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高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算1.2.2函数的和差积商的导数课件苏教版选修2_2_图文

1.2 1.2.2 函 数 的 和、 差、 积、 商 的 导 数 理解教材 新知 第 1 章 考点一 把握热点 考向 考点二 考点三 应用创新 演练 1.2 导数的运算 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 1 已知 f(x)=x,g(x)=x. 问题 1:f(x)、g(x)的导数分别是什么? 1 提示:f′(x)=1,g′(x)=- 2. x 1 问题 2:若 Q(x)=x+x,则 Q(x)的导数是什么? ? - Δx 1? 1 提示:∵Δy=(x+Δx)+ -?x+x?=Δx+ , x+Δx ? x?x+Δx? ? Δy 1 ∴ =1- . Δx x?x+Δx? Δy 1 当 Δx 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 1- 2, Δx x 1 ∴Q′(x)=1- 2. x 问题 3: Q(x)的导数与 f(x), g(x)的导数有什么关系? 提示:Q′(x)=f′(x)+g′(x). 导数的运算法则 设两个函数分别为 f(x)和 g(x),则 (1)[f(x)+g(x)]′= f′(x)+g′(x) ; (2)[f(x)-g(x)]′= f′(x)-g′(x); (3)[Cf(x)]′= Cf(x)′ (C 为常数); (4)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? 2 ? ? g ?x? (5)? ′= (g(x)≠0). ? g ? x ? ? ? 1.对于和差的导数运算法则,可推广到任意有限可导 函 数 的 和 或 差 , 即 [f1(x)± f2(x)± …± fn(x)]′ = f1′(x)± f2′(x)± …± fn′(x). 2.对于积与商的导数运算法则,首先要注意在两个函 数积与商的导数运算中, 不能出现[f(x)· g(x)]′=f′(x)· g′(x) ? f?x? ? f′?x? ? ? 以及(5)? ?′=g′?x?这样想当然的错误;其次还要特别注 ?g?x?? 意两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数法则 中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”. 求函数的导数 [例 1] 求下列函数的导数: 2 3 x cos x (1)y=x +log3x;(2)y=x · e ;(3)y= x ; (4)y=xtan x. [ 思路点拨 ] 结合常见函数的导数公式及导数的四则 运算法则直接求导. [精解详析] 2 (1)y′=(x2+log3x)′ 1 =(x )′+(log3x)′=2x+ . xln 3 (2)y′=(x3· ex)′=(x3)′· ex+x3· (ex)′ =3x2· ex+x3· ex=(3x2+x3)ex. ?cos (3)y′=? x ? x? ?′= ? ?cos x?′· x-cos x· x′ x2 -x· sin x-cos x = x2 xsin x+cos x =- . x2 (4)y′=(x· tan ?xsin x? x)′=? cos x ?′ ? ? ?xsin x?′cos x-xsin x?cos x?′ = cos2x ?sin x+xcos x?cos x+xsin2x = cos2x sin xcos x+x = . cos2x [一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算 法则可迅速解决一些简单的求导问题,要透彻理解函数求导 法则的结构特点,准确熟记公式,还要注意挖掘知识的内在 联系及其规律. (2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等 变换对已知函数解析式进行化简或变形,如把乘积的 形式展开,公式形式变为和或差的形式,根式化成分 数指数幂,然后再求导,使求导计算更加简化. 1 3 1.若 f(x)= x +2x+1,则 f′(-1)=________. 3 ?1 ? ?1 ? 3 解析:f′(x)=?3x +2x+1?′=?3x3?′+(2x)′+1′ ? ? ? ? =x2+2, 所以 f′(-1)=(-1)2+2=3. 答案:3 2.函数 y=x(x2+1)的导数是________. 解析:y′=[x(x2+1)]′=(x3+x)′=3x2+1. 答案:3x2+1 3.求下列函数的导数: sin x-cos x ln x x (1)y= -2 ;(2)y= . 2cos x x+ 1 ? ln x ? ? x 解:(1)y′=? ′ - (2 )′ ?x+1? ? ? 1 x?x+1?-ln x x = -2 ln 2 2 ?x+1? 1 1+x-ln x x = - 2 ln 2 ?x+1?2 x-xln x+1 x = -2 ln 2. x?x+1?2 ?sin x-cos ? (2)y′=? 2cos x ? x? ? ? sin x 1? - ?′ ?′=? 2cos x 2? ? ? ? sin x ? 2cos2x+2sin2x =?2cos x?′= 2 4cos x ? ? 1 = . 2cos2x 导数运算法则的简单应用 [例 2] 设 f(x)=a· ex+bln x,且 f′(1)=e,f′(-1) 1 = ,求 a,b 的值. e [思路点拨] 的方程组求解. 首先求 f′(x),然后利用条件建立 a,b [精解详析] b f′(x)=(a· e )′+(bln x)′=a· e +x, x x ae+b=e, ? ? 1 由 f′(1)=e,f′(-1)= ,得?a 1 e -b= , ? e ?e ? ?a=1, 解得? ? ?b=0, 所以 a,b 的值分别为 1,0. [一点通] 利用导数值求解参数问题,是高考的热点问 题.它比较全面地考查了导数的应用,突出了导数的工具性 作用.而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公 式是解决此类问题的关


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