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2018年高中数学(人教A版)必修二课件:1.3.2 球的体积和表面积_图文

第一章 空间几何体 栏目 导引 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 第一章 空间几何体 1.记住球的表面积和体积公式,会计算球的表面 积和体积. 2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 1.球的表面积 2 4π R 设球的半径为 R,则球的表面积 S=____________. 2.球的体积 4 3 πR 3 设球的半径为 R,则球的体积 V=____________. 1.球的截面性质 (1)球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面; (2)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 之间 满足关系式:d2+r2=R2; (3)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,被不经过 球心的平面截得的圆叫做球的小圆. 2.球的切、接问题 (1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时 a 球的半径为 r1= ,过在一个平面上的四个切点作截面如图 2 (1). (2)长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根 据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体 过同一顶点的三条棱长为 a,b,c,则过球心作长方体的对 1 角面有球的半径为 r2= 2 a2+b2+c2,如图(2). (3)正四面体的外接球 6 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为:2R= a. 2 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径.( √ ) (2) 球 面 被 经 过 球 心 的 平 面 截 得 的 圆 的 半 径 等 于 球 的 半 径.( √ ) R (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V= S.( √ ) 3 三个球半径之比是 1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余 两个球的表面积之和的( 5 A. 倍 9 9 B. 倍 5 ) C.2 倍 D.3 倍 答案:B 已知某球的体积与其表面积的数值相等, 则此球的体积为 ________. 答案:36π 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点 上的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为______. 解析:长方体外接球直径长等于长方体对角线长,即 2R= 12+22+32= 14,所以球的表面积 S=4πR2=14π. 答案:14π 探究点 1 球的表面积与体积 32π (1)已知球的体积是 ,则此球的表面积是( 3 A.12π B.16π 16π C. 3 64π D. 3 ) (2)(2016· 高考全国卷Ⅰ)如图,某几何体的三视图是三个半径 相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径,若该几何体的体 28π 积是 ,则它的表面积是( 3 ) A.17π C.20π B.18π D.28π 【解析】 (1)设球的半径为 R,则由已知得 4 3 32π V= πR = , 3 3 解得 R=2. 所以球的表面积 S=4πR2=16π. 1 (2) 由三视图可得此几何体为一个球切割掉 后剩下的几何 8 7 4 3 28 体,设球的半径为 r,故 × πr = π, 8 3 3 7 2 3 2 所以 r=2,表面积 S= ×4πr + πr =17π,选 A. 8 4 【答案】 (1)B (2)A 若将本例(2)中的三视图换为如图所示的图形,且圆的半径为 1,则如何求解? 解:由已知可得,该几何体是四分之三个球,其表面积是四 分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面 3 1 2 积之和.因为 R=1,所以 S= ×4×π×1 +2× ×π×12= 4 2 4π. 球的体积与表面积的求法及注意事项 (1)要求球的体积或表面积, 必须知道半径 R 或者通过条件能 求出半径 R,然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. (3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或 体积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和 三视图中数据的含义.根据球与球的组合体的结构特征及数 据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三种视图都是 直径相同的圆. 1.某几何体的三视图如图所示,则其表面积 为________. 解析:由三视图可知,该几何体为一个半径为 1 的半球,其 1 表面积为半个球面与截面面积的和,即 ×4π×12+ π×12= 2 3π. 答案:3π 探究点 2 球的截面问题 如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方 体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口, 再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得 水深为 6 cm,如果不计容器厚度,则球的体积 为( ) 866π B. cm3 3 2 048π D. cm3 3 500π A. cm3 3 1 372π C. cm3 3 【解析】 如图,作出球的一个截面,则 MC= 8-6=2(cm), 1 1 BM= AB= ×8=4(cm). 2 2 设球的半径为 R cm,则 R2=OM2+MB2 =(R-2)2+42,所以 R=5, 4 500 3 所以 V 球= π×5 = π (cm3). 3 3 【答案】 A 球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化 为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球半径 R,截面圆半径 r,球心到截面 的距离 d 构成的直角三角形,即 R2=d2+r2. 2. (2018· 厦门高一检测)平面 α 截球 O 的球面 所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的 体积为( A. 6π C.4 6π ) B.4 3π D.6 3π 解析:选 B.如图,设截面圆的圆心为 O′, M 为截面圆上任一点, 则 OO′= 2,O′M=1. 所以 OM= ( 2)2+1= 3. 即球


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