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全国新课标2017年高考数学大二轮复习第三讲不等式及线性规划课件文_图文

第二编 专题整合突破
专题一 集合、常用逻辑用语、 向量、复数、算法、合情推理、 不等式及线性规划

第三讲 不等式及线性规划

主干知识整合

[必记公式] 1.a2+b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a=b)
? ? ?a+b?2 2.ab≤? ? (a,b∈R). ? 2 ?

3.

a2+b2 a+b 2ab 2 ≥ 2 ≥ ab≥a+b(a>0,b>0).

4.2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,当a=b时等号成立)

[重要结论] 1.不等式的四个性质 注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求,如 (1)a>b, c>0 ?ac>bc,a>b, c<0 ?ac<bc. (2)a>b >0 ,c>d >0 ?ac>bd. (3)a>b >0 ?an>bn(n∈N,n≥1). (4)a>b >0 ? a> b(n∈N,n≥2). n n

2.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二 次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数 图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f ? x? >0(<0)? f(x)g(x)>0(<0) g ?x ? f ? x? ≥0(≤0)? g ?x ? ; .

f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0

(3)简单指数不等式的解法 当a>1时,af(x)>ag(x)? f(x)>g(x) 当0<a<1时,af(x)>ag(x)? (4)简单对数不等式的解法 当a>1时,logaf(x)>logag(x)? f(x)>g(x)且f(x)>0,g(x)>0 ; 当0<a<1时,logaf(x)>logag(x)? f(x)<g(x)且f(x)>0,g(x)>0 .

; f(x)<g(x).

3.判断二元一次不等式表示的平面区域的方法 在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点(x0,y0),通过 Ax0+By0+C的符号来判断Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0) 所表示的区域.

[失分警示] 1.忽略限制条件致误:应用不等式的性质时,要注意 限制条件. 2.注意符号成立的条件:用基本不等式求最值时,若 连续进行放缩,只有各等号成立的条件保持一致时,结论 的等号才成立. 3.忽略基本不等式求最值的条件致误:利用基本不等 式求最值时要注意“一正、二定、三相等”,三个条件缺 一不可.

4.解分式不等式时,直接把分母乘到另一边,不注意 分母的取值范围致误. 5.线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不 清. a z 6.y=-bx+b中截距符号弄反,导致平移时上下方向错误.

热点考向探究

考点 典例示法 典例1 值范围是(

不等式的性质及解法

(1)[2016· 合肥质检]函数f(x)=-x2+3x+a, ) B.[-ln 2,+∞)
? ? 1 ? D.?-2,0? ? ? ?

g(x)=2x-x2,若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立,则实数a的取 A.[-e,+∞) C.[-2,+∞)

[解析] 本题主要考查二次函数与指数函数的性 质.如图所示,在同一坐标系中画出y=x2+1,y=2x,y 3 3 2 x 2 =x + 2 的图象,由图象可知,在[0,1]上,x +1≤2 <x + 2
2

3 恒成立,即1≤2 -x < 2 ,当且仅当x=0或x=1时等号成
x 2

3 立,∴1≤g(x)< 2 ,∴f(g(x))≥0?f(1)≥0?-1+3+a≥0? a≥-2,即实数a的取值范围是[-2,+∞),故选C.

(2)[2014· 山东高考]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则 下列关系式恒成立的是( 1 1 A. 2 > 2 x +1 y +1 C.sinx>siny ) B.ln (x2+1)>ln (y2+1) D.x3>y3

[解析] 因为0<a<1,ax<ay,所以x>y.对于选项A,取x 1 1 =2,y=1,则 2 < 2 ,显然A错误;对于选项B,取x x +1 y +1 =-1,y=-2,则ln (x2+1)<ln (y2+1),显然B错误;对 π π 于选项C,取x=π,y= 2 ,则sin 2 >sinπ,显然C错误;对于 选项D,若x>y,则x3>y3一定成立,故选D.

求解不等式的方法 (1)对于一元二次不等式,应先化为一般形式ax2+bx+ c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位臵关系,确定一 元二次不等式的解集. (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把 它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.

(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类, 关键是找到对参数进行讨论的原因,确定好分类标准,有 理有据、层次清楚地求解.

针对训练 1.[2016· 石家庄质检(二)]函数f(x)=
x ? 2 ? ,x∈[0,1?, ? ?4-2x,x∈[1,2], ?

3 若f(x0)≤2,则x0的取值范围是(
? 3 5? ? ? log , A.? 22 4? ? ? ? ?5 ? 3? ? ? ? C.?0,log22?∪?4,2? ? ? ? ? ?

)

? ?5 ? 3? ? ? ? ? 0 , log ,+∞ B.? 2 ?∪? ? 2 4 ? ? ? ? ? ? ?5 ? 3 ? ? ? D.?log22,1?∪?4,2? ? ? ? ? ?

3 3 解析 ①当0≤x0<1时,2x0≤2,x0≤log22, 3 ∴0≤x0≤log22. 3 5 ②当1≤x0≤2时,4-2x0≤2,x0≥4, 5 ∴4≤x0≤2,故选C.

2.[2014· 江苏高考]已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于 任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围
? ? 2 ? ? , 0 ?- ? 2 是______________ . ? ?

解析 要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+ 1]恒成立,
2 ? ? ?f?m?<0, ?2m -1<0, 只需? 即? 2 ? ? f ? m + 1 ? <0 , ? m + 1 ? +m?m+1?-1<0, ? ?

2 解得- 2 <m<0.

考点 典例示法

基本不等式的应用

题型1 利用基本不等式求最值 典例2 1 2 [2015· 湖南高考]若实数a,b满足 a + b = ) B.2

ab,则ab的最小值为( A. 2

C.2 2 D.4 1 2 b+2a [解析] 解法一:由已知得 a + b = ab = ab ,且

a>0,b>0,∴ab ab=b+2a≥2 2 ab ,当且仅当b=2a时 成立.∴ab≥2 2.

解法二:由题设易知a>0,b>0,∴

1 2 ab = a + b 时,取等

≥2

?1 2 ? + = ab 2 ?a b ,即 ab ≥ 2 2 ,当且仅当 ab ? ?b=2a

号,选C.

题型2 基本不等式的综合应用 典例3 已知点A(0,-1),B(3,0),C(1,2),平面区 → → → 域P是由所有满足AM=λAB+μAC(2<λ≤m,2<μ≤n)的点M组 成的区域,若区域P的面积为16,则m+n的最小值为 4+2 2 . ________

→ → → [解析] 由题意知 AB =(3,1), AC =(1,3), BC =(- 2,2), → → 3+3 AB· AC 3 4 所以cosA= = = ,sinA= 5 .如图, → → 10× 10 5 |AB|· |AC| → → → → 延长AB至点G,延长AC至点E,使AG =mAB ,AE =nAC , → → → → 且 AF =2 AB , AD =2 AC ,作DK∥AB,EQ∥AB,FT∥ AC,GQ∥AC,则四边形AFHD、四边形AGQE、四边形 HKQT都是平行四边形.由题意可知点M组成的区域P为图

中的阴影部分,即四边形HKQT及其内部,所以四边形 4 HKQT的面积为|HK|· |HT|sinA=(m-2) 10 · (n-2) 10 · 5= 16,即(m-2)· (n-2)=2,mn-2m-2n+2=0,即2(m+n) =mn+2,因为2(m+n)=mn+2≤
? ? m + n ? ? 2 ? ? +2,所以(m+ ? 2 ?

n)2-8(m+n)+8≥0,所以m+n≥4+2 2或m+n≤4-2 2 (舍),即m+n的最小值是4+2 2,此时m=n=2+ 2.

利用基本不等式解题应关注三方面 (1)利用基本不等式求最值的注意点 ①在运用基本不等式求最值时,必须保证“一正,二 定,三相等”,凑出定值是关键. ②若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条件的 一致性,否则就会出错. (2)求条件最值问题的两种方法 一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次 函数、指数函数、对数函数),借助于函数单调性求最值; 二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.

(3)结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根 据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”,即 把研究对象化成适用基本不等式的形式,常见的转化方法 有 b b ①x+ =x-a+ +a(x>a). x-a x-a a b ②若 x + y =1,则mx+ny=(mx+ny)×1=(mx+
?a ? b ? ? ny)· ? + ?≥ma+nb+2 y? ?x

abmn(字母均为正数).

③分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分 开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值.即化 A 为y=m+ +Bg(x)(A>0,B>0),g(x)恒正或恒负的形式, g ?x ? 然后运用基本不等式来求最值.

考点 典例示法

简单的线性规划问题

题型1 知约束条件求目标函数最值 典例4 [2016· 天津高考]设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=2x+5y的最小值为( B.6 D.17 )
?x-y+2≥0, ? ?2x+3y-6≥0, ? ?3x+2y-9≤0,

A.-4 C.10

[解析] 解法一:如图,已知约束条件
?x-y+2≥0, ? ?2x+3y-6≥0, ? ?3x+2y-9≤0

所表示的平面区域为图 中所示的三角形区域 ABC(包含边界),其中 A(0,2),B(3,0),C(1,3).根据目标函数的几何意义,可知 2 z 当直线y=- 5 x+ 5 过点B(3,0)时,z取得最小值2×3+5×0 =6.

?x-y+2≥0, ? 解法二:由题意知,约束条件 ?2x+3y-6≥0, ? ?3x+2y-9≤0



表示的平面区域的顶点分别为A(0,2),B(3,0),C(1,3).将 A,B,C三点的坐标分别代入z=2x+5y,得z=10,6,17, 故z的最小值为6.

题型2 知最值求参数 典例5
?x-y≥0, ? ?x+y≤2, ? ?y≥0.

[2015· 山东高考]已知x,y满足约束条件 若z=ax+y的最大值为4,则a=( B.2 D.-3 )

A.3 C.-2

[解析] 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部 分所示,因为目标函数z=ax+y的最大值为4,即目标函数 对应直线与可行域有公共点时,在y轴上的截距的最大值 为4,作出过点D(0,4)的直线,由图可知,目标函数在点 B(2,0)处取得最大值,故有a×2+0=4,解得a=2.故选B.

解决线性规划问题应关注三方面 (1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何 意义,找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的 点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决. (2)画可行域时应注意区域是否包含边界. (3)对目标函数z=Ax+By中B的符号,一定要注意B的 正负与z的最值的对应,要结合图形分析.

提醒:目标函数是线性时,目标函数的几何意义与直 y-b 线的截距有关;若目标函数形如z= ,可考虑(x,y)与 x-a (a,b)两点连线的斜率;若目标函数形如z=(x-a)2+(y- b)2,可考虑(x,y)与(a,b)两点距离的平方.

高考随堂演练

[全国卷高考真题调研] 1.[2015· 全国卷Ⅰ]若x,y满足约束条件
?x-1≥0, ? ?x-y≤0, ? ?x+y-4≤0,

y 3 则x的最大值为________ .

解析 作出可行域如图中阴影部分所示, y 由可行域知,在点A(1,3)处,x取得最大值3.

2.[2016· 全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料 0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润 为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲 材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件 216000 下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________ 元.

解析 由题意,设产品A生产x件,产品B生产y件,利 润z=2100x+900y,线性约束条件为
?1.5x+0.5y≤150, ? ?x+0.3y≤90, ? ?5x+3y≤600, ? ?x≥0, ? ?y≥0,

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示, 又由x∈N,y∈N,可知取得最大值时的最优解为 (60,100),所以zmax=2100×60+900×100=216000(元).

[其它省市高考题借鉴]
?x+y≤2, ? 3.[2016· 山东高考]若变量x,y满足 ?2x-3y≤9, ? ?x≥0,



x2+y2的最大值是( A.4 C.10

) B.9 D.12

解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部 分所示,设P(x,y)为平面区域内任意一点,则x2+y2表示 |OP|2.显然,当点P与点A重合时,|OP|2,即x2+y2取得最大
? ? ?x+y=2, ?x=3, 值.由 ? 解得 ? 故A(3,-1).所以 ? ? ?2x-3y=9, ?y=-1,

x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.

4.[2015· 陕西高考]设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f( ab ), q=f (
? ? ?a+b? ? ? 2 ? ?

1 ,r= 2 (f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是

) A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q a+b 解析 ∵0<a<b,∴ 2 > ab ,又f(x)=ln x在(0,+
? ? a + b 1 ? ? ab )<f ? ? ,即q>p,∵r= (f(a)+ 2 2 ? ?

∞)上单调递增,故f(

1 ? ? ? f(b))=2(ln a+ln b)=ln ab=f? ab??=p,∴p=r<q.故选B.

5.[2014· 四川高考]若a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A.c>d a b C.d>c a b B.c <d a b D.d<c

)

c d 1 1 解析 解法一:c<d<0?cd>0? cd < cd <0? d < c <0? -1 -1 ? ? -a -b a b > >0 d c ?? > ? < . d c d c ? a>b>0 ? 解法二:依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代 入验证得A、B、C均错,只有D正确.

6.[2014· 上海高考]若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2

2 2 的最小值为________ .
解析 ∵x2+2y2≥2 x2· 2y2 =2 2 xy=2 2 ,当且仅当x = 2y时取“=”,∴x2+2y2的最小值为2 2.



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