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高考数学培优辅导复习试题3-数列不等式综合问题(一)-T

高考数学培优辅导复习试题 3 数列不等式综合问题(一)
2 【例 1】已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1) 求证: Sn ?

an 2 ? an ?12 S S ?1 ; (2) 求证: n ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ? n ?1 4 2 2

【例 2】在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , 3an an?1 ? an ? an?1 ? 0 ? n ? 2? (1)求证:数列 ? (2)若 ? an ?

?1? ? 为等差数列,并求 ?an ? 的通项; ? an ?

1 ? ? 对任意 n ? 2 的整数恒成立,求实数 ? 的取值范围; an ?1 2 3n ? 1 ? 1 。 (3)设数列 bn ? an , ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 3

?

?

?x ? 0 ? 【例 3】对 n ? N ,不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn , Dn 内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点) ? y ? ? nx ? 2n ? 按其到原点的距离从近到远排成点列 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y3 ), , ( xn , yn ) 。
?

(1)求 xn 、 yn ;
2 (2)数列 {an } 满足 a1 ? x1 ,且 n ? 2 时, a n ? y n (

1 1 1 ? 2 ??? 2 )。 2 y1 y 2 y n?1

an ?1 a 1 ? n ? 2; 2 2 (n ? 1) n n 1 1 1 1 (3)在(2)的条件下,试比较 (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ??(1 ? ) 与 4 的大小关系。 a1 a2 a3 an
证明:当 n ? 2 时,

基础大题自测(三) 1、 某校设计了一个实验学科的考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独立完成全部实验操 作,规定:至少正确完成其中 2 题的便可通过,已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成,2 题不能完成,考生乙每题正 确完成的概率都是

2 ,且每题确完成与否互不影响. 3

(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望; (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力。

2、某项选拔共有三轮考核,每轮设有一问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确 4 3 2 回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 ,,, 且各轮问题能否正确回答互不影响. 5 5 5 (1)求该选手被淘汰的概率; (2)该选手在选择中回答问题的个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望.

3、某项计算机考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试,已知每个科 目只允许有一次补考机会,两个科目均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率为 科目 B 每次考试成绩合格的概率为

3 , 4

2 ,假设各次考试合格与否均互不影响。 3

(1)求他不需要补考就可获得证书的概率; (2)在这次考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求随即变量 ? 的分布列和数学期望.

函数导数综合问题(一)参考答案:
2 【例 1】解: (1)在条件中,令 n ? 1 ,得 a1 ? a1 ? 2S1 ? 2a1 , ∵ a1 ? 0 ∴ a1 ? 1

2 2 又由条件 an ? an ? 2S n 有 an ?1 ? an?1 ? 2S n?1 ,上述两式相减,

注意到 an?1 ? S n?1 ? S n 得 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an?1 ? an ? 0 ∴ an?1 ? an ? 1 所以, an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n , S n ? 所以 S n ?

n(n ? 1) 2
2 2

n(n ? 1) 1 n 2 ? (n ? 1) 2 a n ? a n ?1 ? ? ? 2 2 2 4

(2)因为 n ?

n(n ? 1) ? n ? 1 ,所以

n 2

?

n(n ? 1) n ? 1 , ? 2 2

1? 2 2?3 n(n ? 1) ? ??? 2 2 2 2 2 3 n ? 1 n ? 3n S n?1 ? 1 ; ? ? ??? ? ? 2 2 2 2 2 2 1 2 n n(n ? 1) S n S1 ? S 2 ? ? S n ? ? ??? ? ? 2 2 2 2 2 2 1 1 【例 2】解: 2.(1)由 3an an?1 ? an ? an?1 ? 0 ? n ? 2? 得: ? ? 3? n ? 2 ? an an?1
所以 S1 ?

S2 ? ? Sn ?

?1? 1 ? 1 ,∴数列 ? ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列 a1 ? an ? 1 1 ∴ ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,即: an ? 3n ? 2 an ? 1 ? 3n ? 1 ? ? 恒成立 (2)∵ ? an ? ? ? 对任意 n ? 2 的整数恒成立,即 3n ? 2 an ?1 (3n ? 1)(3n ? 2) ∴? ? 对任意 n ? 2 的整数恒成立 3(n ? 1) (3n ? 1)(3n ? 2) 设 cn ? ? n ? 2 ? ,则 3(n ? 1)


cn?1 (3n ? 4)(3n ? 1) 3(n ? 1) 3n2 ? n ? 4 3n2 ? 2n ? 3n ? 4 ? ? ? ? ?1 cn 3n (3n ? 1)(3n ? 2) 3n2 ? 2n 3n2 ? 2n 28 ∴当 n ? 2 时, {cn } 为递增数列 ∴ cn ? c2 ? 3 28 所以 ? 的取值范围为: ( ??, ] 3 (3)由 bn ? an ,得 1 2 2 2 ? ? ? ? ( 3n ? 2 ? 3n ? 1) 3n ? 2 2 3n ? 2 3 3n ? 2 ? 3n ? 1 所以, Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn 2 ? ? ? 1 ? 4 ? 4 ? 7 ? 7 ? 10 ? ??? ? 3n ? 2 ? 3n ? 1 ? ? 3? 2 ? 3n ? 1 ? 1 3 【例 3】解:(1)作出平面区域 Dn (略) (2 分) bn ? an ?

?

?

? ? ?

? ?

?

?

?

由?

?x ? 1 解得: xn ? 1, yn ? n (4 分) ? y ? ?nx ? 2n
? ? ? ? a 1 ? 1? 2 ? ? ∴ n 2 n 2 ? n ? 1? ? ? 1 a a 1 ? 2 ∴ n ?1 2 ? n ? 2 (6 分) 2 n (n ? 1) n n 1 ? 22 ? 1
2

2 (2)当 n ? 2 时, an ? n ?1 ?

?

1

? n ?1?

2

(5 分)



an?1 1 ? 1? 2 ? 2 (n ? 1) 2

(3)由(2)得:当 n ? 2 时, ∴当 n ? 1 时, 1 ? 当 n ? 2 时,

an ? 1 n2 ,且 a1 ? 1 , a2 ? 4 (7 分) ? an?1 (n ? 1)2

1 ? 2 ? 4 (8 分) a1

(1 ? ? ?

1 1 1 ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) a1 a2 a 3 ?

(1 ?

1 ) an ? an ? 1 ? ? ? an ?1 an ?1 ?

a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 ? ? ? a1 a2 a3 1 ? 22 32 ? 2? 2? 2 ? ?3 4 ?

an ? 1 a1 ? 1 ? a2 ? 1 a3 ? 1 ? ?? ? ? an a1a2 ? a3 a4 ? 1 ? ? n2 ?

n2 ? 1 1 ? ? an ?1 ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2? (n ? 1) ? ? 2 3

? 1 1 1 ? ? ? 1? ? 1 1? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ( n ? 1) n ? ? ? 2? ? 2 3? ? 1? 2 2 ? 3 1? ? ? 2? 2 ? ? ? 4 n? ? 1 1 1 1 综上述: (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) (1 ? ) ? 4 a1 a2 a3 an

1 ?? ? 1 ?? ? ?? ? n ?1 n ??

基础大题自测(一)参考答案 1、解:设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ? 、 ? 则 ? 的可能取值为 1、2、3------------------------------------------------1 分
1 2 2 1 3 0 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 C2 1 ? P ? ? 2 ? ? P ? ? 3 ? ? ------------4 分 , , ? ? ? ? 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5 ∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

P ?? ? 1? ?

?

1
1 5

2
3 5

3
1 5

P

-----------------------------------------------5 分

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ---------------------------------------------- 6 分 5 5 5 k 3? k 2 ?1? k ?2? ? ? ? ? ? ? , k ? 0、1、2、3-----9 分 又 ? ~ B(3, ) ,其分布列为: P ?? ? k ? ? C3 3 ? 3? ? 3?
∴ E? ? np ? 3 ?

2 ? 2 -------------------------------------------------- 10 分 3
3 5 1 5 2 5

(2)∵ D? ? (2 ? 1) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ?

1 5

2 1 2 D? ? npq ? 3 ? ? ? 3 3 3 ∴ D? ? D? -------------------------------------------------------12 分 3 1 12 8 ∵ P ?? ? 2? ? ? ? 0.8 , P ?? ? 2? ? ? ? 0.74 5 5 27 27 ∴ P ?? ? 2? ? P ?? ? 2? --------13 分
从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定;从至少完成 2 题的概率考察, 甲获得通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。---14 分 说明:只回答数学期望与方差以及结论,也给 4 分。 2、解:记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1 , 2, 3) ,则

P ( A1 ) ?

? 该选手被淘汰的概率: P ? P( A1 ? A1 A2 ? A2 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )

4 3 2 , P ( A2 ) ? , P ( A3 ) ? , 5 5 5

1 4 2 4 3 3 101 ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5 5 125 1 2, 3 , P(? ? 1) ? P( A1 ) ? , (2) ? 的可能值为 1, 5 4 2 8 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? , 5 5 25 4 3 12 P(? ? 3) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? . 5 5 25 ? ? 的分布列为 ?

?
P

1

2

3

1 5

8 25

12 25

1 8 12 57 ? E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 5 25 25 25
解法二: (Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1 , 2, 3) ,

4 3 2 , P ( A2 ) ? , P ( A3 ) ? . 5 5 5 ? 该选手被淘汰的概率 P ? 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
则 P ( A1 ) ? 3 、 解 : 解 : 设 该 人 参 加 科 目 A 考 试 合 格 和 补 考 为 时 间 A1、A2 , 参 加 科 目 B 考 试 合 格 和 补 考 合 格 为 时 间

B1、B2,事件A1、 A2、B1、B2 相互独立。
(1)设该人不需要补考就可获得证书为事件 C,则 C= A1B1

(2) ? 的可能取值为 2,3,4. 则 P (? ? 2) ?

3 2 1 p ? c ? ? P ? A1 , B1 ? ? P ? A1 ? ? ? B1 ? ? ? ? 4 3 2

所以,随即变量 ? 的分布列为

3 2 1 1 27 9 ? ? ? ? ? 4 3 4 4 48 16 3 1 2 1 3 2 3 1 1 18 3 ? P (? ? 3) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 3 4 4 3 4 3 3 48 8 1 3 1 2 1 3 1 1 3 1 ? P (? ? 4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 3 3 4 4 3 3 48 16

???????8 分

?
P 所以 E? ? 2 ?

2

3

4

27 48

18 48

3 48
??????12 分

27 18 3 5 ? 3? ? 4 ? ? 48 48 48 2



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