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广东省深圳市高级中学2016-2017学年高一数学下学期期中试题 文

深圳高级中学(集团)2016-2017 学年高一年级第二学期期中考试 数学(文科)
本试卷由两部分组成.第一部分: 高一数学第一学期期末前的基础知识 和能力考查,共 54 分; 选择题部分包含第 1、3、7、9、11 题,分值共 25 分, 填空题部分包含第 16 题,分值共 5 分;解答题部分包含第 19、22 题,分值共 24 分. 第二部分:高二数学第一学期期末后的基础知识和能力考查,共 96 分; 选择题部分包含第 2、4、5、6、8、10、12 题,分值共 35 分,填空题部分包含第 13、14、 15 题,分值共 15 分;解答题部分包含第 17、18、20、21 题,分值共 46 分. 全卷共计 150 分. 考试时间 120 分钟 一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A={0,1,2,3},集合 B={x|0<x<3},则 A∩B=( A.{0,1} B.{1,2} C.{1,2,3} )

D.{0,1,2,3} ) D.第四象限

2. 若 cosθ >0,sinθ <0,则角 θ 的终边所在的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) C. (3, ? ?) ) B. D. ,则 C. ?

3. 函数 y ? log 3 x ?1 的定义域为( A. (0, ? ?) B. [3, ? ?)

D. [ , ? ? )

1 3

4. 下列各组向量中,可以作为基底的是( A. C. =(0,0) , =(2,﹣3) , =(1,﹣2) =( ,﹣ ) , B.

=(﹣1,2) , =(3,5) , =(

=(5,7) =(6,10) )

5. 已知 A.

5 13

D. ? ,则

12 13
=( ) D. ) D.x﹣2y﹣5=0

6. 设 D 为△ABC 所在平面内一点,且 A. B.

C.

7. 已知点 A(1,2) ,B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程为( A.4x+2y﹣5=0 B.4x﹣2y﹣5=0 C.x+2y﹣5=0

8. 函数 f (x) =2sin (2x﹣ 的最小值为( )

) 的图象关于直线 x=x0 对称, 则|x0|

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A.

B.

C.

D. ) D. ,设 M 是直线 OP 上任意一点(O 为

9. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积为( A.8﹣ 10. 已知向量 坐标原点) ,则 A.8 的最小值为( B.
3

B.8﹣

C.8﹣2π

) C.
2

D.-8

11. 已知 f(x)=x ,若 x∈[1,2]时,f(x ﹣ax)+f(1﹣x)≤0 恒成立,则 a 的取值范 围是( A.a≤1 ) B.a≥1 C.a≥ D.a≤

12. 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (0<ω <1,|φ |<π ) .若对任意 x∈R,f(1)≤f (x)≤f(6) ,则( ) B.f(2014)﹣f(2017)=0 D.f(2014)+f(2017)=0

A.f(2014)﹣f(2017)<0 C.f(2014)+f(2017)<0

二.填空题: (本大共 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分) 13. 已知向量 m ? ( x ? 2, 1), n ? (1, x) ,若 m ? n ,实数 x 的值为 14. 若 的值是___________

15. y=cos2ω x(ω >0)的最小正周期是 π ,则 ω = 16. 圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,圆 M 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 5) ? 1,过圆 M 上任意
2 2 2 2

一点 P 作圆 C 的两条切线 PE、PF,切点分别为 E、F,则

的最小值为

三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知| |=4,| |= (1)求 ? ; (2)求| + |. 18. 已知 (1)由 tanα 的值; ,且 tanα >0. , ( + )?( ﹣2 )=16.

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(2)求

的值.

19. 设函数 f(x)=

sinxcsox+cos x+m

2

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 x∈R 时,f(x)的最小值为 2,求函数 f(x)的最大值及对应的 x 的值.

20. 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,AB=2, PD= ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点.

(Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积.

21. 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,0<φ <

)的图象与 x 轴的交点中,相邻

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两个交点之间的距离为

,且图象过点 M(



(1)求 f(x)的解析式; (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 ]

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0,在区间[0, 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围.

22. 已知圆 O:x +y =2,直线 l:x+y﹣3=0,过 O 作 l 的垂线,垂足为 M,线段 OM 与圆 O 的 交点为点 N,P(x0,y0)是直线 l 上的动点,N'是 N 关于 x 轴的对称点. (1)若在圆 O 上存在点 Q,使得∠OPQ=30°,求 x0 的取值范围; (2)已知 A,B 是圆 O 上不同的两点,且∠ANN'=∠BNN',试证明直线 AB 的斜率为定值.

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命题人:何永丽

审题人:毛晓蕊

一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A={0,1,2,3},集合 B={x|0<x<3},则 A∩B=(B A.{0,1} B.{1,2} C.{1,2,3} )

D.{0,1,2,3}

2. 若 cosθ >0,sinθ <0,则角 θ 的终边所在的象限是( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) C. (3, ? ?) D. [ , ? ? ) D.第四象限

3. 函数 y ? log 3 x ?1 的定义域为( B A. (0, ? ?) B. [3, ? ?)

1 3

4. 下列各组向量中,可以作为基底的是( B ) A. C. =(0,0) , =(2,﹣3) , =(1,﹣2) =( ,﹣ ) , B. C. ,则 D. ,则 C. =( A ) D. B ) B. D. =(﹣1,2) , =(3,5) , =(5,7) =(6,10)

5. 已知 A.

=( B )

6. 设 D 为△ABC 所在平面内一点,且 A. B.

7. 已知点 A(1,2) ,B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程为( A.4x+2y﹣5=0 B.4x﹣2y﹣5=0 C.x+2y﹣5=0

D.x﹣2y﹣5=0 A )

8. 函数 f(x)=2sin(2x﹣ A. B. C. D.

)的图象关于直线 x=x0 对称,则|x0|的最小值为(

9. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积为( A )

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A.8﹣

B.8﹣

C.8﹣2π

D. ,设 M 是直线 OP 上任意一点(O 为

10. 已知向量 坐标原点) ,则 A.8 的最小值为( D ) B.
3

C.
2

D.-8

11. 已知 f(x)=x ,若 x∈[1,2]时,f(x ﹣ax)+f(1﹣x)≤0 恒成立,则 a 的取值范 围是( C ) A.a≤1 B.a≥1 C.a≥ D.a≤ 12. 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (0<ω <1,|φ |<π ) .若对任意 x∈R,f(1)≤f (x)≤f(6) ,则( A ) A.f(2014)﹣f(2017)<0 C.f(2014)+f(2017)<0 B.f(2014)﹣f(2017)=0 D.f(2014)+f(2017)=0

二.填空题: (本大共 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分) 13. 已知向里 m=(x-2,1), n=(1,x),若 m⊥n,则实数 x 的值为 14. 若 的值是___________ 1

?

24 25

15. y=cos2ω x(ω >0)的最小正周期是 π ,则 ω =
2 2

1 .
2 2

16. 圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,圆 M 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 5) ? 1,过圆 M 上任意 一点 P 作圆 C 的两条切线 PE、PF,切点分别为 E、F,则 的最小值为 6 .

三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知| |=4,| |= (1)求 ? ; (2)求| + |. 【解答】解: (1)∵( + )?( ﹣2 )=16, ∴ ﹣2 ﹣ ? =16, 即 ? = ﹣2 ﹣16=16﹣2×3﹣16=﹣6; (2)| + |= = .
2 2 2 2

, ( + )?( ﹣2 )=16.

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18. 已知 (1)由 tanα 的值;

,且 tanα >0.

(2)求

的值.

【解答】解: (1)由

,得 ,∴

, .

又 tanα >0,则 α 为第三象限角,所以

(2)



19. 设函数 f(x)=

sinxcsox+cos x+m

2

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 x∈R 时,f(x)的最小值为 2,求函数 f(x)的最大值及对应的 x 的值. 【解答】解: (Ⅰ)由于函数 f(x)= =sin(2x+ )+m+ , =π . ≤2kπ + 得:kπ ﹣ ,kπ + ≤x≤kπ + ],k∈Z. , sinxcsox+cos x+m=
2

sin2x+

+m

∴最小正周期为 由 2kπ ﹣ ≤2x+

故函数 f(x)的单调增区间为[kπ ﹣ (Ⅱ)最大值为 4, x ?

?
6

? k? ( k ? Z )

20. 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,AB=2, PD= ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点.

(Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积.

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【解答】 (Ⅰ)证明:∵PD⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴AC⊥PD.∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, 又∵PD∩BD=D,AC⊥平面 PBD. 而 AC? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBD.

(Ⅱ)解:∵PD∥平面 EAC,平面 EAC∩平面 PBD=OE, ∴PD∥OE, ∵O 是 BD 中点,∴E 是 PB 中点. 取 AD 中点 H,连结 BH,∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, ∴BH⊥AD,又 BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BD⊥平面 PAD, ∴ = = . )的图象与 x 轴的交点中,相邻 .

21. 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,0<φ < 两个交点之间的距离为 ,且图象过点 M( )

(1)求 f(x)的解析式; (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 ]

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0,在区间[0, 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 【解答】解: (1)由题意: 图象与 x 轴的交点, 相邻两个交点之间的距离为 ,即



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即 T= ∵T=

; ,解得:ω =4,那么:f(x)=sin(4x+φ ) . .图象过点 M( ; ;将 f(x)的图象向右平移 个单位后,得到 )带入可求得 φ = ,

∵0<φ < ∴解析式

(2)由(1)可知: 的图象,

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 得到 象.即 g(x)=sin(2x﹣ ∵ ∴ ≤2x﹣ ≤ ]上只有一个实数解,即图象 g(x)与 y=﹣k,只有一个交点, )= )

的图

g(x)+k=0 在[0, 当 x=

时,g(x)图象取得最低点,即 g(﹣

.由正弦函数图象可知:

时只有一个交点,以及 k=﹣1 时,也有一个交点.即实数 k 的取值范围为: 或 k=﹣1. 22. 已知圆 O:x +y =2,直线 l:x+y﹣3=0,过 O 作 l 的垂线,垂直为 M,线段 OM 与圆 O 的 交点为点 N,P(x0,y0)是直线 l 上的动点,N'是 N 关于 x 轴的对称点. (1)若在圆 O 上存在点 Q,使得∠OPQ=30°,求 x0 的取值范围; (2)已知 A,B 是圆 O 上不同的两点,且∠ANN'=∠BNN',试证明直线 AB 的斜率为定值.
2 2

【解答】解: (1)∵OM⊥l,∴直线 l 上的斜率为﹣1,

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∴直线 l 上的方程为:

,即 x+y﹣3=0.

(2)如图可知,对每个给定的点 P,当 PQ 为圆 O 的切线时,∠OPQ 最大,此时 OQ⊥PQ, 若此时∠OPQ=30°,则 又 x0+y0﹣3=0? y0=3﹣x0,代入得: . (3)证明:据题意可求 N(1,1) , ∵N'是 N 关于 x 轴的对称点,∠ANN'=∠BNN',∴kAN=﹣kBN,设 kAN=k,则 kBN=﹣k, 则直线 AN 的方程为:y﹣1=k(x﹣1) ,直线 BN 的方程为:y﹣1=﹣k(x﹣1) , 联立 ,消去 y 得: (1+k )x +2k(1﹣k)x+k ﹣2k﹣1=0,
2 2 2

,故只需

即可,即





,∴

,同理可求



, 故直线 AB 的斜率为定值 1.

10
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