.3

,则函数 g ( x ) ? f ( f ( x )) ? 2在区间 ( ?1, 3] 上的 ( )

B.2

D.4

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共28 分) 11. 在平行四边形 ABCD 中, AC ? (1,2), BD ? (?3,2) ,则 AD?AC = 12. 已知 sin(? ? ? ) ? ?2sin(

??? ?

??? ?

???? ??? ?

?
2

? ? ) ,则 sin ? ? cos ? ?



13. 等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a8 ? 2 ,函数 f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) ,则 f '(0) = 14.在△ABC 中, 已知 cos A ?

2 5 3 10 ,角 A, C 所对的边分别为 a, b, c , a ? 2 , B, 若 ,cos B ? 5 10

则c= 15. 已知整数对的序列如下: (1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4) , , , , , , , (2,3)(3,2)(4,1)……则第 2011 个数对是 , ,

a 1 |在 x?[ ? ,1]上增函数,则实数 a 的取值范围是______ x 2 e 17.等比数列 {an } 的公比为 q ,其前 n 项的积为 Tn ,并且满足条件 a1 ? 1 , a99 a100 ?1 ? 0 , a99 ? 1 ? 0 。给出下列结论:① 0 ? q ? 1 ;② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ,③ T100 的值是 Tn 中最大的;④使 a100 ? 1 Tn ? 1 成立的最大自然数 n 等于 198。
16.若函数 f(x)=| e ?
x

其中正确的结论是 . 三.解答题(本大题共5小题,共72 分)kkksss555uuu 18. 已知向量 m ? (sin A, ) 与 n ? (?1,sin A ? 3cos A) 共线,其中 A 是△ABC 的内角。 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC ? 2 ,求 3AB ? AC 的最大值。

??

1 2

?

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19.已知 a ? (cos

?

3? 3? ? ? ? ? ?? ,sin ), b ? (cos , ? sin ), 且? ? ?0, ? 2 2 2 2 ? 3?

? ? ? ? ? ? a ?b (1)求 ? ? 的最值; (2)是否存在 k 的值使 ka ? b ? 3 a ? kb ? a?b

20. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ? (1)求 a , b 的值;

1 2x ? b 为偶函数.且 f (0) ? x 2 4 ?a

(2)判断 f ( x ) 在 (0,1) 上的单调性,并证明你的结论; (3)若方程 f ( x) ? m 在 (?1,1) 上有解,求 m 的取值范围?kkksss555uuu

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21. 已知各项为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 (an ? 1)(4an ? 1) ? 6Sn ( n ? N ? ) , (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an (2)令 bn ?

m ? 1992 1 * 对一切 n ? N 恒 (n ? 2), b1 ? 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若 Tn ? 3 an ?1an

成立,求 m 的最小值.

kks55u kss5uu

22.已知函数 f ( x) ? ln( ? (Ⅰ)若 x ?

1 2

1 ax) ? x 2 ? ax .( a 为常数, a ? 0 ) 2

1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [ , ? ?) 上是增函数; 2 1 (Ⅲ)若对任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ? [ , 1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a2 ) 成立,求实数 m .. .. 2
的取值范围.

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杭州学军中学 2011 学年第一学期期中考试 高三数学(理)答卷
一、 选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 13. 15.___________________ 17. 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分. 18. (本小题满分 14 分) 12. 14. 16.______________________

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19.(本小题满分 14 分)

20. (本小题满分 14 分)

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21.(本小题满分 14 分)

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22. (本小题满分 16 分)

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杭州学军中学 2011 学年第一学期期中考试 高三数学(理)答案
一、 选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 B 7 D 8 A 9 B 10 C

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 14. 17. 3 12.

?

2 5

13.

16

5
①②④

15.______ ?58,6? __

16._____ ? ,

? 1 1? ? e e ? _____ ? ?

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分. 18. (本小题满分 14 分) 解:(1) ? m / / n

??

? ?

? sin A(sin A ? 3 cos A) ? ? 1 ks5u kss5u k 5u 2

1 2

? sin 2 A ? 3 sin A cos A ? ?

1 ? cos 2 A 3 1 ? sin 2 A ? ? 2 2 2 ? sin(2 A ? ) ? 1 6 ? ? ? ?2 A ? ? ?A? 6 2 6 AB AC BC 2 (2)? ? ? ? ?4 sin C sin B sin A sin ? 6 ? AB ? 4sin C , AC ? 4sin B

? 3AB ? AC ? 4 3sin C ? 4sin B

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5? ? C) 6 ? 2 3 sin C ? 2 cos C ? 4 3 sin C ? 4sin( ? 4sin(C ? ) 6 5? ? ? 2? ?0 ? C ? ?? ? C ? ? 6 6 6 3 ? ? sin(C ? ) ? 1 6 ? 3AB ? AC 的最大值为 4
19.(本小题满分 14 分) 解:由已知得: a ? b ? cos

?

3? ? 3? ? cos ? sin sin ? cos 2? 2 2 2 2 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? a ? b ? a 2 ? 2a ? b ? b2 ? 2cos? ? ? a ?b cos 2? 1 ?? ? ? ? cos ? ? 2cos ? a ? b 2cos ?

? ?

令 cos ? ? t , t ?

?1 ? ? 2 ,1? ? ?

1 1 1 1 ? t ? ,(t ? ) ' ? 1 ? 2 ? 0 2 cos ? 2t 2t 2t 1 1 1 ? t ? 为增函数,其最大值为 ,最小值为 ? 2t 2 2 ? ? 1 1 a ?b ? ? ? 的 最大值为 ,最小值为 ? 2 2 a?b ? ?2 ? ?2 (2)假设存在 k 的值满足题设,即 ka ? b ? 3 a ? kb ? ? ? ? ? a |?| b |? 1, a ? b ? cos2? | ? cos ? ?

1? k2 4k ?? 1 ? ?? ? ?0, ? ,?? ? cos 2? ? 1 2 ? 3? 2 1 1? k ?? ? ?1 ?2 ? 3 ? k ? 2 ? 3或k ? ?1 2 4k ? cos 2? ?
20. (本小题满分 14 分)
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(1) ? f ( x ) 为偶函数

? f (? 1 ? f )

,又) f (0) ? (1 ?

1 2

?1 ? b 1 ?1 ? a ? 2 ? ? ?? 1 ? b 2?b ?2 ? 1 ? ?a 4?a ?4 ?
(2)证明: f ( x ) ?

? a ? 1, b ? 0

2x 在(0,1)上是减函数 4x ? 1
2 x1 2 x2 (2 x2 ? 2 x1 )(2 x1 2 x2 ? 1) ? x2 ? 4 x1 ? 1 4 ? 1 (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

设x1, x2 ? (0,1)且x1 ? x2 . ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

且2 x2 ? 2 x1 ? 0, 2 x1 2 x2 ? 1,? f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以 f ( x ) 在(0,1)上是减函数 。 (用求导做同样给分) (3) m ?

2x 4x ? 1

当 x ??0,1? 时,函数 f ( x ) 单调递减, f ( x) ? ? , ? , 5 2

? 2 1? ? ?

又因为 f ( x ) 是偶函数,所以当 x ? ? ?1,1? 时, f ( x) ? ? , ? , 5 2 所以当 m ? ? , ? 时,方程在(-1,1)上有解。 5 2 21.(本小题满分 14 分) 解: ?(an ? 1)(4an ? 1) ? 6Sn ( n ? N ? )
2 ?4an ? 3an ? 1 ? 6Sn

? 2 1? ? ?

? 2 1? ? ?

当n ? 2时, an?1 ? 3an?1 ? 1 ? 6Sn?1 4 2
2 2 ?4an ? 3an ? 1 ? 4an?1 ? 3an?1 ? 1 ? 6an

4(an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 3(an ? an?1 ) ? 0
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? an ? 0,? an ? an ?1 ?

3 4

2 又?4a1 ? 3a1 ? 1 ? 6a1

? a1 ? 1 ? an ?

3n ? 1 4

(2)? n ? 2, cn ?

1 16 16 1 1 ? ? ( ? ) an?1an (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

16 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 19 16 1 19 m ? 1992 ? ? ? ? ? 3 3 3n ? 1 3 3 ? m ? 2011 ?m 的最小值为 2011 ?Tn ? 1 ?
22. (本小题满分 16 分)

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a . 2 解: f ?( x) ? ? 2x ? a ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2 1 a2 ? 2 (Ⅰ)由已知,得 f ?( ) ? 0 且 ? 0 ,? a 2 ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? 2 . 2 2a
( Ⅱ ) 当

0 ? a ? 2 时,?

a ? 2 1 a ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) 1 a ? 2 ks5u ,kkss55uu ? ? ? ? 0 ,? ? 2a 2 2a 2a 2 2a 1 2ax 1 a2 ? 2 ? 0 ,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 [ , ? ?) 上是增函数. ? 0 .又 ? 当 x ? 时, x ? 2 1 ? ax 2 2a
2 2 2

(Ⅲ) a ? (1, 2) 时,由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f (1) ? ln( ? 于是问题等价于:对任意的 a ? (1, 2) ,不等式 ln( ?

1 2

1 2

1 a) ? 1 ? a , 2

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立. 2

1 1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) , 1 ? a ? 2 ) ( 2 2 1 a ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] , 则 g ?(a ) ? 1? a 1? a ?a ? 2ma ? 0 , 当 m ? 0 时, g ?( a ) ? 1? a ? g (a) 在区间 (1, 2) 上递减,此时, g (a) ? g (1) ? 0 ,
记 g (a ) ? ln( ?
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由于 a ? 1 ? 0 ,? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0 ,
2

? g ?(a ) ?


2ma 1 [a ? ( ? 1)] . 1? a 2m

1 1 ? 1 ? 1 ,可知 g (a) 在区间 (1, min{2, ? 1}) 上递减,在此区间上,有 g (a) ? g (1) ? 0 , 2m 2m 1 ? 1 ? 1 , 这 时 , g ?(a) ? 0 , g (a) 在 (1, 2) 上 递 增 , 恒 有 与 g (a) ? 0 恒 成 立 矛 盾 , 故 2m ?m ? 0 1 ? ,即 m ? , g ( a) ? g (1) 0 ? ,满足题设要求,? ? 1 4 ? 2m ? 1 ? 1 ?
所以,实数 m 的取值范围为 [ , ? ?) .

1 4

kks55u kss5uu

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