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数学:1.2《空间几何体的三视图》学案(新人教版A必修2)


1.2 空间几何体的三视图
一、三维目标
1.了解平行投影与中心投影的概念和简单性质。 2 理解三视图的含义,能画出简单几何体的三视图,掌握画法规则。

3.能根据三视图,运用空间想象能力,识别并说出它所表示的空间图形。

二、导学提纲
1.平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线 线 时,叫做正投影,否则叫做 2.空间几何体的三视图是指 3.三视图的排列规则是 、 、 。 放 。在平行投影中,投影

放在正视图的下方,长度与正视图一样,

在正视图一样,宽度与俯视图的宽度一样。 4.三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从 同一个几何体,画出的空间几何体的图形。 5.三视图对于认识空间几何体有何作用?你有何体会? 、 、 观察

三小试牛刀
1.下列命题正确的是( ) A.一个点在一个平面内的投影仍是一个点 B.一条线段在一个平面内的投影仍是线段 C.一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线 D.一个三角形在一个平面内的投影仍是三角形 2.一个圆柱的三视图中,一定没有的图形是( ) A.正方形 B.长方形 C.三角形 D.圆 。

3.一个正方形的平行投影的形状可能是 4.一个几何体的三视图如下图。

则这个几何体的名称是



四、典例剖析
1.如图甲所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 AA1 、 C1 D1 的中点,G 是正方形 BCC1 B1 的中心,则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的

1



分析:在面 ABCD 和面 A1 B1C1 D1 上的投影是图乙(1) ;在面 ADD1 A1 和面 BCC1 B1 上的 投影是图乙(2) ;在面 ABB1 A1 和面 DCC1 D1 上的投影是图乙(3) 。 答案: (2) (1) (3) 点评: 本题主要考查平行投影和空间想象能力。 画出一个图形在一个平面上的投影的关 键是确定该图形的关键点,如顶点等,画出这些关键点的投影,再依次连接即可得此图形在 该平面上的投影。如果对平行投影理解不充分,做该类题目容易出现不知所措的情形,避免 出现这种情况的方法是依据平行投影的含义,借助于空间相象来完成。 2. 如图 (1) 所示, F 分别为正方体面 ADD ′A′ 、 BCC ′B ′ 的中心, E、 面 则四边形 BFD ′E 在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)的 。

分析:四边形 BFD ′E 在正方体 ABCD ? A′B ′C ′D ′ 的面 ADD ′A′ 、 BCC ′B ′ 上的投影是 面 C;在面 DCC ′D ′ 上的投影是 B;同理,在面 ABB ′A′ 、面 ABCD 、面 A′B ′C ′D ′ 上的投影也 全是 B。 答案:B C 3.右图是一几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画 出该几何体的形状。

分析:由于俯视图有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体 和多面体拼接成的组合体,结合侧视图和正视图,可知该几何体是上面一个圆柱, 下面是一个四棱柱拼接成的组合体。 答案:上面一个圆柱,下面是一个四棱柱拼接成的组合体,该几何体的形状 如图所示。

2

4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

分析:正方体的三视图都是正方形,所以①不符合题意,排除 A、B、C。 答案:D

点评:虽然三视图的画法比较繁琐,但是三视图是考查空间想象能力的重要形式,因此 是新课标高考的必考内容之一,足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题。 5. 某几何体的三视图如图所示, 那么这个几何体是 ( ) A.三棱锥 C.四棱台 B.四棱锥 D.三棱台

分析:由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥。 答案:B 6.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视 图如图所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( ) A.8 B.7 C.6 D.5

分析:由正视图和侧视图可知,该几何体有两层小正方体拼接 成,由俯视图,可知最下层有 5 个小正方体,由侧视图可知上层仅 有一个正方体,则共有 6 个小正方体。 答案:C

空间几何体的三视图
No.038 班级 姓名 A
1.直线的平行投影可能是( ) A.点 B.线段 C.射线 2.如图所示,空心圆柱体的正视图是( )

学号 组

成绩

D.曲线

3

3.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

4.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,如图所示,以 BCC1 B1 的前面为正前方画出的三视图正 确的是( )

B



5.如图所示是一个几何体,则其几何体俯视图是( )

6.下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是( )

7.下列各图,是正六棱柱的三视图,其中画法正确的是( )

4

8.如图,图(1)(2)(3)是图(4)所表示的几 、 、 何体的三视图,其中图(1)是 , 图 ( 2 ) ,图(3)是 。 (说出视图名称) 是

C



9.根据图中的三视图想象物体原形,并分别画出物体的实物图。

10.如图,E、F 分别是正方体 AC1 的面 ADD1 A1 和面 BCC1 B1 的中心,则四边 形 BFD1 E 在该正方体的面上的正投影(投射线垂直于投影面的投影)可能是图中 (把所有可能图形的序号都填上) 。

1.2 空间几何体的直观图
一、三维目标
1.体会平面图形和空间图形的直观图的含义。 2.结合画直观图的实例,掌握直观图的斜二测画法及步骤。 3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。 4.会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。

二、导学提纲
1.表示空间图形的 ,叫做空间图形的直观图。 2.用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段,在 直观图中分别画成 于 x ′ 轴、 y ′ 轴或 z ′ 轴的线段。平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观 图中长度 ;平行于 y 轴的线段,长度变为原来的 。 3.斜二测画法是一种特殊的 投影画法。 4.用斜二测画法画水平放置的平面图形时会改变两线段的关系吗?

三、小试牛刀
1.利用斜二测画法叙述正确的是( ) A.正三角形的直观图是正三角形 B.平行四边形的直观图是平行四边形 C.矩形的直观图是矩形 D.圆的直观图一定是圆
5

2.下列结论正确的是( ) A.相等的线段在直观图中仍然相等 B.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 C.两个全等三角形的直观图一定也全等 D.两个图形的直观图是全等的三角形,则这两个图形是全等三角形 3.直角坐标系中一个平面图形上的一条线段 AB 的实际长度为 4cm,若 AB// x 轴,则 画出直观图后对应的线段 A′B ′ = ,若 AB // y 轴,则画出直观图后对应的线段 A ′B ′ = 。 4.水平放置的 ?ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 A′C ′ = 3, B ′C ′ = 2 ,则 AB 边上的 中线的实际长度为 。

四、典例剖析
1.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为 4,则此正方形的面 积是( ) A.16 B.64 C.16 或 64 D.都不对

分析:根据直观图的画法,平行于 x 轴的线段长度不变,平行于 y 轴的线段变为原来的 一半,于是长为 4 的边如果平行于 x 轴,则正方形边长为 4,面积为 16,边长为 4 的边如果 平行于 y 轴,则正方形边长为 8,面积是 64。 答案:C 2.利用斜二测画法画直观图时: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形。 以上结论中,正确的是 。

分析:斜二测画法保持平行性和相交性不变,即平行直线的直观图还是平行直线,相交 直线的直观图还是相交直线,故①②正确;但是斜二测画法中平行于 y 轴的线段,在直观图 中长度为原来的一半, 则正方形的直观图不是正方形, 菱形的直观图不是菱形, 所以③④错。 答案:①② 3.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为 2 的正三角形,则原三角形的面 积是( ) A. 2 6 B. 4 6 C. 3 D.都不对 分析:根据斜二测画法的规则,正三角形的边长是原三角形的底边长,原三角形的高是 正三角形高的 2 2 倍,而正三角形的高是 3 ,所以原三角形的高为 2 6 ,于是其面积为

1 × 2 × 2 6 = 2 6. 2
答案:A 4.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45 ,腰和上底长均为 1 的等腰梯 形,则该平面图形的面积等于( ) A.

1 2 + 2 2

B. 1 +

2 2

C. 1 + 2
6

D. 2 + 2

分析:平面图形是上底长为 1,下底长为 1 + 2 ,高为 2 的直角梯形。计算得面积为

2 + 2.
答案:D 5.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点 M (4,4) 的直观图中对应点是 M ′ ,则点

M ′ 的找法是



分析:在 x ′ 轴的正方向上取点 M 1 ,使 O ′M 1 = 4 ,在 y ′ 轴上取点 M 2 ,使 O ′M 2 = 2 , 过 M 1 和 M 2 分别作平行于 y ′ 轴和 x ′ 轴的直线的交点就是 M ′. 答案:在 x ′O ′y ′ 中,过点 ( 4,0) 和 y ′ 轴平行的直线与过 (0,2) 和 x ′ 轴平行的直线的交点 即是。

6.根据图中所示物体的三视图(阴影部分为空洞)描绘出物体的大致形状。

分析: 根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体, 从正面和左面看是 一个正方形中间有一个圆形的孔。从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔。 解:由此可以推测该物体大致形状如图所示。

7.若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原来三角形面 积的( ) A.

2 2 倍 B. 2 倍 C. 倍 D. 2 倍 4 2 分析:直观图也是三角形,并且有一条公共边,但是这条公共边上的高发生变化。直观 2 ,则直观图的面积是原来三角形面积的 4

图中公共边上的高是原三角形中公共边上高的

2 倍。 4
答案:A

7

空间几何体的直观图
No.039 班级 姓名 A
做 ∠x ′O ′y ′ 与 ∠x ′O ′z ′ 的度数分别为( ) A. 90 ,90 B. 45 ,90 C. 135 ,90 D. 45 或 135 ,90

学号 组

成绩

1. 根据斜二测画法的规则画直观图时, Ox 、 、 轴画成对应的 O ′x ′ 、 ′y ′ 、 ′z ′ , 把 Oy Oz O O

2.关于“斜二测”直观图的画法,如下说法不正确的是( ) A.原图形中平行于 x 轴的线段,其对应线段平行于 x ′ 轴,长度不变 B.原图形中平行于 y 轴的线段,其对应线段平行于 y ′ 轴,长度变为原来的 C.画与直角坐标系 xOy 对应的 x ′O ′y ′ 时, ∠x ′O ′y ′ 必须是 45 D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 3.两条相交直线的平行投影是( ) A.两条相交直线 C.一条折线 B.一条直线 D.两条相交直线或一条直线

1 2

4.下列叙述中正确的个数是( ) ①相等的角,在直观图中仍相等; ②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等; ③若两条线平行,在直观图中对应的线段仍平行; ④若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直。 A.0 B.1 C.2 D.3

B
A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.任意三角形




5.水平放置的 ?ABC 有一边在水平线上,它的直观图是正 ?A1 B1C1 ,则 ?ABC (

6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 、腰和上底均为 1 的等 腰梯形,则这个平面图形的面积是( ) A.

1 2 + 2 2

B. 1 +

2 2

C. 1 + 2

D. 2 + 2

7.一个长方体去掉一角的直观图和图中所示。关于它的三视图,下列画法正确的是 ( )
8

8.如图所示的水平放置的三角形的直观图, D ′ 是 ?A′B ′C ′ 中 B ′C ′ 边的 中点,那么 A′B ′ 、 A′D ′ 、 A′C ′ 三条线段对应原图形中线段 AB、AD、AC 中 ( ) A.最长的是 AB,最短的是 AC B.最长的是 AC,最短的是 AB C.最长的是 AB,最短的是 AD D.最长的是 AD,最短的是 AC 9.平面直角坐标系中点 M (4,4) 在直观图中对应点 M ′ ,则 M ′ 的找法是 分 AB 的平行投影 A′B ′ 的长度之比为 。

10. 若线段 AB 平行于投影面, 是 AB 上一点, AO : OB = m : n , O 的平行投影 O ′ O 且 则 。

C



11.如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。

12.画水平放置的正五边形的直观图。

1.3 空间几何体的表面积与体积
一、三维目标
1.体会球的体积和表面积公式的推导过程,了解无限分割取极限的思想方法。 2.记住球的体积公式和表面积公式,会运用公式进行计算。

二、导学提纲自学
1.棱柱的侧面展开图是由 梭台的侧面展开图是由 面展开图是 2.几何体的表面积是指
9

,棱锥的侧面展开图是由 , 圆柱的侧面展开图是 。

, , 圆锥的侧

,圆台的侧面展开图是

,棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是



、 、 3.几何体的体积是指

,圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、 。 ,一个几何体的体积等于 。



4.柱体、锥体、台体的体积有何关系? 三、小试牛刀 1.一个长方体的三个面的面积分别为 2 , 3 , 6 ,则这个长方体的体积为( ) A.6 A.2 B. 6 B. 2 2 C.3 C. 4 D. 2 3 D.8 2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是 32π ,则母线长为( )

3.长、宽、高分别为 a, b, c 的长方体的表面积 S=

。 。

4.圆台的上、下底面半径分别为 2,4,母线长为 13 ,则这个圆台的体积 V=

三、典例剖析
1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为 r ,圆柱侧面积 为 S,求圆锥的侧面积。 解: 设圆锥的母线长为 l , 因为圆柱的侧面积为 S, 圆柱的底面半径为 r , S圆柱侧 = S , 即 根据圆柱的侧面积公式可得:圆柱的母线(高)长为

S S ,由题意得圆锥的高为 ,又 2πr 2πr
S 2 ) ,根据圆锥的侧面积 2πr

圆柱的底面半径为 r ,根据勾股定理,圆锥的母线长 l = r 2 + ( 公式得

S圆锥侧 = πrl = π ? r ? r 2 + (

S 2 ) = 2πr

4π 2 r 4 + S 2 . 2

2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分 的体积的比是( ) A.1:2:3 B.1:7:19 C.3:4:5 D.1:9:27 分析: 因为圆锥的高被分成的三部分相等, 所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比 为 1:2:3,于是自上而下三个圆锥的体积之比为 (

r 2 h) : [ (2r ) 2 ? 2h] : [ (3r ) 2 · 3h] 3 3 3 = 1 : 8 : 27 ,所以圆锥被分成的三部分的体积之比为 1 : (8 ? 1) : (27 ? 8) = 1 : 7 : 19.
答案:B 3.三棱锥 V ? ABC 的中截面是 ?A1 B1C1 ,则三棱锥 V ? A1 B1C1 与三棱锥 A ? A1 BC 的体

π

π

π

积之比是( ) A.1:2 B.1:4 C.1:6 D.1:8

10

分析:中截面将三棱锥的高分成相等的两部分,所以截面与原底面的面积之比为 1:4, 将三棱锥 A ? A1 BC 转化为三棱锥 A1 ? ABC ,这样三棱锥 V ? A1 B1C1 与三棱锥 A1 ? ABC 的 高相等,底面积之比为 1:4,于是其体积之比为 1:4。 答案:B 4.如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的 等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体 积为( )

A.1

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

活动:让学生将三视图还原为实物图,讨论和交流该几何体的结构特 征。 分析:根据三视图,可知该几何体是三棱锥,图中所示为该三棱锥的直观 图,并且侧棱 PA ⊥ AB, PAVAC , AB ⊥ AC. 则该三棱锥的高是 PA,底面三角形 是直角三角形,所以这个几何体的体积为 V = 答案:D 点评:本题订考查几何体的三视图和体积,给出几何体的三视图,求该几何体的体积或 面积时,首先根据三视图确定该几何体的结构特征,再利用公式求得,此类题目成为新课标 高考的热点,应引起重视。 5.若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )

1 1 1 1 S ?ABC PA = × × 1 = . 3 3 2 6

A. 18 3

B. 15 3

C. 24 + 8 3

D. 24 + 16 3

分析:该正三棱柱的直观图如图所示,且底面等边三角形的高为 2 3 ,正三棱柱的高 为 2,则底面等边三角形的边长为 4,所以该正三棱柱的表面积为

1 3 × 4 × 2 + 2 × × 4 × 2 3 = 24 + 8 3. 2
答案:C 6.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径 为 1 的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( )

11

A.

3π 3

B.

2 3π 3

C. 3π

D.

π
3

分析:由三视图知该几何体是圆锥,且轴截面是等边三角形,其边长等于底面直径 2, 则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为 3 ,所以这个几何体的体积为

V =

1 3π × π × 12 × 3 = . 3 3

答案:A 7.已知某几何体的俯视图如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个 底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、 高为 4 的等腰三角形。 (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S。 解:由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为 6、8 的矩形,高为 4 的四棱锥。设底面矩形为 ABCD。如图所示, AB = 8, BC = 6 ,高 VO = 4. (1) V =

1 × (8 × 6) × 4 = 64. 3

(2)设四棱锥侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形,侧面 VAB、VCD 也 是全等的等腰三角形, 在 ?VBC 中,BC 边上的高为 h1 = VO 2 + (

AB 2 8 ) = 42 + ( )2 = 4 2 , 2 2 BC 2 6 ) = 4 2 + ( ) 2 = 5. 2 2

在 ?VAB 中,AB 边上的高为 h2 = VO 2 + (

1 1 所以此几何体的侧面积 S = 2( × 6 × 4 2 + × 8 × 5) = 40 + 24 2 . 2 2
点评: 高考试题中对面积和体积的考查有三种方式, 一是给出三视图, 求其面积或体积; 二是与的组合体有关的面积和体积的计算;三是在解答题中,作为最后一问。 8.如图所示,圆锥的底面半径为 1,高为 3 ,则圆锥的表面积为( ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π

分 析 : 设 圆 锥 的 母 线 长 为 l , 则 l = 3 + 12 , 所 以 圆 锥 的 表 面 积 为

S = π × 1 × (1 + 2) = 3π .
答案:C 9.正三棱锥的底面边长为 3,侧棱长为 2 3 ,则这个正三棱锥的体积是( ) A.

27 4

B.

9 4

C.

27 3 4

D.

9 3 4
1 3 9 3 × × 32 × 3 = . 3 4 4

分析;可得正三棱锥的高 h = (2 3 ) 2 ? ( 3 ) 2 = 3 ,于是 V =

12

答案:D 10.若圆柱的高扩大为原来的 4 倍,底面半径不变,则圆柱的体积扩大为原来的 倍;若圆柱的高不变,底面半径扩大为原来的 4 倍,则圆柱的体积扩大为原来的 倍。 分析:圆柱的体积公式为 V圆柱 = πr 2 h ,底面半径不变,高扩大为原来的 4 倍,其体积 也变为原来的 4 倍;当圆柱的高不变,底面半径扩大为原来的 4 倍时,其体积变为原来的

4 2 = 16 倍。
答案:4 16 现在沿 ?GFH 11. 右图是一个正方体, G、 分别是棱 AB、 H、 F AD、AA1 的中点。 所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几? 分析:因为锯掉的正方体的一个角,所以 HA 与 AG、AF 都垂直,即 HA 垂直 于立方体的上底面,实际上锯掉的这个角,是以三角形 AGF 为底面,H 为顶点的 一个三棱锥。 解:设正方体的棱长淡 a ,则正方体的体积为 a 3 . 三棱锥的底面是 Rt?AGF ,即 ∠FAG 为 90 ,G、F 又分别为 AD、AA1 的中点,所以 1 1 1 1 1 AF = AG = a. 所以 ?AFG 的面积为 × a × a = a 2 . 又因 AH 是三棱锥的高, 又是 AB H 2 2 2 2 8 1 1 1 1 1 2 的中点,所以 AH = a. 所以锯掉的部分的体积为 × a × a 2 = a . 2 3 2 8 48 1 3 1 1 又因 a ÷ a3 = ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的 . 48 48 48 12.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 S,则圆锥的底面面积 是 。

?π 2 ? l = S, 分析:如图,设圆锥底面半径为 r 母线长为 l 由题意得 ? 2 解得 ?πl = 2πr , ? r= S S S . 所以圆锥的底面积为 πr 2 = π × = . 2π 2π 2
答案:

S . 2

13.如图,一个正三棱柱容顺路,底面边长为 a ,高为 2a ,内装水若干,将 容器放倒,把一个侧面作为底面,如图,这时水面恰好为中截面,则图中容器内 水面的高度是 。

分析:图中容器内水面的高度为 h ,水的体积为 V,则 V = S ?ABC h. 又图 23 中 水组成了一个直四棱柱,其底面积为

3 S ?ABC , 高 度 为 2a , 则 4

13

3 S ?ABC ? 2a 3 V = 4 = a. S ?ABC 2
答案:

3 a 2

14.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位: cm) ,可得这个几何体的体积是( )

4000 3 8000 3 cm B. cm 3 3 D. 4000cm 3 C. 2000cm 3 分析:该几何体是四棱锥,并且长为 20cm 的一条侧棱垂直于底 面,所以四棱锥的高为 20cm,底面是边长为 20cm 的正方形(如俯视 图 ) 所 以 底 面 积 是 20 × 20 = 400cm 2 , 所 以 该 几 何 体 的 体 积 是 , 1 8000 3 × 400 × 20 = cm . 3 3
A. 答案:B

2 , 底面三角形的三边长分别为 3a,4a,5a (a > 0). a 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,则 a
15. 问题: 有两个相同的直三棱柱, 高为 的取值范围是 。

探究:两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱,有三种情况: 四棱柱有一种,就是边长为 5a 的边重合在一起,表面积为 24a 2 + 28 ,三棱柱有两种, 边长为 4a 的边重合在一起,表面积为 24a 2 + 32 ,边长为 3a 的边重合在一起,表面积为

24a 2 + 36 ,两个相同的直三棱柱竖直放在一起,有一种情况,表面积为 12a 2 + 48 ,
最小的是一个四棱柱,这说明 24a 2 + 28 < 12a 2 + 48 ? 12a 2 < 20 ? 0 < a < 答案: 0 < a <

15 . 3

15 3

空间几何体的表面积与体积
No.040 班级 姓名 A 学号 组 成绩

1.正方体的全面积是 96,则正方体的体积是( )

14

A. 48 6

B. 64

C.16

D.96

2.若圆台的上、下底面半径分别是 1 和 3,它的侧面积是两底面面积和的 2 倍,则圆 台的母线长是( ) A.2 B.2.5 C.5 D.10

3.若圆锥的轴截面是正三角形,则它的侧面积是底面积的( ) A. 2 倍 B.3 倍 C.2 倍 D.5 倍

4.如图,在四正体 A ? BCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面 都相切的球)的球心 O,且分别截 BC、DC 于点 E、F。如果截面将四面体分为 体积相等的两部分,设四棱锥 A ? BEFD 与三棱锥 A ? EFC 的表面积分为 S1 、

S 2 ,则必有( )
A. S1 < S 2 B. S1 > S 2 C. S1 = S 2 D.不能确定

5、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,三棱锥 D1 ? AB1C 的表面积与正 方体的表面积的比为( ) A. 1 : 2 B. 1 : 3 C. 1 : 2 D. 3 : 2

B
它的全面积是( ) A. 48 3 + 288 C. 48 3 + 144



5.六棱柱的两底面是正六边形,侧面是全等的矩形,它的底面边长为 4,高为 12,则

B. 24 3 + 288 D. 24 3 + 144

6.若长方体的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6. 则长方体的体积为( ) A. 2 3 B. 6 C.6 D.12

7.五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分别为 4cm 和 6cm,侧面是全等的等腰梯 形,侧棱长是 5cm,则它的侧面积是 。 。

8.正三棱锥的底面边长是 a ,高是 2a ,则它的全面积为

9.圆台的两个底面半径是 2cm、4cm,截得这个圆台的圆锥的高为 6cm,则这个圆台 的体积是 。

C



10.由 8 个面围成的几何体,每一个面都是正三角形,且有四个顶点 A、B、C、D 在同 一个平面内,ABCD 是边长为 20cm 的正方形,求此几何体的表面积和体积。

15

11.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长 为 1cm,那么该棱柱的表面积为 cm2。

12.圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面在圆柱底面内,顶点均在上、下底面的圆周上 是正三角形,如果三棱柱的体积为 V,圆柱的底面直径与母线长相等,那么圆柱的体积为多 少?

13:如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,用截面截下一个棱锥 C ? A′DD ′ ,求棱 锥 C ? A′DD ′ 的体积与剩余部分的体积之比。

14:如图,已知三棱锥 A ? BCD 的底面是等边三角形,三条侧棱长都等于 1 且

∠BAC = 30 ,M、N 分别在棱 AC 和 AD 上,求 BM+MN+NB 的最小值。

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