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上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题

2018 年交附高二下数学期末试卷 第Ⅰ卷(共 54 分) 一、填空题(本大题共 12 题,1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分,满分 54 分,将答案填在 答题纸上) 1.函数 f ? x ? ? x ?1 ? 1 的定义域为 2? x . . 2.表面积为 ? 的球的体积为 7 1? ? 3. ? 2 x ? ? 的二项展开式中, x 项的系数是 x? ? . (用数字作答) 4.高一(10)班有男生 36 人,女生 12 人,若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个 容量为 8 的样本,则抽取男生的人数为 人. 种.(用数学 5. 6 人并排站成一行,其中甲、乙两人必须相邻,那么不同的排法有 作答) 6.若交大附中共有 400 名教职工,那么其中至少有两人生日在同一天的概率为 7. 设 函 数 f 是 . ? x? ? l n? 1? x? . 1 ? , 则 使 得 f ? x ? ? f ? 2x ?1? 成 立 的 x 的 取 值 范 围 1 ? x2 8.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? BC ? 4 , AA 1 ? 2 ,则直线 BC1 与平面 BB 1D 1D 所 成角的正弦值为 . 个非等边三角形. 9.一个正方体的 8 个顶点可以组成 10.将集合 M ? ?1,2,?,12? 的元素分成互不相交的三个子集: M ? A ? B ? C ,其中 A ? ?a1, a2 , a3 , a4 ? , B ? ?b1, b2 , b3 , b4? , C ? ?c1, c2 , c3 , c4? ,且 ak ? bk ? ck , k ? 1, 2,3, 4 , 则满足条件的集合 C 有 个. 11.设非空集合 A 为实数集的子集,若 A 满足下列两个条件: (1) 0 ? A , 1 ? A ; (2)对任意 x, y ? A ,都有 x ? y ? A , x ? y ? A , xy ? A , 则称 A 为一个数域,那么命题: ①有理数集 Q 是一个数域; ②若 A 为一个数域, 则Q ? A; ③若 A ,B 都是数域, 那么 A ? B 也是一个数域;④若 A , B 都是数域,那么 A ? B 也是一个数域. x ? A ? y ? 0? y 其中真命题的序号为 . 12.已知函数 f ? x ? ? ?2x2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1 , 0 ? m ? n ,并且 x ??m, n? 时, ?1 1 ? f ? x ? 的取值范围为 ? , ? ,则 m ? n ? ?n m? . 第Ⅱ卷(共 96 分) 二、选择题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 13.设地球的半径为 R ,地球上 A , B 两地都在北纬 45 的纬度线上去,且其经度差为 90 , 则 A , B 两地的球面距离是( A. ? R B. ) C. ? ? ?R 2 ?R 3 D. ?R 6 14.对于不重合的两个平面 ? 与 ? ,给定下列条件: ①存在平面 ? ,使得 ? 、 ? 都垂直于 ? ; ②存在平面 ? ,使得 ? 、 ? 都平行于 ? ; ③ ? 内有不共线的三点到 ? 的距离相等; ④存在异面直线 l , m ,使得 l / /? , l / / ? , m / /? , m / / ? 其中,可以判定 ? 与 ? 平行的条件有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 ) D. 4 个 15.一个正方体的展开如图所示,点 B , C , D 为原正方体的顶点,点 A 为原正方体一条棱 的中点,那么在原来的正方体中,直线 CD 与 AB 所成角的余弦值为( A. ) 5 10 B. 10 5 C. 5 5 D. 10 10 16.已知函数 y ? f ? x ? 的图像是一条连续不断的曲线,若 f ? 0? ? A , f ?1? ? B ,那么下列 四个命题中 ①必存在 x ??0,1? ,使得 f ? x ? ? ②必存在 x ??0,1? ,使得 f ? x ? ? A? B ; 2 AB ; ③必存在 x ??0,1? ,使得 f ? x ? ? ④必存在 x ??0,1? ,使得 f ? x ? ? A2 ? B2 ; 2 2 1 1 ? A B C. 3 个 . 真命题的个数是( A. 1 个 ) D. 4 个 B. 2 个 三、解答题 (本大题共 5 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 某公司生产一种产品,每年投入固定成本 0.5 万元.此外, 每生产 1 件这种产品还需要增加 投入 25 万元.经测算, 市场对该产品的年需求量为 500 件, 且当出售的这种产品的数量为 t(单 位:百件)时,销售所得的收入约为 5t ? 1 2 t (万元). 2 (1)若该公司这种产品的年产量为 x (单位:百件) ,试把该公司生产并销售这种产品所得的 ? 年利润 y 表示为年产量 x x ? R 的函数; ? ? (2)当该公司的年产量 x 为多少时,当年所得利润 y 最大?最大为多少? 18. 解关于 x 的不等式 ax ? ax ? 1 ? x .( a ? R ) 2 19. 如图, 二面角 D ? AB ? E 的大小为 ? , 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, AE ? EB , 2 F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE . (1)求证: AE ? BE ; (2)求二面角 B ? AC ? E 的大小; (3)求点 D 到平面 ACE 的距离. 20. 设全体空间向量组成的集合为 V ,a ? ? a1 , a2 , a3 ? 为 V 中的一个单位向量,


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