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正余弦定理练习题(含答案)


正弦定理
a b 1. 解析: 选 A.应用正弦定理得: = , sinA sinB asinB 求得 b= = 6. sinA 2.解析:选 C.A=45° ,由正弦定理得 asinB b= =4 6. sinA a b 3. 解析: 选 C.由正弦定理 = 得: sinA sinB bsinA 2 sinB= = ,又∵a>b,∴B<60° ,∴B a 2 =45° . 4 . 解 析 : 选 A. 由 正 弦 定 理 知 sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=1∶5∶6. 5.解析:选 A.C=180° -105° -45° = 30° ,由 b c 2× sin 30° = 得 c= =1. sinB sinC sin45°

∴∠C 有两解,即∠C=60° 或 120° , ∴∠A=90° 或 30° . 1 再由 S△ABC= AB· ACsinA 可求面积. 2 8 解析:选 D.由正弦定理得 2 , sinC 1 ∴sinC= . 2 又∵C 为锐角,则 C=30° ,∴A=30° , △ABC 为等腰三角形,a=c= 2. 9.解析:由正弦定理得: a· sinC 1 所以 sinA= = . c 2 π π 又∵a<c,∴A<C= ,∴A= . 3 6 π 答案: 6 a b 10.解析:由正弦定理得 = sinA sinB 1 4× 2 bsinA 3 ? sinB= = = . a 4 3 2 3 答案: 3 2 a c = , sinA sinC 6 = sin120°

b sin B cos A 6.解析:选 D.∵ = ,∴ = a sin A cos B sin B , sin A sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B 即 2A=2B 或 2A+2B=π, 即 A=B, 或 π A+B= . 2 AB AC 7.解析:选 D. = ,求出 sinC sinC sinB = 3 ,∵AB>AC, 2
1

11.解析:C=180° -120° -30° =30° ,∴a =c, 由 a b 12× sin30° = 得,a= =4 3, sinA sinB sin120°

∴a+c=8 3. 答案:8 3 12.解析:由正弦定理,得 a=2R· sinA,b =2R· sinB, 代入式子 a=2bcosC,得 2RsinA=2· 2R· sinB· cosC,



a-2b+c sin A-2sin B+sin C



2R? sinA-2sinB+sin C? =2R=2. sin A-2sin B+sin C 答案:2 15.解析:依题意,sinC= absinC=4 3, 2 2 1 ,S△ABC= 3 2

所以 sinA=2sinB· cosC, 解得 b=2 3. 即 sinB· cosC+cosB· sinC=2sinB· cosC, 化简,整理,得 sin(B-C)=0. ∵0° <B<180° ,0° <C<180° , ∴-180° <B-C<180° , ∴B-C=0° ,B=C. 答案:等腰三角形 1 17.解:在△ABC 中,BC=40× =20, 2 a+b+c 13. 解析: 由正弦定理得 = sinA+sinB+sinC a 6 3 1 1 = =12,又 S△ABC= bcsinA,∴ sinA sin60° 2 2 × 12× sin60° × c=18 3, ∴c=6. 答案:12 6 14.解析:由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 得, ∠A=30° ,∠B=60° ,∠C=90° , a 1 ∴2R= = =2, sinA sin30° 又∵a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,
2

答案:2 3 1 16.解析:∵bsinC=4 3× =2 3且 c=2, 2 ∴c<bsinC,∴此三角形无解. 答案:0

∠ABC=140° -110° =30° , ∠ACB=(180° -140° )+65° =105° , 所以∠A=180° -(30° +105° )=45° , 由正弦定理得 BC· sin∠ABC AC= sinA 20sin30° = =10 2(km). sin45° 即货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离 是 10 2 km.

C C 1 1 18.解:由 sin cos = ,得 sinC= , 2 2 4 2

π 5π 又 C∈(0,π),所以 C= 或 C= . 6 6 A 由 sin Bsin C=cos2 ,得 2 1 sin Bsin C= [1-cos(B+C)], 2 即 2sin Bsin C=1-cos(B+C), 即 2sin Bsin C+cos(B+C)=1,变形得 cos Bcos C+sin Bsin C=1, π 即 cos(B-C)=1,所以 B=C= ,B= 6 5π C= (舍去), 6 2π A=π-(B+C)= . 3 a b c 由正弦定理 = = ,得 sin A sin B sin C 1 2 sin B b=c=a =2 3× =2. sin A 3 2 2π π 故 A= ,B= ,b=c=2. 3 6 19.解:(1)∵A、B 为锐角,sin B= 3 10 ∴cos B= 1-sin2B= . 10 3 5 又 cos 2A=1-2sin2A= , ∴sinA= , 5 5 2 5 cos A= , 5 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B = 2 5 3 10 5 10 2 × - × = . 5 10 5 10 2 10 , 10

π 又 0<A+B<π,∴A+B= . 4 3π 2 (2)由(1)知,C= ,∴sin C= . 4 2 a b c 由正弦定理: = = 得 sin A sin B sin C 5a= 10b= 2c, 即 a= 2b, c= 5b. ∵a-b= 2-1,∴ 2b-b= 2-1, ∴b=1. ∴a= 2,c= 5. 1 1 20.解:由 S= absin C 得,15 3= × 60 3 2 2 × sin C, 1 ∴sin C= ,∴∠C=30° 或 150° . 2 又 sin B=sin C,故∠B=∠C. 当∠C=30° 时,∠B=30° ,∠A=120° . 又∵ab = 60 3 , 2 15. 当∠C=150° 时,∠B=150° (舍去). 故边 b 的长为 2 15. a b = ,∴b = sin A sin B

余弦定理



1.解析:选 A.由余弦定理,得 AC= AB2+BC2-2AB· BCcosB = 1 42+62-2× 4× 6× =6. 3

2.解析:选 B.由余弦定理,得 c2=a2 +b2-2abcosC
3

=22+( 3-1)2-2× 2× ( 3-1)cos30° =2, ∴c= 2. 3 .解析:选 D.cos∠A = - 3bc 3 =- , 2bc 2 ∵0° <∠A<180° ,∴∠A=150° . 4.解析:选 D.由(a2+c2-b2)tanB= 3 b2+c2-a2 = 2bc

|· sinA 1 = × 4× 1× sinA, 2 ∴sinA = 形, 1 ∴cosA= , 2 1 → → ∴AB· AC=4× 1× =2. 2 8.解析:选 C.在△ABC 中,由余弦定 3 ,又∵△ABC 为锐角三角 2

ac,联想到余弦定理,代入得 a +c -b 3 1 3 cosB cosB= = · = · . 2ac 2 tanB 2 sinB π 3 π 显然∠B≠ ,∴sinB = .∴∠B = 或 2 2 3 2π . 3 a2+c2-b2 5 . 解 析 : 选 C.a· + 2ac b2+c2-a2 2c2 b· = =c. 2bc 2c 6.解析:选 A.设三边长分别为 a,b, c 且 a2+b2=c2. 设增加的长度为 m, 则 c+m>a+m,c+m>b+m, 又 (a + m) + (b + m) = a + b + 2(a + ∴a∶b∶c=( 3-1)∶( 3+1)∶ 10. b)m+2m >c +2cm+m =(c+m) , 设 a=( 3-1)k,b=( 3+1)k,c= 10 ∴三角形各角均为锐角, 即新三角形为 k(k>0), 锐角三角形. ∴c 边最长, 即角 C 最大. 由余弦定理, 1→ → 7.解析:选 A.S△ABC= 3= |AB|· |AC 2
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

理得 b2=a2+c2-2accosB,即 3=a2+9- 3 3a, ∴a2-3 3a+6=0, 解得 a= 3或 2 3. 9.解析:∵2B=A+C,A+B+C=π, π ∴B= . 3 在△ABD 中, AD= AB2+BD2-2AB· BDcosB = 1 1+4-2× 1× 2× = 3. 2

答案: 3 10 .解 :∵sinA∶sinB∶sinC = ( 3 - 1)∶( 3+1)∶ 10,



a2+b2-c2 1 cosC= =- , 2ab 2 又 C∈(0° ,180° ),∴C=120° .

答案:2 3

14 . 解 析 : 在 △ABC 中 , cosB = 1 3 11.解析:S= absinC,sinC= ,∴C 2 2 =60° 或 120° . 1 ∴cosC = ± , 又 ∵c2 = a2 + b2 - 2 2abcosC, ∴c2=21 或 61,∴c= 21或 61. 答案: 21或 61 12 .解析:由正弦定理 a∶b∶c = sin =-19. A∶sin B∶sin C=2∶3∶4, 答案:-19 设 a=2k(k>0),则 b=3k,c=4k, cos B = a2+c2-b2 2ac = a2+b2-c2 1 15 .解析: absinC = S = = 2 4 a2+b2-c2 ab · 2ab 2 1 = abcosC, ∴sinC=cosC, ∴tanC=1, 2 ∴C=45° . ∴cos A∶cos B∶cos C=14∶11∶(- 答案:45° 4). 答案:14∶11∶(-4) 1 2 2 13.解析:∵cos C= ,∴sin C= . 3 3 1 又 S△ABC= absinC=4 3, 2 1 2 2 即 · b· 3 2· =4 3, 2 3 ∴b=2 3.
5

AB2+BC2-AC2 2AB· BC 49+25-36 = 2× 7× 5 19 = , 35 → → → → ∴AB· BC=|AB|· |BC|·cos(π-B) 19 =7× 5× (- ) 35

?2 k?2+? 4 k?2-? 3 k?2 11 = , 2× 2k× 4k 16 7 1 同理可得:cos A= ,cos C=- , 8 4

16.解析:设三边长为 k-1,k,k+ 1(k≥2,k∈N),
?k2+?k-1?2-?k+1?2<0 ? 则? ?2 ? ?k+k-1>k+1

<k<4, ∴k=3,故三边长分别为 2,3,4,

32+42-22 7 ∴最小角的余弦值为 = . 2× 3× 4 8 7 答案: 8 17.解:∵A+B+C=π 且 2cos(A+B)=1, 1 1 ∴cos(π-C)= ,即 cosC=- . 2 2 又∵a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两 根, ∴a+b=2 3,ab=2. ∴AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cosC 1 =a2+b2-2ab(- ) 2 =a2+b2+ab=(a+b)2-ab =(2 3)2-2=10, ∴AB= 10. 18.解:(1)由题意及正弦定理得 AB+ BC +AC= 2 + 1 , BC+ AC = 2 =

AB 19.解: (1)在△ABC 中, 由正弦定理 sin C BC sinC ,得 AB= BC=2BC=2 5. sin A sinA (2)在△ABC 中,根据余弦定理,得 AB2+AC2-BC2 2 5 cos A= = , 2AB· AC 5 于是 sin A= 1-cos2A= 5 . 5

4 从而 sin 2A=2sin Acos A= , 5 3 cos 2A=cos2 A-sin2 A= . 5 π π 所 以 sin(2A - ) = sin 2Acos - cos 4 4 π 2 2Asin = . 4 10 sin C c 20.解:由正弦定理,得 = . sin B b sinC c 由 2cos Asin B=sin C, 有 cosA= = . 2sin B 2b 又根据余弦定理,得

AB, 两式相减,得 AB=1. 1 1 (2)由△ABC 的面积 BC· AC· sin C= sin 2 6 1 C,得 BC· AC= , 3 AC2+BC2-AB2 由余弦定理得 cos C= 2AC· BC = ?AC+BC?2-2AC· BC-AB2 1 = , 2AC· BC 2 cos A = b2+c2-a2 , 2bc

b2+c2-a2 c , 所 以 = 2bc 2b

即 c2=b2+c2-a2,所以 a=b. 又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以(a+b)2-c2=3ab,所以 4b2-c2= 3b2,所以 b=c,所以 a=b=c, 因此△ABC 为等边三角形.

所以 C=60° .

6



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