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2015-2016学年高中数学 3.2一元二次不等式练习 苏教版必修5

3 .2 一元二次不等式 1.一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数为二次的整式不等式,叫做一元二 次不等式. 2.设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),则一元二次方程 f(x)=0 的解集,就是使二次函数值 等于 0 时自变量 x 的取值的集合. 3.设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),则一元二次不等式 f(x)>0 的解集,就是使二次函数 值大于 0 时自变量 x 的取值的集合. 4.若二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴无交点,则说明方程 f(x)=0 无 实数解,此时,一元二次方程的判别式的值 Δ <0. 5.若一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)判别式的值Δ <0,则说明二次函数 y=ax + 2 2 2 2 2 bx+c( a≠0)的图象与 x 轴没有交点,若 a>0,则意味着不等式 ax2+bx+c>0 的解集是全 体实数,不等式 ax +bx+c<0 的解集是空集. 6.若一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)判别式的值Δ >0,则说明二次函数 y=ax + 2 2 2 bx+c(a≠0)的图象与 x 轴有两个交点(x1,0),(x2,0),设 x1<x2,若 a>0,则使 y=f(x) 的函数值为负值的自变量 x 的取值的集合为{x|x1<x<x2},此集合即为不等式 ax +bx+c <0 的解集. 7.若 ax +bx+c≥0 的解集是空集,则二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象开口向下, 且与 x 轴没有交点. 8. 若 ax +bx+c>0 的解集是实数集 R, 则二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象开口向上, 且二次三项式的判别式Δ <0. 9.应用不等式解实际问题的步骤:①建立数学模型;②设变量;③建立数学关系式; ④解不等式;⑤检验. 2 2 2 2 2 l 2 10.周长为 l 的矩形的面积的最大值为 ,对角线长的最小值为 l. 16 4 11.b 克糖水中含有 a 克糖(b>a>0),糖水的浓度为 ,若再加入 m 克糖,则糖水更甜 了,此时糖水的浓度为 2 a b a+m . b+m 2 2 12.若一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)判别式的值Δ =0,则说明二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴相切于?- ? b ,0?;若 a>0,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 ? ? 2a ? 1 b? ?-∞,- b ?∪?- b ,+∞?,不等式 ax2+bx+c≤0 的解集是? ?- ?. ? ? ? ? 2a? ? 2a ? ? ? 2a? 13. 若函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)与 x 轴有两个交点, 要求出不等式 ax +bx+c>0(或 2 2 ax2+bx+c<0)的解集,只要求出方程 ax2+bx+c=0 的根即可. 14.若一元二次不等式 ax +bx+c<0 的解集为{x|x1<x<x2},则可以判定 a>0,方程 2 ax2+bx+c=0 的根分别为 x1、x2. ?基础巩固 一、选择题 1.不等式 2x -x-1>0 的解集是(D) 2 ? ? A.?- ,1? 1 ? 2 ? B.(1,+∞) C.(-∞, 1)∪(2,+∞) D.?-∞,- ?∪(1,+∞) 2 ? ? 1? ? 1 2 解析:∵2x -x-1>0?(2x+1)(x-1)>0?x<- 或 x>1. 2 2.下列命题中正确的是(B) A.不等式 x2>1 的解集是{x|x>±1} B.不等式-4+4x-4x2≤0 的解集是 R C.不等式-4+4x-x ≥0 的解集是空集 5 2 D.不等式 x -2ax-a- >0 的解集是 R 4 解析:结合三个二次的关系. 2 x-1 3.不等式 ≤0 的解集为(A) 2x+1 ? 1 ? A.?- ,1? ? 2 ? ? 1 ? B.?- ,1? ? 2 ? 1? ? C.?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ? 1? ? D.?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ? 2 解析: ?(x-1)(2x+1)≤0, ? x-1 1 ≤0?? ? - <x≤1. 2x+1 2 ? ?2x+1≠0 4.不等式(x-1)(x-3)>0 的解集为(C) A.{x|x<1} B.{x|x>3} C.{x|x<1 或 x>3} D.{x|1<x<3} 解析:结合图象求解. 5.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围 是(B) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 2 解析:根据定义,x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x +x-2<0,解得-2<x<1. 二、填空题 6.(2013·广东卷)不等式 x +x-2<0 的解集为________. 解析:由 x +x-2=(x+2)(x-1)<0 得-2<x<1. 答案:(-2,1) 7. 已知关于 x 的不 等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:x -ax+2a>0 恒成立?Δ <0,即 a -4 ×2a<0,解得 0<a<8. 答案:(0,8) 2 2 2 2 2 x2-9 8.不等式 >0 的解集是________. x-2 (x+3)(x-3) 解析:原不等式可化为 >0,利用穿根法,易得-3<x<2 或 x>3. x-2 答案:(-3,2)∪(3,+∞) 三、解答题 9.求函数 y=lg(x -2x-3)+ 2 2 的定义域. -x +3x+10 2 1 ? ?x -2x-3>0, 解析:依题意可得? 2 ?-x +3x+10>0, ? ? ?x<-1或x>3, ?-2<x<5. ? ∴? ∴不等式组的解是-2< x<-1 或 3<x<5.


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