9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 政史地 >>

广西柳州市、贵港市、钦州市、河池市2013届高三1月份模拟数学理试题


柳州市、贵港市、钦州市、河池市 2013 届高中毕业班一月份模拟考试

数学(理)试题
一、选择题(每题 5 分,共 12 小题,满分 60 分)

, 1.若集合 A ? {?11}, B ? {0, 2} ,则集合 {z | z ? x ? y, x ? A, y ? B} 中元素的个数为
A. 5 2.已知 sin ? ? B. 4 C. 3 D. 2

4 ,且 sin ? ? cos ? ? 1 ,则 sin 2? ? 5 24 12 4 A. ? B. ? C. ? 25 25 5

D.

24 25

3.已知等差数列 {a n } 满足: a1 ? 0, a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a101 ? 0, 则使前 n 项和 s n 取得最大值 的 n 值为 A.50 C.50 或 51 D.51 或 52

B.51

2 4.复数 的平方等于 1+i A. ? 2i B. 2i C. 1 ? i ? ? ? ? 5.已知平面向量 a ? (1, 2), b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 m 的值为
A.1 B.-1 C.4

D. 1 ? i

D.-4

' 6.已知函数 f ( x ) 的导函数 f ( x) 的图像如图所示,

那么函数 f ( x ) 的图像最有可能的是

7. lim

n ??

(1 ? a)n ? 1 ? 2 ,则 a ? n?a

A.1 B.2 C.0 D. ?2 8.从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者,其中至少有一名女生的选法共有 A.36 种 B.30 种 C.42 种 D.60 种 9.函数 y ? sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 的图像的一条对称轴是

A. x ?

?
3

B. x ?

?
6

C. x ?

?
12

D. x ?

?
4

10.一个四面体 A-BCD 中,AC=BD=3,AD=BC=4,AB=CD=5,那么这个四面体的外接球的表 面积为 A. 50? B. 25? C.

25? 3

D.

50? 3

11. 已知椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,O 为原点, 为右焦点, M 是椭圆右准线 l 上 F 点 a 2 b2

(除去与 x 轴的交点)的动点,过 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆相较于点 N,则 线段 ON 的长为 A. c B.b C. a D.不确定 12.已知函数 f ( x ) ? ?

? 2 x ? 1( x ? 0) ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)

,把方程 f ( x) ? x ? 0 的根按从小到大的顺序排

列成一个数列,则该数列的通项公式为 Ks5u A. an ?

n(n ? 1) (n ? N ? ) 2

B. an ? n(n ?1)(n ? N ? ) D. an ? 2n ? 2(n ? N ? )

C. an ? n ?1(n ? N ? )

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) ? ln(1 ?

1 ) 的定义域是 x ?1



?x ? 0 ?y ? 0 ? 14.已知 x, y 满足不等式组 ? ,则 x ? 2 y 的最大值是 ?x ? y ? 6 ?3x ? y ? 9 ?
15 .



? ?? f ( x) ? 2sin ? x(0 ? ? ? 1) 在 区 间 ?0, ? 上 的 最 大 值 是 ? 3?


2 , 则

??

16.已知函数 f ( x ) 满足下列关系: (1) f ( x ?

?

) ? f ( x ? ), (2)当 x ? (0,? ] 时, 2 2

?

f ( x) ? ? cosx .
给出下列四个命题: (1)函数 f ( x ) 为周期函数; (2)函数 f ( x ) 为奇函数; (3)函数 f ( x ) 的图像关于 y 轴对称; (4)方程 f ( x) ? lg | x | 的解的个数是 8.

其中正确命题的序号是

. (把正确命题的序号都填上)

三、解答题: (第 17 题 10 分,18~22 题每题 12 分,共 70 分) 17 . 已 知 ? ABC 中 , a, b, c 是 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , 关 于 x 的 不 等 式

x2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集。
(1)求角 C 的最大值; (2)若 c ?

7 3 3 , ? ABC 的面积 S ? ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的值。 2 2

18.设计一种游戏,由甲、乙两人进行轮流摸球。每次摸取一个球,黑色袋中装有形状、大 小相同的 1 个红球和 2 个黑球,游戏规则如下:若摸到红球,将此球放回袋中可继续再 摸;若摸到黑球,将此球放回袋中则由对方摸球,甲先摸球。 (1)求在前四次摸球中,甲恰好摸到两次红球的概率; (2)设随机变量 ? 表示前三次摸球中甲摸到红球的次数,求随机变量 ? 的分布列及数 学期望 E? .

19 . 在 如 图 所 示 的 四 棱 锥

P ? ABCD 中 , 已 知 PA ? 平 面

A A B C D / A ? , D? C ? P D? 0 B D , / B 9A A ,

? DC ? 1, AB ? 2, M 为 PB 的中点。
(1)求证: MC // 平面PAD; (2)求证:平面 PAC ? 平面 PBC ; (3)求直线 MC 与平面 PAC 所成角的余弦值。

Ks5u

2) 20.设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为 A(0, ,右焦点 F 与点 B( 2, 2) 的距

离为 2. (1)求椭圆的方程; (2)是否存在经过点(0,3)的直线 l ,使直线 l 与椭圆相交于不同两点 M,N 满足

???? ???? ? | AM |? AN |?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由。

a ? x2 1 ? ln x(a ? R, x ? [ , 2]). 21.已知函数 f ( x) ? x 2
(1)当 a ? [ ?2, ] 时,求 f ( x ) 的最大值; (2)设 g (x) ?[ f ( x) ?ln x ?x 2 , k 是 g ( x) 图像上不同两点的连线的斜率,是否存在 ] 实数 a,使得 k<1 恒成立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

1 4

22.若数列 {an } 满足前 n 项和为 Tn ? n ?
2

1 n. 2

(1)求数列 {

an } 的前 n 项和 Sn ; 2n

(2)设数列 {bn } 满足条件: b1 ? 2, bn?1 ? abn ,求证:

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 2. 2b1 ? 3 2b2 ? 3 2b3 ? 3 2bn ? 3

Ks5u

参考答案
一. 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 C 2 A 3 C 4 B 5 D 6 B 7 D 8 A 9 C 10 A 11 B 12 C

二. 填空题(每小题 5 分, 共 20 分) 13. (-∝,1)∪(2,+∝) 三. 解答题(共 70 分) 17. 解: (1)若解集为空,则 ? 解得 cos C ? 14. 12 15.

? 12

16. ②③

?cosC ? 0
2 ?? ? 16sin C ? 24cosC ? 0



????????2 分

? .????????????????????????4 分 3 3 1 ? 3 = ab sin , ?????????????????????5 分 (2) S ? 2 2 3
则 C 的最大值为 得 ab ? 6 , 由余弦定理得: ?????????????????????6 分

1 . ????????????????????????3 分 2

49 ? a 2 ? b 2 ? ab , ????????????????7 分 4 121 2 从而得 ( a ? b) ? ,?????????????????????9 分 4 11 则 a?b ? . ?????????????????????10 分 2 1 18. 解: (1)设甲“摸到红球”的事件为 A,则 P(A)= , “摸到黑球”的事件为 A ,则 3 2 P( A )= ,??????????????????????????????1 分 3 1 乙“摸到红球”的事件为 B,则 P(B)= , “摸到黑球”的事件为 B ,则 P( B ) 3



2 , 3

??????????????????????????????2 分

在前 3 次摸球中,甲摸到一次红球的情况是:A A (B+ B ) A B A ????3 分 ,

故所求事件的概率为 P=

1 2 2 2 1 10 + = . 3 3 3 3 3 27

????Ks5u???6 分

(2)在前四次摸球中,出现甲得分数比乙高的情况如下:

1 ; 81 2 甲得 7 分 AAA A ,概率为 P2= ; 81
甲得 8 分,AAAA,概率为 P1=

???????????????7 分 ???????????????8 分

甲得 5 分 AA A ( B +B) ,或 A A B A,或 A B AA,概率为 P3= 甲得 4 分 A A B A ,或 A B A A ,概率为:P4= 甲得 3 分,不可能比乙高; 故所求事件的概率 P=P1+P2+P3 +P4=

14 ; ??9 分 81

16 ; ?????????10 分 81

???????????????11 分

33 11 = . ?????????12 分 81 27 19. 解:解法一. (1)? M 是 PB 的中点,取 PA 的中点 E , 1 1 AB ,又 CD AB 则 ME ??????????1 分 2 2 ∴四边形 CDEM 为平行四边形,
∴ CM // ED , CM ? 面 PAD, ED ? 面 PAD????????2 分

? CM // 平面PAD .

??????????????????3 分

(2)以 A 为原点, AD 、 AB 、 AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角 坐标系,???????????????????????????4 分 则 D(1,0,0) ,C(1,1,0) ,B(0,2,0) ,P(0,0,1) ,M(0,1,

1 ) , 2

??? ? ??? ? AP =(0,0,1) AC =(1,1,0) , ,
则面 PAC 的法向量为 n1 =(-1,1,0)???5 分

??

??? ? ??? ? BP =(0,-2,1) BC =(1,-1,0) , ,
则面 PBC 的法向量为 n2 =(1,1,2) ???6 分 而 n1 · n2 =-1+1=0,面 PAC⊥面 PBC. ?????????????7 分

?? ?

??

?? ?

(3)设直线 MC 与平面 PAC 所成的角为 ? ,

???? ? 1 , CM =(-1,0, ) 2 ?? ????? ? | n1 ? CM | 则 sin ? = = | n1 |? CM | |

???????????????????8 分

1 2? 5 2



10 ??????????????10 分 5

∴ cos ? =

15 . ?????????????????????????12 5

分 解法二: (1)同上. ???????????????????3 分 (2)证明:∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BC, ?????????????????4 分 2 2 2 又 AC +BC =2+2=AB , ∴ BC ? AC , ?????????????????5 分 ∵ AC ? PA ? A ∴BC⊥平面 PAC, ?????????????????6 分 又 BC?平面 PBC, 所以平面 PAC⊥平面 PBC; ???????????????7 分 (3)解:取 PC 中点 N,则 MN∠BC, ????????????????8 分 由(2)知 BC⊥平面 PAC, 则 MN⊥平面 PAC 所以∟MCN 为直线 MC 与平面 PAC 所成角,设为 ? , NC= 分 ?????9 分

1 1 3 5 PC= ,MC= PB= 2 2 2 2

????????????11

? cos ? =


15 . 5

????????????????????12

20. 解.(1)依题意得 a2 ? a1 ? 2 , ????????????????????2 分 ∵ an?2 ? 3an?1 ? 2an , ∴ an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) . ?????????????????4 分 ???????6 分

所以 {an?1 ? an } 是公比为 2,首项为 2 的等比数列.

(2)由(1)知 {an?1 ? an } 是公比为 2,首项为 2 的等比数列,则

a2 ? a1 + a3 ? a2 +.......+ an ? an?1 =
? 2n ? 2 .


2(2 n ?1 ? 1) 2 ?1

??????8 分

????????????????????????9 分

an ? a1 ? 2 n ? 2 ?????????????????????10 分
?????????????????12 分

所以 an ? 2n -1.

x2 y2 21. 解:(1) 依题意,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) , a b
则其右焦点坐标为 F (c , 0 ) , c ?

a 2 ? b 2 , ????????????1 分

2 2 由 | FB |? 2 ,得 (c ? 2) ? (0 ? 2) ? 2 ,

即 (c ? 2)2 ? 2 ? 4 ,故 c ? 2 2 . ????????????????2 分

b 又∵ ? 2 ,

a ∴ ? 12 , ????????????????Ks5u??????3 分
2

x2 y2 ? ?1. 从而可得椭圆方程为 12 4
(2)由题意可设直线 l 的方程为 y

????????4 分

? kx ? 3 (k ? 0) ,??????????5 分

由 | AM | ? | AN | 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,

? y ? kx ? 3 ? 由 ? x2 消去 y 得 x 2 ? 3(kx ? 3)2 ? 12 , ??????????6 分 y2 ?1 ? ? ?12 4
即可得方程 (1 ? 3k ) x ? 18kx ? 15 ? 0 …(*)
2 2

当方程(*)的 ? ? (?18k ) ? 4(1 ? 3k ) ?15 ? 144k ? 60 ? 0
2 2 2

即k ?
2

5 时方程(*)有两个不相等的实数根. 12

??????????7 分

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y 0 ) , 则 x1 , x2 是方程(*)的两个不等的实根,故有 x1 ? x2 ? 从而有 x0 ?

18k . ????8 分 1 ? 3k 2

x1 ? x2 9k 9k 2 ? 3 (1 ? 3k 2 ) ?3 ? ? , y0 ? kx0 ? 3 ? . 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2

9k ?3 , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ?3 ?2 ? 5 ? 6k 2 1 ? 3k 2 又由于 k ? 0 ,因此直线 AP 的斜率为 k1 ? , ? 9k 9k 1 ? 3k 2
于是,可得线段 MN 的中点 P 的坐标为 P ( 由 AP ? MN ,得 即 5 ? 6k ? 9 ,
2

? 5 ? 6k 2 ? k ? ?1 , 9k

??????????10 分

解得 k ?
2

2 5 6 ? ,∴ ? ? , k 3 12 3

??????????11 分

∴ 综上可知存在直线 l :

y??

6 x ? 3 满足题意. 3

??????????12 分

(2)方法二:设存在直线 l ,斜率为 k ,则联立方程 ? 得: (1 ? 3k ) x ?18kx ? 15 ? 0 ,
2 2

? x 2 ? 3 y 2 ? 12 ? y ? kx ? 3

??????5 分

由△=12(12k2-5)>0,

????????????????????6 分

18k ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 3k 2 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 由韦达定理得 ? ? x x ? 15 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
2 又 | AM |2 ? | AN |2 , x1 ? ( y1 ? 2) 2 ? x2 ? ( y2 ? 2) 2 则 2

,??????8 分

???????9 分

移项得: k =

y 2 ? y1 x2 ? x1 x2 ? x1 =- =- =- y2 ? y1 ? 4 k ( x2 ? x1 ) ? 10 x2 ? x1

1 10(1 ? 3k 2 ) k? 18k

解得 k =±

6 , 3

???????????????????????11 分

此时△>0 适合题意, 故存在直线 y =±

6 x -3 满足题意. 3
2

?????????????????12 分

22. 解.(1)∵ f '( x) ? 3x ? 2ax ? b ,

???????????????????1 分

又∵函数 f (x) 在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值,

∴-1,3 是方程 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 的两根,????????????2 分

2 ? ?? 1 ? 3 ? 3 a ?a ? 3 ? ?? ∴? ?b ? ?9 ?? 1 ? 3 ? b ? 3 ?
∴ f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? c, f ' ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ,?????????3 分 当 x 变化时,有下表:

x
f / ( x)
f (x)

(-∞,-1) + ↗

-1 0

(-1,3) - ↘

3 0

(3,+∞) + ↗

Max c ? 5

Min c ? 27

而 f (?2) ? c ? 2 , f (6) ? c ? 54 . ∴ x ? [?2,6] 时, f (x) 的最大值为 c ? 54 . ??????????????5 分

要使 f ( x) ? 2 | c | 恒成立,只要 c ? 54 ? 2 | c | 即可 ∴ c ? (??,?18) ? (54,??) . ????????????????????6 分

(2)由 g ( x) ? f ( x) ,可得 ax2 ? (1 ? a) x ? a ? 0 , ????????????7 分 当 a ? 0 时, x ? 0 . ??????????????????????8 分

当 a ? 0 时,△= (1 ? a) 2 ? 4a 2 ? 1 ? 2a ? 3a 2 = (1 ? a)(1 ? 3a) 若 ? ? 0, 得 ? 1 ? a ?

1 , 3
或x<

0?a?

1 时, x > 3

? 1 ? a ? 0 时,
当a ?

<x<

?????????9 分

1 时, x ? R , ?????????????????????10 分 3 1 当 a ? 时,x ? ?1 ?????????????????????11 分 3
当 a ? ?1 时,x ? ? . ????????????????????12 分

综上所述,

g ( x) ? f ( x) 的 x 的取值范围是:
1 时, x > 3
<x< 或x<

a ? 0 时, x ? 0 ; 0 ? a ?

;

? 1 ? a ? 0 时,

;

a?
Ks5u

1 1 时, x ? R ; 当 a ? 时, x ? ?1 ; 当 a ? ?1 时, x ? ? . 3 3


赞助商链接

相关文档:


更多相关文章:
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图