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人教A版数学必修二第二章第四课时导学案2.1(习题课)


§ 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系(习题课)
学习目标
1. 2. 3. 4. 理解和掌握平面的性质定理,能合理运用; 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系; 会判断异面直线,掌握异面直线的求法; 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P40~ P50,找出疑惑之处) 复习 1:概念与性质 ⑴平面的特征和平面的性质(三个公理); ?平行 ? ⑶直线与直线的位置关系 ?相交 ?异面 ?
?平行 ⑸平面与平面的位置关系 ? ?相交

⑵平行公理、等角定理; ?在平面内 ? ⑷直线与平面的位置关系 ? 相交 ? 平行 ?

复习 2:异面直线夹角的求法:平移线段作角,解三角形求角. 复习 3:图形语言、符号语言表示点、线、面的位 置关系 ⑴点与线、点与面的关系; ⑵线与线、线与面的关系; ⑶面与面的关系.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 如图 4-1, ?ABC 在平面 ? 外, AB ? ? P , BC ? ? Q , AC ? ? R , 求证: P , Q , R 三点共线.

图 4-1 小结:证明点共线的基本方法有两种 ⑴找出两个面的交线,证明若干点都是这两个平面的公共点,由公理 3 可推知这些点都在 交线上,即证若干点共线. ⑵选择其中两点确定一条直线,证明另外一些点也都在这条直线上.

G , H 分别是 CD 和 AD 例 2 如图 4-2,空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB 和 CB 上的点, 上的点,且 EH 与FG 相交于点 K .求证: EH , BD , FG 三条直线相交于同一点.

图 4-2 小结:证明三线共点的基本方法为:先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是 二直线所在平面的公共点,第三条直线是两个平面的交线,由公理 3 得证这三线共点. 例 3 如图 4-3,如果两条异面直线称作“一对” ,那么在正方体的 12 条棱中,共有异面直线 多少对?

图 4-3 反思:分析清楚几何特点是避免重复计数的关键,计数问题必须避免盲目乱数,分类时要 不重不漏.

※ 动手试试 练 1. 如图 4-4,是正方体的平面展开图,则在这个正方体中: ① BM 与 ED 平行 ② CN 与 BE 是异面直线 ③ CN 与 BM 成 60°角 ④ DM 与 BN 是异面直线 其中正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④

图 4-4

练 2. 如图 4-5,在正方体中, E , F 分别为 AB 、 AA? 的中点,求证: CE , D?F , DA 三线交 于一点.

图 4-5

练 3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?

小结:分类讨论的数学思想

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 平面及平面基本性质的应用; 2. 点、线、面的位置关系; 3. 异面直线的判定及夹角问题. ※ 知识拓展 异面直线的判定方法: ①定义法:利用异面直线的定义,说明两直线不平行,也不相交,即不可能在同一个平面 内. ②定理法:利用异面直线的判定定理说明. ③反证法(常用):假设两条直线不异面,则它们一定共面,即这两条直线可能相交,也可 能平行,然后根据题设条件推出矛盾.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 直线 l1 ∥ l2 ,在 l1 上取 3 个点,在 l2 上取 2 个点,由这 5 个点确定的平面个数为( A.1 个 B.3 个 C.6 个 D.9 个
2. 下列推理错误的是( ). A ? l A ? ? B ? l B ? ? ?l ?? A. , , , B. A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? AB C. l ? ? , A ? l ? A ? ? D. A , B , C ? ? , A , B , C ? ? ,且 A , B , C 不共线 ? ? 与? 重合 3. a , b 是异面直线, b , c 是异面直线,则 a , c 的位置关系是( A.相交、平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面 ).

).

4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则它与另一平面____________. 5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是__________________; 两条平行直线中的一条 与某一条直线垂直,则另一条和这条直线______.

课后作业
1. 如图 4-6,在正方体中 M , N 分别是 AB 和 DD? 的中点,求异面直线 B?M 与 CN 所成的角.

图 4-6

2. 如图 4-7,已知不共面的直线 a , b , c 相交于 O 点,M , P 点是直线 ? 上两点,N , Q 分别是 直线 b , c 上一点.求证: MN 和 PQ 是异面直线.

a

P
M
O N b

c
Q

图 4-7


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