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高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修2_2

1.2 1.2.1 理解教材 新知 知识点一 知识点二 考点一 第 1 章 常 见 函 数 的 导 数 把握热点 考向 应用创新 演练 考点二 考点三 1.2 导数的运算 1.2.1 常见函数的导数 几个常见函数的导数 已知函数 (1)f(x)=c,(2)f(x)=x,(3)f(x)=x2, 1 (4)f(x)=x,(5)f(x)= x. 问题 1:函数 f(x)=x 的导数是什么? Δy f?x+Δx?-f?x? x+Δx-x 提示:∵ = = =1, Δx Δx Δx Δy ∴当 Δx→0 时, →1,即 x′=1. Δx 1 问题 2:函数 f(x)=x的导数是什么? 1 1 -x x + Δ x Δy f?x+Δx?-f?x? 提示:∵ = = Δx Δx Δx x-?x+Δx? 1 = =- 2 , x?x+Δx?Δx x +x·Δx ?1? Δy 1 1 ? ? ∴当 Δx→0 时, →- 2,即 x ′=- 2. Δx x x ? ? 1.(kx+b)′= k (k,b 为常数); 2.C′= 0 (C 为常数); 3.(x)′= 1 ; 4.(x2)′= 2x ; 2 3 x 5.(x )′= ; 1 ?1? - 2 ? ? 6. x ′= x ; ? ? 1 7.( x)′= 2 x . 3 基本初等函数的导数公式 α 1.(x )′= αx α x -1 (α 为常数); x a 2.(a )′= ln a (a>0,且 a≠1); 1 1 logae x 3.(logax)′= = x ln a (a>0,且 a≠1); 4.(ex)′= ex ; 1 5.(ln x)′= x ; 6.(sin x)′= cos x ; 7.(cos x)′= -sin x. 函数 f(x) = logax 的导数公式为 f′(x) = (logax)′= 1 1 ,当 a=e 时,上述公式就变形为(ln x)′=x,即 f(x) x ln a =ln x 是函数 f(x)=logax 当 a=e 时的特殊情况.类似地, 还有 f(x)=ax 与 f(x)=ex. 求函数的导数 [例 1] 求下列函数的导数. (1)y=x8; 1 (2)y= 3; x (3)y=x x; (4)y=log2x. [思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函 数,再利用公式求导. [精解详析] (1)y′=(x8)′=8x7; ?1? 3 -3 -4 ? ? (2)y′= x3 ′=(x )′=-3· x =- 4; x ? ? 3 3 1 3 x (3)y′=(x x)′=(x )′= · x = ; 2 2 2 2 1 (4)y′=(log2x)′= . x· ln 2 [一点通] 用导数公式求导,可以简化运算过程、降低 运算难度.解题时应根据所给函数的特征,恰当地选择求导 公式,有时需将题中函数的结构进行调整,如根式、分式转 化为指数式,利用幂函数的求导公式求导. 1.函数 ?π ? y=sin?2-x?的导数是________. ? ? ?π ? 解析:y=sin?2-x?=cos ? ? x,所以 y′=-sin x. 答案:-sin x 2.下列结论中不正确的是________. ①若 y=3,则 y′=0; ? ②?sin ? ? ③? ?- ? π? π ?′=cos ; 3? 3 1? 1 ? ′= ; x? 2 x x ? ④若 y=x,则 y′=1. π 3 3 解析:①正确;②sin = ,而( )′=0,不正确; 3 2 2 ? 对于③,? ?- ? 1? 1 1 3 1 ? ′=(-x- )′= x- = ,正确; 2 2 2 2x x x? ? ④正确. 答案:② 3.求下列函数的导函数. 1 (1)y=10 ;(2)y=log x; 2 x (3)y= x 4 3 ? x x ?2 ;(4)y=?sin2+cos2? -1. ? ? 解:(1)y′=(10x)′=10xln 10; 1 1 1 (2)y′=(log x)′= =- ; 2 1 xln 2 xln 2 3 (3)∵y= x =x , 4 3 4 3 3 1 3 ∴y′=(x )′= x- = ; 4 4 4 4 4 x x x2 (4)∵y=(sin +cos ) -1 2 2 x x 2x =sin +2sin cos +cos -1=sin x, 2 2 2 2 ∴y′=(sin x)′=cos x. 2x 求函数在某一点处的导数 1 6 [例 2] 求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数. x5 [思路点拨] 先求导函数,再求导数值. [精解详析] ∵f(x)= 1 6 x5 5 =x- , 6 ? ? 5? 5? 11 ? ? ? ? ∴f′(x)= x-6 ′= -6 x- , 6 ? ? ? ? 5 ∴f′(1)=- . 6 [一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行 化简,然后求导,最后将变量的值代入导函数便可求解. 4.若函数 f(x)= x,则 f′(1)=________. 1 1 2 解析:∵f′(x)=( x)′=(x )′= x- , 3 3 3 1 ∴f′(1)= . 3 3 3 1 答案: 3 5.若函数 f(x)=sin x,则 f′(6π)=________. 解析:∵f′(x)=(sin x)′=cos x. ∴f′(6π)=cos 6π=1. 答案:1 1 1 6.已知 f(x)= 且 f′(1)=- ,求 n. 2 n x ? 1 ? 1 1 1 1 ? ? 解:f′(x)=? n ?′=(x-n)′=-nx-n-1=-nx ? x? n+ 1 - n , 1 ∴f′(1)=-n, 1 1


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