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(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣第三篇 2函数与导数 文


2.函数与导数

1. 函数是数集到数集的映射,作为一个映射,就必须满足映射的条件,只能一对一或者多 对一,不能一对多.
?1 ? [问题 1] 设 A={0,1,2,4},B=? ,0,1,2,6,8?,判断下列对应关系是否是 A 到 ?2 ?

B 的映射.(请在括号中填“是”或“否”)
①f:x→x -1( ③f:x→2
x-1
3

) )

②f:x→(x-1) ( ④f:x→2x( )

2

)

(

答案 ①否 ②否 ③是 ④否 2.求函数的定义域, 关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解, 如开偶次方根,被开方数一定是非负数;对数式中的真数是正数;列不等式时,应列出 所有的不等式,不应遗漏. 对抽象函数,只要对应关系相同,括号里整体的取值范围就完全相同. [问题 2] 函数 y= 1 log x-2的定义域是________. 2

? 1? 答案 ?0, ? ? 4?
3. 用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,即函数的定义域问题. [问题 3] 已知 f(cos x)=sin x,则 f(x)=________. 答案 1-x (x∈[-1,1]) 4. 分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子来表示对应关系的函数,它是 一个函数,而不是几个函数. [问题 4] 1 e
?e ,x<0, ? 已知函数 f(x)=? ?ln x,x>0, ?
x
2 2

? ?1?? 则 f?f? ??=________. ? ?e??

答案

5. 判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但 必须注意使定义域不受影响. lg? 1-x ? [问题 5] f(x)= 是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”). |x-2|-2 答案 奇
2

1

解析

?1-x >0, ? 由? ?|x-2|-2≠0 ?
2

2

得定义域为(-1,0)∪(0,1),
2

lg? 1-x ? lg? 1-x ? f(x)= = . -? x-2? -2 -x ∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数. 6. 弄清函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于 原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)的定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. 故“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件. [问题 6] 设 f(x)=lg?

? 2 +a?是奇函数,且在 x=0 处有意义,则该函数为 ( ? ?1-x ?

)

A.(-∞,+∞)上的减函数 B.(-∞,+∞)上的增函数 C.(-1,1)上的减函数 D.(-1,1)上的增函数 答案 D 解析 由题意可知 f(0)=0,即 lg(2+a)=0,解得 a=-1, 故 f(x)=lg 1+x ,函数 f(x)的定义域是(-1,1), 1-x 1+x =lg(1+x)-lg(1-x), 1-x

在此定义域内 f(x)=lg

函数 y1=lg(1+x)是增函数, 函数 y2=lg(1-x)是减函数, 故 f(x)=y1-y2 是增函数. 选 D. 7. 求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“及”连 接,或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替. 1 [问题 7] 函数 f(x)= 的减区间为________.

x

答案 (-∞,0),(0,+∞) 8. 求函数最值(值域)常用的方法: (1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数. (2)图象法:适合于已知或易作出图象的函数. (3)基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数. (4)导数法:适合于可导函数.

2

(5)换元法(特别注意新元的范围). (6)分离常数法:适合于一次分式. (7)有界函数法:适用于含有指、对函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最 值,都要考查“等号”是否成立,特别是基本不等式法,并且要优先考虑定义域. [问题 8] 函数 y= 2 (x≥0)的值域为________. x 2 +1
x

?1 ? 答案 ? ,1? ?2 ?
解析 方法一 ∵x≥0,∴2 ≥1,∴ ≥1, 1-y 1 解得 ≤y<1. 2
x

y

?1 ? ∴其值域为 y∈? ,1?. ?2 ?
方法二 y=1- 1 1 1 ,∵x≥0,∴0< x ≤ , 2 +1 2 +1 2
x

?1 ? ∴y∈? ,1?. ?2 ?
9. 函数图象的几种常见变换 (1)平移变换:左右平移——“左加右减”(注意是针对 x 而言);上下平移——“上加 下减”. (2)翻折变换:f(x)→|f(x)|;f(x)→f(|x|). (3)对称变换:①证明函数图象的对称性,即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称 点仍在图象上; ②函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称; ③函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于直线 x=0 (y 轴)对称;函数 y=f(x)与函数 y =-f(x)的图象关于直线 y=0(x 轴)对称. [问题 9] 函数 y=|log2|x-1||的递增区间是________. 答案 [0,1),[2,+∞)
? ?|log2? x-1? 解析 ∵y=? ?|log2? 1-x? ?

|? x>1? , |? x<1? ,

作图可知正确答案为[0,1),[2,+∞). 10.有关函数周期的几种情况必须熟记:(1)f(x)=f(x+a)(a>0),则 f(x)的周期 T=a; (2)f(x+a)= 1

f? x?

(f(x)≠0)或 f(x+a)=-f(x),则 f(x)的周期 T=2a.

3

[问题 10] 对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f(x+2)=- 时,f(x)=x,则 f(2 012.5)=________. 2 答案 - 5 11.二次函数问题

1

f? x?

,若当 2<x<3

(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用 “两看法”:一看开口方向,二看对称轴与所给区间的相对位置关系. (2)二次函数解析式的三种形式: ①一般式:f(x)=ax +bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-h) +k(a≠0); ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (3)一元二次方程实根分布:先观察二次系数,Δ 与 0 的关系,对称轴与区间关系及有 穷区间端点函数值符号,再根据上述特征画出草图. 尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、 函数或不等式, 要考虑到二次项系数可能 为零的情形. [问题 11] 若关于 x 的方程 ax -x+1=0 至少有一个正根,则 a 的范围为________. 1? ? 答案 ?-∞, ? 4? ? 12.(1)对数运算性质 已知 a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0,N>0. 则 loga(MN)=logaM+logaN, loga =logaM-logaN, logaM =nlogaM, logbN 对数换底公式:logaN= . logba
n
2 2 2

M N

n 1 n 推论:logamN = logaN;logab= . m logba
(2)指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑,特别注意底数的取值对有关性质 的影响,另外,指数函数 y=a 的图象恒过定点(0,1),对数函数 y=logax 的图象恒过 定点(1,0). [问题 12] 函数 y=loga|x|的增区间为________________________________________. 答案 当 a>1 时,(0,+∞);当 0<a<1 时,(-∞,0) 13.幂函数
4
x

形如 y=x (α ∈R)的函数为幂函数. (1)①若 α =1,则 y=x,图象是直线. ②当 α =0 时,y=x =1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线. ③当 0<α <1 时,图象过(0,0)与(1,1)两点,在第一象限内是上凸的. ④当 α >1 时,在第一象限内,图象是下凸的. (2)增减性:①当 α >0 时,在区间(0,+∞)上,函数 y=x 是增函数,②当 α <0 时, 在区间(0,+∞)上,函数 y=x 是减函数. 1 ?1?x [问题 13] 函数 f(x)=x -? ? 的零点个数为 2 ?2? ( A.0 答案 B 14.函数与方程 (1)对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点.事实上,函数 y =f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根. (2)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有 f(a)f(b)<0,那么 函数 y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在 c∈[a,b],使得 f(c)=0,此时这个 c 就是方程 f(x)=0 的根.反之不成立. [问题 14] 已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x -3x+2)·g(x)+3x-4, 其中函数 y=g(x) 的图象是一条连续曲线,则方程 f(x)=0 在下面哪个范围内必有实数根 ( A.(0,1) 答案 B 解析 f(x)=(x-2)(x-1)g(x)+3x-4, ∴f(1)=0+3×1-4=-1<0,f(2)=2×3-4=2>0. 又函数 y=g(x)的图象是一条连续曲线, ∴函数 f(x)在区间(1,2)内有零点. 因此方程 f(x)=0 在(1,2)内必有实数根. 15.求导数的方法 ①基本导数公式:c′=0 (c 为常数);(x )′=mx
m m-1
2 α α 0

α

) B.1 C.2 D.3

) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

(m∈Q);(sin x)′=cos x;(cos 1 1

x)′=-sin x; (ex)′=ex ; (ax)′=axln a; (ln x)′= ; (logax)′= (a>0 x xln a
且 a≠1). ②导数的四则运算:(u±v)′=u′±v′;

5

(uv)′=u′v+uv′;? ?′= v

?u? ? ?

u′v-uv′ (v≠0). v2

③复合函数的导数:yx′=yu′·ux′. 如求 f(ax+b)的导数,令 u=ax+b,则 (f(ax+b))′=f′(u)·a. e [问题 15] f(x)= ,则 f′(x)=________.
x

x

答案

e?

x

x-1? x2

16.利用导数判断函数的单调性:设函数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 f′(x)>0,那么

f(x)在该区间内为增函数;如果 f′(x)<0,那么 f(x)在该区间内为减函数;如果在某
个区间内恒有 f′(x)=0,那么 f(x)在该区间内为常数. 注意:如果已知 f(x)为减函数求字母取值范围,那么不等式 f′(x)≤0 恒成立,但要 验证 f′(x)是否恒等于 0.增函数亦如此. [问题 16] 函数 f(x)=ax -x +x-5 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是________. 1 答案 a≥ 3 解析 f(x)=ax -x +x-5 的导数 f′(x)=3ax -2x+1.
?a>0, ? 由 f′(x)≥0,得? ? ?Δ =4-12a≤0,
3 2 2 3 2

1 解得 a≥ . 3

a= 时,f′(x)=(x-1)2≥0,
1 且只有 x=1 时,f′(x)=0,∴a= 符合题意. 3 17.导数为零的点并不一定是极值点,例如:函数 f(x)=x ,有 f′(0)=0,但 x=0 不是 极值点. 1 4 1 3 [问题 17] 函数 f(x)= x - x 的极值点是________. 4 3 答案 x=1 18.定积分 运用微积分基本定理求定积分 ?af(x)dx 值的关键是用求导公式逆向求出 f(x)的原函 数,应熟练掌握以下几个公式: ?ax dx=
b b n b
3

1 3

xn+1 b |a, n+1
b

?asin xdx=-cos x|a, ?acos xdx=sin x|a,
b b

6

b1 b ?a dx=ln x|a(a>0,b>0),

x

?aa dx= |a. ln a [问题 18] 计算定积分 ?-1(x +sin x)dx=________. 答案 2 3
1 2 1 2

b x

ax

b

解析 ?-1(x +sin x)dx=

?x -cos x??1 =2. ?3 ??-1 3 ? ??

3

易错点 1 函数概念不清致误 例1 已知函数 f(x -3)=lg 错解 由
2

x2
2

x -4

,求 f(x)的定义域.

x2

x2-4

>0,得 x>2 或 x<-2.

∴函数 f(x)的定义域为{x|x>2 或 x<-2}. 找准失分点
2

错把 lg

x2 x2
2

x2-4

的定义域当成了 f(x)的定义域. ,设 x -3=t,则 x =t+3,
2 2

正解 由 f(x -3)=lg 因此 f(t)=lg ∵

x -4

t+3 . t-1
2

x2
2

x -4

>0,即 x >4,∴t+3>4,即 t>1.

∴f(x)的定义域为{x|x>1}. 易错点 2 忽视函数的定义域致误 例2 判断函数 f(x)=(1+x) 错解 因为 f(x)=(1+x)
2

1-x 的奇偶性. 1+x 1-x = 1+x
2

1-x ? 1+x? 1+x

2

= 1-x ,

2

所以 f(-x)= 1-? -x? 所以 f(x)=(1+x) 找准失分点

= 1-x =f(x),

1-x 是偶函数. 1+x

对函数奇偶性定义理解不够全面,事实上对定义域内任意一个 x,都有

f(-x)=f(x),或 f(-x)=-f(x).

7

正解

f(x)=(1+x)

1-x 1-x 有意义时必须满足 ≥0? -1<x≤1,即函数的定义域 1+x 1+x

是{x|-1<x≤1}, 由于定义域不关于原点对称, 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数. 易错点 3 混淆“切点”致误 例3 求过曲线 y=x -2x 上的点(1,-1)的切线方程. 错解 ∵y′=3x -2,
2 2 3

∴k=y′|x=1=3×1 -2=1, ∴切线方程为 y+1=x-1,即 x-y-2=0. 找准失分点 错把(1,-1)当切点.

正解 设 P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为

y′|x=x0=3x2 0-2.
∴切线方程为 y-y0=(3x0-2)(x-x0), 即 y-(x0-2x0)=(3x0-2)(x-x0). 又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程,得 -1-(x0-2x0)=(3x0-2)(1-x0), 整理,得(x0-1) (2x0+1)=0, 1 解得 x0=1,或 x0=- . 2 故所求切线方程为 y-(1-2)=(3-2)(x-1), 1 3 1 或 y-(- +1)=( -2)(x+ ), 8 4 2 即 x-y-2=0,或 5x+4y-1=0. 易错点 4 极值的概念不清致误 例4 已知 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值为 10,则 a+b=________. 错解 -7 或 0
3 2 2 2 3 2 3 2 2

找准失分点

x=1 是 f(x)的极值点? f′(1)=0;

忽视了“f′(1)=0D? /x=1 是 f(x)的极值点”的情况. 正解 f′(x)=3x +2ax+b,由 x=1 时,函数取得极值 10,得
?f′? 1? =3+2a+b=0, ? ? 2 ?f? 1? =1+a+b+a =10, ?
2

① ②

联立①②得?

? ?a=4, ?b=-11, ?

或?

? ?a=-3, ?b=3. ?

当 a=4,b=-11 时,

f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)
在 x=1 两侧的符号相反,符合题意.
8

当 a=-3,b=3 时,

f′(x)=3(x-1)2 在 x=1 两侧的符号相同,
所以 a=-3,b=3 不符合题意,舍去. 综上可知 a=4,b=-11,∴a+b=-7. 答案 -7 易错点 5 错误利用定积分求面积 例5 求曲线 y=sin x 与 x 轴在区间[0,2π ]上所围部分的面积 S. 错解 分两部分,在[0,π ]上有 ?0 sin xdx=2,在[π ,2π ]上有 ?π sin xdx=-2,
π 2π

因此所求面积 S 为 2+(-2)=0. 找准失分点 面积应为各部分的绝对值的代数和,也就是第二部分的积分不是阴影部

分的面积,而是面积的相反数.所以,不应该将两部分直接相加.
π 正解 S=?0 sin xdx+|?π sin xdx|=2+2=4. 2π

答案 4

1 . 集合 {(x , y)|y = x , x∈[a , b](a , b 为常数)}∩{(x , y)|x = 2} 中元素的个数为 ( A.0 答案 C 解析 从函数观点看,题中交集中元素的个数,实际上是函数 y=x (x∈[a,b])的图象 与直线 x=2 交点的个数,若 a≤2≤b 时,根据函数定义中“唯一”知交集中元素的个 数为 1;若 2D∈/[a,b],则交集中元素的个数为 0,故元素的个数为 0 或 1. 2. 函数 y= ln?
2

2

) B.1 C.0 或 1 D.不确定

x+1? 的定义域为 -x -3x+4
2

(

)

A.(-4,-1) C.(-1,1) 答案 C
? ?x+1>0 解析 由? 2 ?-x -3x+4>0 ?

B.(-4,1) D.(-1,1]

??

? ?x>-1 ?-4<x<1 ?

? -1<x<1,

故选 C. 3. 下列各式中错误的是 A.0.8 >0.7 C.0.75 答案 C
9
-0.1 3 3

( B.log0.50.4>log0.50.6

)

<0.75

0.1

D.lg 1.6>lg 1.4

解析 构造相应函数,再利用函数的性质解决,对于 A,构造幂函数 y=x ,为增函数, 故 A 对;对于 B、D,构造对数函数 y=log0.5x 为减函数,y=lg x 为增函数,B、D 都正 确;对于 C,构造指数函数 y=0.75 ,为减函数,故 C 错. 1 4. 函数 f(x)=- +log2x 的一个零点落在下列哪个区间
x

3

x

(

)

A.(0,1) C.(2,3) 答案 B

B.(1,2) D.(3,4)

解析 根据函数的根的存在性定理得 f(1)f(2)<0. 5. 函数 y= ,x∈(-π ,0)∪(0,π )的图象可能是下列中的 sin x ( )

x

答案 C 解析 y= 是偶函数,故排除 A,令 f(x)=x-sin x,x∈(0,π ),则 f′(x)=1 sin x -cos x,x∈(0,π ),易知 f′(x)≥0 在 x∈(0,π )上恒成立,所以 f(x)min>f(0)=0,

x

x∈(0,π ),∴y=

>1,故选 C. sin x

x

6. 对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中 a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1) 和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是 A.4 和 6 C.2 和 4 答案 D 解析 ∵f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=-asin 1-b+c, 且 c 是整数,∴f(1)+f(-1)=2c 是偶数. 在选项中只有 D 中两数和为奇数,不可能是 D.
?sin π x,x≤0, ? 7. 已知 f(x)=? ? ?f? x-1? +1,x>0,

(

)

B.3 和 1 D.1 和 2

?5? 则 f? ?的值为________. ?6?

10

答案

1 2

?5? ?5 ? 解析 f? ?=f? -1?+1 ?6? ?6 ? ? 1? ? π? =f?- ?+1=sin?- ?+1 ? 6? ? 6?
1 1 =- +1= . 2 2 8. 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 在(-∞, 0]上是减函数, 且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 答案 (-2,2) 解析 因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)=f(|x|). 因为 f(x)<0,f(2)=0.所以 f(|x|)<f(2). 又因为 f(x)在(-∞,0]上是减函数, 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以|x|<2,所以-2<x<2.
? ?log2x ? x>0? , 9. 已知函数 f(x)=? x ?3 ? x≤0? ?

且关于 x 的方程 f(x)+x-a=0 有且只有一个实

根,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞) 解析 方程 f(x)+x-a=0 的实根也就是函数 y=f(x)与 y=a -x 的图象交点的横坐标,如图所示,作出两个函数图象,显然当

a≤1 时,两个函数图象有两个交点,当 a>1 时,两个函数图象
的交点只有一个.所以实数 a 的取值范围是(1,+∞).
?ax +1,x≥0 ? 10.已知函数 f(x)=? ax ? ?? a+2? e ,x<0
2

为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是

________. 答案 [-1,0) 解析 若 a=0,则 f(x)在定义域的两个区间内都是常数函数,不具备单调性;若 a>0, 函数 f(x)在两段上都是单调递增的,要想使函数在 R 上单调递增,只要(a+2)e ≤1, 即 a≤-1,与 a>0 矛盾,此时无解;若-2<a<0,则函数在定义域的两段上都是单调递 减的,要想使函数在 R 上单调递减,只要(a+2)e ≥1,即 a≥-1 即可,此时-1≤a<0; 当 a≤-2 时,函数 f(x)不可能在 R 上单调.综上所述,a 的取值范围是[-1,0). 11. f(x)=x(x-c) 在 x=2 处有极大值, 则常数 c 的值为______________________________.
11
2 0 0

答案 6 解析 f(x)=x -2cx +c x,f′(x)=3x -4cx+c ,
3 2 2 2 2

f′(2)=0? c=2 或 c=6,若 c=2,f′(x)=3x2-8x+4,
2 2 令 f′(x)>0? x< 或 x>2,f′(x)<0? <x<2, 3 3 2 2 故函数在(-∞, )及(2,+∞)上单调递增,在( ,2)上单调递减, 3 3 ∴x=2 是极小值点,故 c=2 不合题意,同样验证可知 c=6 符合题意. 12.已知函数 f(x)=xln x,g(x)=x +ax -x+2.
3 2

? 1 ? (1)如果函数 g(x)的单调减区间为?- ,1?,求函数 g(x)的解析式; ? 3 ?
(2)在(1)的条件下,求函数 y=g(x)的图象在点 P(-1,1)处的切线方程; (3)若不等式 2f(x)≤g′(x)+2 的解集为 P,且(0,+∞)? P,求实数 a 的取值范围. 解 (1)g′(x)=3x +2ax-1.
2

? 1 ? 2 由题意 3x +2ax-1<0 的解集是?- ,1?, ? 3 ?
1 2 即 3x +2ax-1=0 的两根分别是- ,1. 3 1 2 将 x=1 或- 代入方程 3x +2ax-1=0 得 a=-1. 3 所以 g(x)=x -x -x+2. (2)由(1)知 g′(x)=3x -2x-1,所以 g′(-1)=4, 所以点 P(-1,1)处的切线斜率 k=g′(-1)=4, 所以函数 y=g(x)的图象在点 P(-1,1)处的切线方程为 y-1=4(x+1),即 4x-y+5 =0. (3)因为(0,+∞)? P,所以 2f(x)≤g′(x)+2,即 2xln x≤3x +2ax+1 对 x∈(0, 3 1 +∞)上恒成立,可得 a≥ln x- x- 对 x∈(0,+∞)上恒成立. 2 2x 3x 1 设 h(x)=ln x- - , 2 2x 1 3 1 ? x-1? ? 3x+1? 则 h′(x)= - + 2=- . 2 x 2 2x 2x 1 令 h(x)=0,得 x=1 或 x=- (舍). 3 当 0<x<1 时,h′(x)>0;当 x>1 时,h′(x)<0. 所以当 x=1 时,h(x)取得极大值也是最大值,
2 2 3 2

h(x)max=-2,所以 a≥-2.
12

所以 a 的取值范围是[-2,+∞).

13



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