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高考数学复习专题讲座:第六讲 解析几何


高考数学复习专题讲座:第六讲 解析几何
第一节 曲线与方程
曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考查曲线方程 的探求方法,多以综合解答题的第⑴小题的形式出现,就这部分考题来说,属于中档题,难度值一般在 0.45 ~ 0.65 之间. 考试要求 ⑴了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. ⑵掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程. 题型 1 曲线与方程 例 1 设方程 F ( x, y ) ? 0 的解集非空.如果命题“坐标满足方程 F ( x, y ) ? 0 的点都在曲线 C 上”不正确, 给出以下四个命题:①曲线 C 上的点的坐标都满足方程 F ( x, y ) ? 0 ;②坐标满足方程 F ( x, y ) ? 0 的点有些 在 C 上,有些不在 C 上;③坐标满足方程 F ( x, y ) ? 0 的点都不在曲线 C 上;④一定有不在曲线 C 上的点, 并且其坐标满足方程 F ( x, y ) ? 0 .那么正确命题的个数是( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 点拨:直接用定义进行判断. 解: “坐标满足方程 F ( x, y ) ? 0 的点都在曲线 C 上” 不正确,意味着“坐标满足方程 F ( x, y ) ? 0 的点不 都在曲线 C 上” 是正确的,即一定有不在曲线 C 上的点,并且其坐标满足方程 F ( x, y ) ? 0 ,∴④正确; 曲线 C 上的点的坐标可以有不满足方程 F ( x, y ) ? 0 的,∴①错;若 F ( x, y ) ? 0 只有一解,则知②错; “都”的否定 是“不都”,而不是“都不”,∴③错.故选 A. 易错点:定义把握不准确,关键字词认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项. 变式与引申 1 :⑴方程 x2 ? y 2 ? 1( xy ? 0) 的曲线形状是(
y
1

).
y
y

y

?1
1 x

? ?1
x

1

1

?1

O
?1

? ?1 O
?1 ?

? ?1 O ? ?1
C.

? 1

?1
x

?

O
?1

?1
D.

x

A.

B.
图 6 ?1 ?1

⑵已知定点 P( x0 , y0 ) 不在直线 l : f ( x, y ) ? 0 上,则方程 f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) ? 0 表示一条( A ). A.过点 P 且平行于 l 的直线 C.不过点 P 但平行于 l 的直线 题型 2 代入法(相关点法)求曲线方程 B.过点 P 且垂直于 l 的直线 D.不过点 P 但垂直于 l 的直线

??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 例 2 已知点 F (1,0) ,点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴上,且 AP ? 2 AB , AB ? FB ,当点 B 在 y 轴上运动时,求
点 P 的轨迹方程. ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 点拨:由 AB ? FB 确定 A 与 B 的坐标关系,由 AP ? 2 AB 建立动点 P 与 A 、 B 的坐标关系,用代入法求轨 迹方程.

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解:设 P ( x, y ) , A(a,0) , B(0, b) ,又 F (1,0) ,则 AP ? ( x ? a, y) , AB ? (?a, b) , FB ? (?1, b) .由 AB ? FB ,

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 得 AB ? FB ? (?a, b) ? (?1, b) ? a ? b2 ? 0 ①.由 AP ? 2 AB ,得 ( x ? a, y ) ? 2(?a, b) ,∴ x ? a ? ?2 a , y ? 2b ,即
??? ??? ? ? y y a ? ?x , b ? ,代入①得, ? x ? ( )2 ? 0 ,∴ y 2 ? 4 x ,当 x ? 0 时,三点 A 、 、 重合,不满足条件 AB ? FB , B P
2 2

∴ x ? 0 ,故点 P 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x( x ? 0) .

1

易错点:忽视轨迹方程中的 x ? 0 . 变式与引申 2 :⑴已知 O 为坐标原点,点 M 、 P 分别在 x 轴、 y 轴上运动,且 | MP |? 7 ,动点 N 满足

???? 2 ??? ? ? MN ? NP ,求动点 N 的轨迹方程.
5

y

M

P ?

⑵如图,从双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 上一点 M 引直线 x ? y ? 3 的垂线,垂足为 N ,

N
O
x

求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程. 图 6 ?1 ? 2 题型 3 待定系数法、直接法求曲线方程 例 3 (2009 年海南理卷第 20 题)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个 顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 . ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵若 P 为椭圆 C 上的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,
| OP | | OM |

? ? ,求点 M 的轨迹方程,并

说明轨迹是什么曲线. 点拨:问题⑴用待定系数法求椭圆 C 的方程;问题⑵可将点 P 、 M 的坐标代入满足的关系式中,得到点 M 的轨迹方程(含参数 ? ),最后对 ? 进行分类讨论,说明其轨迹是什么曲线,并指出变量 x 的取值范围. 解:⑴设椭圆 C 的标准方程为
x a
2 2

?
2

?a ? c ? 1 ? 1( a ? b ? 0) ,半焦距为 c ,则 ? ,解得 a ? 4 , c ? 3 , b ?a ? c ? 7
y
2 2

∴ b2 ? 7 .故椭圆 C 的标准方程为

x

16

?

y

2

7

?1.
| OP |
2 2

⑵设 M ( x, y) ,其中 x ?[? 4, 4].由已知

| OM |

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x ? 112
2

16( x ? y )
2 2

? ? 2 .整理得

,其中 x ?[?4,4] . (16? 2 ? 9) 2 ? 16 2y 2 ? 112 x ? ①? ? 的线段. ②? ?
3 4
3 4

时,化简得 9 y 2 ? 112 ,所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 3

(?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴

时,方程变形为

x

2

112 16 ? 2 ?9

?

y

2

112 16 ? 2

? 1 ,其中 x ?[?4,4] .当 0 ? ? ? 时,点 M 的轨迹为中心在原点、
4 3 4

3

实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的部分; 当 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、 长轴在 x 轴上的 椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部分;当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆. 易错点: 第⑵小题中忽视方程的变量 x 的限制; 讨论方程所表示的曲线时,标准不明确,分类混乱, 会导 致错误发生.③讨论方程所表示的曲线时,一般是以二次项系数为零或相等的参数值来进行分类,做到不重 复不遗漏. 变式与引申 3 :(2009 年浙江理卷第 21 题)已知椭圆 C1 : 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 . ⑴求椭圆 C1 的方程; ⑵设点 P 在抛物线 C2 : y ? x ? h(h ? R) 上, C2 在点 P 处的切线与 C1 交于
2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1,0) ,过 C1
y P? M A

O

x

N

点 M 、 N .当线段 PA 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

图 6 ?1? 3 2

题型 4 定义法求曲线方程与实际应用问题 例 4 (2010 年湖南理卷第 19 题)为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8 km 的 A 、B 两 点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过 A 、B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系(如图所示).在直线 x ? 2 的右侧,考察范围为到点 B 的距离不超过
x ? 2 的左侧,考察范围为到 A 、 B 两点的距离之和不超过 4 5 km 区域.
融 已
6 5 5 化
?

在直线 km 区域;
区 y 域
?

8 3 P ( ? 3 , 6) 2

⑴求考察区域边界曲线的方程; ⑵如图所示,设线段 P P2 , P2 P3 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线), 1


?

P (8, 6) 3

O

? A( ?4, 0) P ( ?5 3, ?1) 1

B(4, 0)

?

x

x?2 川

当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2 km , 以后每年移动的距离为前一年的 2 倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.

图 6 ?1 ? 4

点拨:通过审题,构建圆与椭圆的数学模型,运用圆的知识及椭圆定义求出考察区域边界曲线 C1 、 C2 的 方程,但需注意变量 x 的取值范围.对于第⑵问,先写出直线 P P2 、P2 P3 的方程,然后依题意求出与 P P2 平行、 1 1 且与曲线 C2 相切的直线 l 的方程,再综合运用平行直线间的距离公式、等比数列求和公式、解不等式等知 识求解. 解:⑴设考察区域边界曲线上点 P 的坐标为 ( x, y ) .当 x ? 2 时,由题意知 ( x ? 4)2 ? y 2 ?
36 5

.当 x ? 2 时,

由 | PA | ? | PB |? 4 5 ? 8 知 , 点 P 在 以 A 、 B 为 焦 点 , 长 轴 长 为 2a ? 4 5 的 椭 圆 上 , 此 时 短 半 轴 长

b ? (2 5)2 ? 42 ? 2 ,因而其方程为
和 C2 :
x
2

x

2

20

?

y

2

4

? 1 .故考察区域边界曲线的方程为 C1 :( x ? 4)2 ? y 2 ?
y
8 3 P ( ? 3 , 6) 2

36 5

( x ? 2)

20

?

y

2

4

? 1( x ? 2) .

?

⑵设过点 P1 、 P2 的直线为 l1 ,过点 P2 、 P3 的直线为 l2 ,则直线 l1 、 l2 的方程
?

l
?

?
P (8, 6) 3

O

分别为 y ? 3x ? 14 、 y ? 6 .设直线 l 平行于直线 l1 ,其方程为 y ? 3x ? m ,代入 椭圆方程
x
2

A P ( ?5 3, ?1) 1

?
B

x

x?2

20

?

y

2

4

? 1 ,消去 y 整理得, 16x2 ? 10 3mx ? 5(m2 ? 4) ? 0 .

图 6 ?1? 5

由 ? ? 100 ? 3m2 ? 4 ?16 ? 5(m2 ? 4) ? 0 ,解得 m ? 8 或 m ? ?8 .从图中可以看出,当 m ? 8 时,直线 l 与 C2 的 公共点到直线 l1 的距离最近,此时直线 l 的方程为 y ? 3x ? 8 ., l 与 l1 之间的距离为 d ?
| 14 ? 8 | 1? 3

? 3 .又直线

l2 到 C1 和 C2 的最短距离 d ? ? 6 ?

6 5 5

? 3 ,∴考察区域边界到冰川边界线的最短距离为 3 .设冰川边界线移
0.2(2 ? 1)
n

动到考察区域所需的时间为 n 年,则由题设及等比数列求和公式,得 移动到考察区域所需的最短时间为 4 年.

2 ?1

? 3 ,∴ n ? 4 .故冰川边界线

易错点:⑴易出现审题不清,不能将实际问题有效转化为数学问题;⑵求方程 C1 时忽视 x ? 2 ,求方程 C2 时忽视 x ? 2 ;⑶待定系数 m ? 8 与 m ? ?8 不能正确取舍. 变式与引申 4 : 某航天卫星发射前,科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天
3

y

器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为 迹是以 y 轴为对称轴、 M (0,
64 7

x

2

100

?

y

2

25

? 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨

) 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D(8,0) .观测点 A(4,0) 、 B(9,0) 同

时跟踪航天器. ⑴求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; ⑵试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A 、 B 测得离航天器的距离 分别为多少时,应向航天器发出变轨指令? 本节主要考查: ⑴知识点有曲线与方程的关系、求曲线(轨迹)的方程; ⑵依据动点轨迹的几何条件,运用求曲线(轨迹)方程的方法求轨迹方程的问题,以应用题为背景的求曲 线方程的问题; ⑶求曲线(轨迹)方程时:①恰当建立坐标系,使所求方程更简单; ②适时利用圆锥曲线的定义,及时运用平面几何知识,将大大简化求解运算过程. ⑷解析几何基本思想(用代数方法研究几何问题)、方程思想、等价转化思想、分类讨论思想、应用题 建模思想以及分析推理能力、运算能力. 点评: ⑴求曲线(轨迹)方程的常用方法有: ①直接法:直接利用动点满足的几何条件(一些几何量的等量关系)建立 x , y 之间的关系 f ( x, y )? 0 (如例 3 第 2 小题).其一般步骤是:建系设点、列式、坐标代换、化简、证明(证明或判断所求 方程即为符合条件的动点轨迹方程); ②待定系数法:已知所求曲线的类型时,可先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系 数,求出曲线的方程(如例 3 第 1 小题); ③定义法:先根据条件能得出动点的轨迹符合某种曲线的定义,则可用曲线的定义直接写出动点的轨 迹方程(如例 4 ); ④代入法(相关点法):有些问题中,动点 P ( x, y ) 是随着另一动点 Q( x0 , y0 ) (称之为相关点)而运动的, 并且点 Q( x0 , y0 ) 在某已知曲线上,这时可先用 x 、 y 的代数式来表示 x 0 、 y0 ,再将 x 0 、 y0 的表达式代入已 知曲线,即得要求的动点轨迹方程(如例 2 及变式). ⑵要注意求曲线(轨迹)方程与求轨迹的区别:求曲线(轨迹)的方程只需根据条件求出曲线(轨迹)方程 即可;求轨迹则是需先求出轨迹方程,再根据方程形式说明或讨论(含参数时)曲线图形的(形状、位置、大 小)类型.解题时应根据题意作出正确、规范的解答. ⑶在求出曲线(轨迹)的方程时,要注意动点的取值范围,及时补漏和去除“杂点”,以保证所求曲线(轨 迹)方程的完整性. 习题 6-1

1 .方程 x2 ? xy ? x 的曲线是(
A.一个点

). C.一个点和一条直线
x a
2 2

B.一条直线

D.两条直线

2 .(2010 年天津卷第 13 题)已知双曲线

?

y b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦

点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同.则双曲线的方程为 __________ .
3 .已知动圆过定点 (1,0) ,且与直线 x ? ?1 相切.

⑴求动圆的圆心轨迹 C 的方程; ⑵是否存在直线 l ,使 l 过点 (0,1) ,并与轨迹 C 交于 P 、 Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ,若存在,求出直线 l
4

??? ???? ?

的方程;若不存在,说明理由.

4 .(2009 年四川理卷第 20 题)已知椭圆
右准线方程为 x ? 2 . ⑴求椭圆的标准方程;

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 ,离心率 e ?

2 2

,

????? ???? 2 26 ? ? ⑵过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M 、 N 两点,且 | F2 M ? F2 N |? ,求直线 l 的方程.
3

5 .(2010 年广东卷第 20 题改编)已知双曲线

x

2

2

? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 、 A2 ,点 P( x1 , y1 ) ,

Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点.
⑴求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; ⑵若过点 H (0, h)(h ? 1) 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个公共点,且 l1 ? l2 ,求 h 的值.

第二节

圆锥曲线

圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考 查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线等结合时, 多以综合解答题的形式考查,属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在 0.3 ~ 0.7 之间. 考试要求 ⑴了解圆锥曲线的实际背景;⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质; ⑶掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质;⑷掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程 和简单几何性质;⑸了解圆锥曲线的简单应用;⑹掌握数形结合、等价转化的思想方法. 题型一 圆锥曲线的定义及应用 例 1 ⑴已知点 F 为椭圆
x
2

9

?

y

2

5

? 1 的左焦点, M 是此椭圆上的动点, A(1,1) 是一定点,则 | MA | ? | MF | 的

最大值和最小值分别为 ________ . ⑵已知双曲线的虚轴长为 6 ,离心率为
7 2

, F1 、 F2 分别是它的左、右焦点,若过 F1 的直线与双曲线的

左支交于 A 、 B 两点,且 | AB | 是 | AF2 | 与 | BF2 | 的等差中项,则 | AB |? ________ . 点拨:题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值;题⑵是圆锥曲线与数列性质的 综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长 a 的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求 | AB | 的值. 解:⑴设椭圆右焦点为 F1 ,则 | MF | ? | MF1 |? 6 ,∴ | MA | ? | MF |?| MA | ? | MF1 | ?6 .又

? | AF1 |?| MA | ? | MF1 |?| AF1 | (当 M 、 A 、 F1 共线时等号成立).又 | AF1 |? 2 ,∴ | MA | ? | MF |? 6 ? 2 ,

| MA | ? | MF |? 6 ? 2 .故 | MA | ? | MF | 的最大值为 6 ? 2 ,最小值为 6 ? 2 .
? 2b ? 6 ? 7 ?c ⑵依题意有 ? ? ,解得 a ? 2 3 .∵ A 、 B 在双曲线的左支上,∴ | AF2 | ? | AF1 |? 2a , a 2 ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?
| BF2 | ? | BF1 |? 2a ,∴ | AF2 | ? | BF2 | ?(| AF1 | ? | BF1 |) ? 4a .又 | AF2 | ? | BF2 |? 2 | AB | , | AF1 | ? | BF1 |?| AB | .

5

∴ 2 | AB | ? | AB |? 4a ,即 | AB |? 4a .∴ | AB |? 4 ? 2 3 ? 8 3 . 易错点:在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻;⑵忽视双曲 线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误;⑶由 M 、 A 、 F1 三点共线求出 | MA | ? | MF | 的最值 也是值得注意的问题. 变式与引申 1 :⑴已知 P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上任一动点,记点 P 到 y 轴的距离为 d ,对于给定的点

A(2, 4) , | PA | ? d 的最小值为(
A. 2 3

). C. 17 ? 1
x
2

B. 2 3 ? 1

D. 17

⑵(2008 年浙江理卷第 12 题)已知 F1 、 F2 为椭圆

25

?

y

2

9

? 1 的两个焦点,过

F1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,若 | F2 A | ? | F2 B |? 12 ,则 | AB |? ________ .
题型二 圆锥曲线的标准方程
x a
2 2

例 2 (2010 年江西理卷第 21 题)设椭圆 C1 :

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) ,抛物线 C2 : x2 ? by ? b2 .
y A
?B

⑴若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; ⑵设 A(0, b) , Q(3 3,
5b 4 3 4
M

Q
x

O
N

) ,又 M , N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,
图 6 ? 2 ?1

若 ?AMN 的垂心为 B(0, b) ,且 ?QMN 的重心在抛物线 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程. 点拨:问题⑴:将 C1 的焦点坐标代入 C2 的方程,得出 b, c 的关系式,进而求出 C1 的离心率;问题⑵:利 用 M 、 N 在抛物线上的对称性及 ?AMN 的垂心、 ?QMN 的重心求 b ,进而得 N 坐标,再利用点 N 在椭圆 上求 a ,问题获解. 解: ⑴由已知抛物线 C2 经过椭圆 C1 的两个焦点,∴ c 2 ? b ? 0 ? b 2 ,即 c 2 ? b 2 ,∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2c 2 , 即椭圆 C1 的离心率 e ?
c a

?

2 2

.

⑵由题设可知 M 、 N 关于 y 轴对称,设 M (? x1 , y1 ) , N ( x1 , y1 )( x1 ? 0) ,由 ?AMN 的垂心为 B ,有

???? ???? ? 3 7 3 BM ? AN ? ? x12 ? ( y1 ? b)( y1 ? b) ? 0 ,即 ? x12 ? y12 ? y1 ? b2 ? 0 .又点 N ( x1 , y1 ) 在抛物线上,
4 4 4

∴ x12 ? by1 ? b2 ,解得 y1 ? ? 或 y1 ? b (舍去),∴ x1 ?
4

b

5b 2
b
2

,∴ M (?

5b 2

,? ) , N(
4

b

5b 2 1

, ? ) ,故得 ?QMN
4

b

重心坐标 ( 3, ) .又 ?QMN 的重心在抛物线上,∴ 3 ?
4

b

4

? b 2 ,得 b ? 2 ,∴ N ( 5, ? ) .又点 N 在椭圆上,
2

代入椭圆 C1 的方程,得 a 2 ?

16 3

,故椭圆方程为 16 ?
3

x

2

y

2

4

? 1 ,抛物线方程为 x 2 ? 2 y ? 4 .

易错点:不会利用对称性表示 M 、 N 的坐标;记错重心坐标公式;用向量关系表示垂直条件值得关注. 变式与引申 2 :⑴求经过两点 A( 3, ?2) 和 B(?2 3,1) 的椭圆的标准方程.

6

⑵已知椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A 、 B 两点, C 是 AB 的中点,若

AB ? 2 2 , OC 的斜率为
题型三

2 2

,求椭圆的方程.

圆锥曲线的几何性质
x a
2 2

例 3 如图 6 ? 2 ,已知 F 为椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左焦点,过点 F 作斜率为 ( c 为半焦距)的直线
c
y A

b

交椭圆于点 A 、 B 两点. ⑴若直线 AB 的倾斜角为 ? ,求证: cos ? ? e ( e 为椭圆的离心率); ??? ? ??? ? 1 2 ⑵若 BF ? ? FA ,且 ? ? ( , ) ,求椭圆的离心率 e 的取值范围.
2 3

F

O

x

B

点拨:这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件, 图6?2?2 运用三角公式、斜率与倾斜角的关系以及椭圆离心率知识可使问题⑴获证;对于问题⑵则运用平几性质、 椭 问 焦半径公式及题给条件建立含离心率 e 的不等式,进而求出 e 的取值范围. ⑴解法 1 :∵ tan ? ? ,∴
c b

sin 2 ? cos ?
2

?

1 ? cos2 ? cos ?
2

?

b c

2 2

,即 cos 2 ? ?

c
2

2 2

b ?c

?

c
a

2 2

? e 2 ,又 tan ? ? ? 0 ,
c

b

∴ cos ? ? 0 ,故 cos ? ? e . 解法 2 :依题意直线 AB 的分别为 y ? ( x ? c) ? x ? b ,∴点 A 的坐标为 (0, b) ,故 cos? ?
c c
??? ? ??? ? ??? ? | BF | | xB ⑵解法 1 :∵ BF ? ? FA ,∴ ? ? ??? ? ? ?x |
F

b

b

c a

?e.

| FA |

| xF |

.将直线 y ? x ? b 代入椭圆
c

b

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,整理得

(

a

2

c

? 1) x ?
2

2a c

2

x ? 0 ,∴ xA ? 0 , xB ? ?
2 2 2

2a c a ?c
2 2

2

??? ? ??? ? ??? ? | BF | | x .∵ BF ? ? FA ,∴ ? ? ??? ? B ?

?x |
F

| FA |

| xF |
5

2 | ? 2a c2 ? c | a2 ? c ? c

?

2a
2

2 2

a ?c

?1 ?

a ?c a ?c
2

?

1? e 1? e

2 2

? ( , ) ,解不等式 ?
2 3

1 2

1

1? e 1? e

2 2

2

? ,得 ? e2 ? ,∴
3

2

1

1

5

3

5

?e?

3

,

3

故椭圆的离心率 e 的取值范围为 ( 解法 2 :运用焦半径 r ? ∴? ?
| BF |
??? ? | FA | ??? ?

5

5

,

3

3

).
b
2

ep 1 ? e cos ?
1 2 2 3

(其中 p ?
1

c

)可得, | FA |?
1? e 1? e
2 2

ep 1 ? e cos ? 1

?

ep 1? e
2

| BF |? ?e?
3

ep 1 ? e cos ?

?

ep 1? e
2

,

?

ep 1? e2 ep 1?e2

?

1? e 1? e

2 2

? ( , ) ,解不等式 ?
2
5 3

? ,得 ? e2 ? ,∴
3

2

1

5

,

5

3

5

3

故椭圆的离心率 e 的取值范围为 (

5

,

3
2

).

易错点:问题⑴中忽视斜率的正负,会导致 cos ? 的符号出错;问题⑵中不适时联想平几性质或运用焦 半径另一形式 r ?
ep 1 ? e cos ?

(其中 p ?

b
2 2

),解题思路将受阻.

c
x a

变式与引申 3 :⑴已知双曲线 C :

?

y b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0) , l1 、 l2 为其渐近线, F 为右焦点,过点 F 作直线

l / / l2 且 l 交双曲线于点 R , l1 ? l ? M ,又过点 F 作 x 轴的垂线与 C 交于第一象限内的 P 点.
? ??? ? ??? ??? ? (Ⅰ)用 FO , FP 表示 FR ;

7

??? (Ⅱ)求证: ??? 为定值;
| FP | | FR |

l2

l

y
l1

??? ? ???? ? 1 2 (Ⅲ)若 FR ? ? FM ,且 ? ? ( , ) ,试求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.
2 3

M

P R F
x

O

⑵给定抛物线 C : y 2 ? 4 x ,过点 A(?1,0) 斜率为 k 的直线与 C 交于 M , N 两点. (Ⅰ)设线段 MN 的中点在直线 x ? 3 上,求 k 的值; (Ⅱ)设 AM ? ? AN , k ? [ 题型四

图6?2?3

??? ?

??? ?

2 2

,

6 3

] ,求 ? 的取值范围.

以圆锥曲线为载体的探索性问题
x a
2 2

例 4 (2009 年全国 2 理卷第 21 题)已知椭圆 C :

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为
2 2

3 3

,过右焦点 F 的直

线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点.当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 ⑴求 a 、 b 的值;

.

uur uur uur u u ⑵ C 上是否存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立?若存在,求出所有
的点 P 的坐标与 l 的方程.若不存在,说明理由. 点拨:问题⑴可先写出 l 的方程,再利用点 O 到 l 的距离和椭圆的离心率求出 a 、 b 的值;问题⑵是存在 性探索问题,可先探索命题成立的充要条件,将向量坐标化,再综合运用题给条件,逐步推出满足题意的 l 是 否存在.但需考虑 l 转动时斜率不存在情形. 解:⑴设 F (c,0) ,当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x ? y ? c ? 0 ,点 O 到 l 的距离为 ∴ c ? 1 .由 e ?
c a
|0?0?c| 2

?

c 2

?

2 2

,

?

3

,得 a ? 3 , b ? a 2 ? c 2 ? 2 .

3

uur uur uur u u ⑵ C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立.由⑴知 C 的方程为
2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . uur uur uur u u ①当 l 不垂直 x 轴时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . C 上的点 P 使 OP ? OA ? OB 成立的充要条件是
2 2 P 的坐标为 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,且 2( x1 ? x2 )2 ? 3( y1 ? y2 )2 ? 6 ,即 2x12 ? 3 y12 ? 2x2 ? 3 y2 ? 4 x1 x2 2 2 ?6 y1 y2 ? 6 .又 A 、 B 在 C 上,∴ 2 x12 ? 3 y12 ? 6 , 2 x2 ? 3 y2 ? 6 ,∴ 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0



将 y ? k ( x ? 1) 代入 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ,整理得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 , 于是 x1 ? x2 ? 此时 x1 ? x2 ?
3 2
6k
2 2

2 ? 3k

, x1 x2 ?

3k ? 6 2 ? 3k
2

2

, y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ?
k 3 2 k

?4 k

2 2

2 ? 3k

.代入①解得, k 2 ? 2 ,
3 2
2

,于是 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? ? ,即 P( , ? ) .因此,当 k ? ? 2 时, P( ,
2 2 3 2
2

2

),

的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 ;当 k ? 2 时, P( , ?

2

) , l 的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 .

uur uur uur u u uur uur u ②当 l 垂直于 x 轴时,由 OA ? OB ? (2,0) 知, C 上不存在点 P ,使 OP ? OA ? OB 成立.

8

综上, C 上存在点 P( , ?
2

3

2

2

uur uur uur u u ) 使 OP ? OA ? OB 成立,此时 l 的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 .

易错点: 本题涉及字母较多,思路不清晰,运算能力不强易导致错解发生; 直线 l 垂直于 x 轴情形易遗漏, 需值得注意. 变式与引申 4 :如图,过点 N (0,1) 和 M (m, ?1)(m ? 0) 的动直线 l 与抛物线 C : x 2 ? 2 py 交于 P 、 Q 两
y

点(点 P 在 M 、 N 之间), O 为坐标原点. ⑴若 p ? 2 , m ? 2 ,求 ?OPQ 的面积 S ; ⑵对于任意的动直线 l ,是否存在常数 p ,总有 ?MOP ? ?PON ? 若存在,求出 p 的值;若不存在,请说明理由.

Q
N
P

O
M

x

本节主要考查:⑴知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质(焦点、 图 6 ? 2 ? 4 离心率、焦点三角形,焦半径等)以及这些知识的综合应用;⑵以平面向量、三角形、导数为背景的 圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、定值问题等相关的综合问题;⑶圆锥曲线定义法、待定 系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化” 等解析几何的基本 方法;⑷数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能 力. 点评:⑴圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,同时又是高考的热点和压轴点之一, 主要考查圆锥曲线的定义(如例 1 )与性质(如例 3 )、 求圆锥曲线方程(如例 2 )、 直线与圆锥曲线的位置关系、 以圆锥曲线为载体的探索性问题(如例 4 )等. ⑵圆锥曲线的定义,揭示了圆锥曲线存在的条件性质、几何特征与焦点、离心率相关的问题,恰当利用 圆锥曲线定义和数形结合思想解题,可避免繁琐的推理与运算. ⑶求圆锥曲线的标准方程:①定型——确定是椭圆、抛物线、或双曲线;②定位——判断焦点的位置; ③定量——建立基本量 a 、 b 、 c 的关系式,并求其值;④定式——据 a 、 b 、 c 的值写出圆锥曲线方程. ⑷圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考的 重点热点.此类问题,它源于课本,又有拓宽引申、高于课本,是高考试题的题源之一,应引起重视,注意掌握 它 好这一类问题的求解方法与策略.如对于求离心率的大小或范围问题,只需列出关于基本量 a 、 b 、 c 的一 个方程(求大小)或找到关于基本量 a 、 b 、 c 间的不等关系(求范围)即可. ⑸求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题,主要有两种求解方法:一是根据题给条件建立含参数 的等式后,再分离参数求其值域;另一是正确列出含参数的不等式,进而求之.其列不等式的思路有:①运 用判别式 ? ? 0 或 ? ? 0 ;②点在圆锥曲线内部(一侧)或外部(另一侧);③利用圆锥曲线的几何意义(如椭 圆中 ?a ? x ? a 等);④根据三角形两边之和大于第三边(注意三点共线的情况). ⑹解有关圆锥曲线与向量结合的问题时,通性通法是向量坐标化,将一几何问题变成纯代数问题. ⑺探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,它要求学生具有观察分析问题的能 力、具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神.解题思路往往是先假设满足题意,即 从承认结论、变结论为条件出发,然后通过归纳,逐步探索待求结论. 习题 6-2

1 .已知椭圆中心在原点,左、右焦点 F1 、 F2 在 x 轴上, A 、 B 是椭圆的长、短轴端点, P 是椭圆上一点,且
PF1 ? x 轴, PF2 // AB ,则此椭圆的离心率是(
A.
1 2
x
2

). C.
1 3

B.

5 5

D.

2 2

2 .已知点 P 是双曲线

4

?

y

2

21

? 1 的右支上一点, M 、 N 分别是圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 9 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的

点,则 | PM | ? | PN | 的最大值为 __________ .
9

3 .(2010 年四川理卷第 21 题)已知定点 A(?1,0) , F (2,0) ,定直线 l : ? x

1 2

,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的

距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E ,过点 F 的直线交 E 于 B 、 C 两点,直线 AB 、 AC 分 别交 l 于点 M 、 N . ⑴求 E 的方程; ⑵试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ,并说明理由.

4 .如图,已知直线 l : y ? kx ? 2 与抛物线 C : x2 ? ?2 py( p ? 0) 交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,
y

??? ??? ? ? 且 OA ? OB ? (?4, ?12) .
⑴求直线 l 和抛物线 C 的方程; ⑵若抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时,求 ?ABP 面积的最大值.
5 .若椭圆 E1 :
x
2 2

O
P B
x

A

a1

?

y

2 2

b1

? 1 和椭圆 E2 :
x
2

x

2 2

a2

?

y

2 2

b2

? 1 满足

a2 a1

?

b2 b1

图6?2?5

? m ? 0 称这两个椭圆相似, m 称为相似比.

⑴求经过点 (2, 6 ) ,且与椭圆

4

?

y

2

2

? 1 相似的椭圆方程.

⑵ 设过原点的 一条射线 l 分 别与⑴中的 两个椭圆交 于 A 、 B 两点 .( 其中点 A 在线 段 OB 上 ), 求 | OA | ? | OB | 的最大值与最小值. ⑶ 对 于 真 命 题 : 过 原 点 的 一 条 射 线 分 别 与 相 似 比 为 2 的 两 个 椭 圆 C1 : “
x 2
2 2

?

y

2 2

( 2)

? 1 和 C2 :

x 4

2 2

?

y

2 2

(2 2 )

? 1 交于 A 、 B 两点, P 为线段 AB 上的一点,若 | OA | 、 | OP | 、 | OB | 成等比数列,则点 P 的轨迹

方程为

x

2 2

?

y 2

2 2

? 1 .”请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题,并证明.

(2 2 )

第三节 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的关系是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,一般出现一小(选择题 或填空题)一大(解答题)两道,小题通常属于中低档题,难度值为 0.5~0.7 左右;大题通常是高考的压 轴题,难度值为 0.3~0.5 左右. 考试要求(1) 掌握直线与圆锥曲线的位置关系,能从代数与几何两个角度深刻理解.(2) 理解弦长公式, 并能熟练应用.(3)熟练应用韦达定理及中点坐标公式解答中点弦问题和弦的中点轨迹问题.(4) 掌握直线与 圆锥曲线位置关系的“存在性”问题,采用“假设—反证法”或“假设—验证法”.(5).掌握数形结合,分 类讨论,函数与方程,等价转化的数学思想. 题型一 直线与圆锥曲线的交点问题
2

例 1 直线 l :y=kx+1,抛物线 C: y ? 4 x ,当 k 为何值时 l 与 C 有: (1)一个公共点; (2)两个公共点; (3)没有公共点. 点拨: 由直线 l 与抛物线 C 的方程联立得方程组, 通过方程的解的个数来判断直线与抛物线的公共点的 个数. 解:将 l 和 C 的方程联立 ?

? y ? kx ? 1 ? y ? 4x
2

,消去 y 得 k x ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0
2 2

① 当 k=0 时,方程①只

10

有一个解 x ?

1 .此时 y ? 1 . 4

∴直线 l 与 C 只有一个公共点(

1 ,1 ) ,此时直线 l 平行于抛物线的对称轴. 4

当 k≠0 时,方程①是一个一元二次方程, ? = (2k ? 4) 2 ? 4k 2 ? ?16k ? 16 ? ?16(k ? 1) . (1) 当 ? ? 0 时,即 k﹤1 且 k≠0 时, l 与 C 有两个公共点,此时称直线 l 与 C 相交; (2) 当 ? ? 0 时,即 k=1 时, l 与 C 有一个公共点,此时称直线 l 与 C 相切; (3) 当 ? ? 0 时,即 k>1 时, l 与 C 没有公共点,此时称直线 l 与 C 相离. 综上所述,当 k=1 或 k=0 时,直线与 l 与 C 有一个公共点;当 k﹤1 且 k≠0 时,直线 l 与 C 有两个公共点; 当 k>1 时,直线 l 与 C 没有公共点. 易错点: (1)忽视对 k 的讨论( k ? 0与k ? 0 )是本题容易出显的解题错误; (2)只有当所得关于 x 的方程确实为一元二次方程时,才能用判别式判定解的个数,若所得关于 x 的方程的二次项系数 带有字母时,应该进行讨论. 变式与引申 1: 已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 600 的直线与 2 a b
)

双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率是( A (1,2 ] 题型二 B (1,2) C [2,+∞ ) D

(2,??)

直线与圆锥曲线的弦长问题

x2 0 ? y 2 ? 1交于 A、 两点, ?ABO 的面积为 S.(1) k ? 0 , ? b ? 1 例 2 直线 y ? kx ? b 与椭圆 B 记 求在 4
的条件下,面积 S 的最大值; (2)当 | AB |? 2, S ? 1时,求直线 AB 的方程. 点拨:(1)联立方程组解出 A、B 两点的坐标,求出 ?ABO 的面积,再利用均值不等式求解.(2)根据已知布列 两个方程组,求出 k,b. 解:(1)设点 A 的坐标为 ( x1,b) ,点 B 的坐标为 ( x2,b) ,由

x2 ? b 2 ? 1 ,解得 x1, ? ?2 1 ? b 2 , 2 4

所以 S ?

1 2 b ? x1 ? x2 ? 2b ? 1 ? b 2 ≤ b2 ? 1 ? b2 ? 1 .当且仅当 b ? 时, S 取到最大值1 . 2 2
得?k ?
2

? y ? kx ? b ? (2) :由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?4

? ?

1? 2 2 2 2 ? x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 , ? ? 4k ? b ? 1 , 4?
4k 2 ? b 2 ? 1 ?2. 1 2 ?k 4



| AB |? 1 ? k 2 ? | x1 ? x2 | ? 1 ? k 2 ?



设 点 O 到 直 线 AB 的 距 离 为 d , 则

d?

1 1 2S |b| 4 2 2 2 2 ? 1, 又因为 d ? , 所以 b ? k ? 1 , 代入②式并整理, k ? k ? ? 0 , 得 解得 k ? , 2 4 2 | AB | 1? k

11

b2 ?

3 ,代入①式检验, ? ? 0 ,故直线 AB 的方程是 2

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 或y? 或y?? ,或 y ? ? x? x? x? x? 2 2 2 2 2 2 2 2

易错点: (1)忘记均值不等式的应用导致寸步难行.(2)忘记弦长公式与点到直线的距离公式导致出错. 变式与引申 2:设椭圆 ax2 ? by2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A,B 两点,点 C 是 AB 的中点,若

AB ? 2 2 , OC 的斜率为

2 , 求椭圆的方程. 2

题型三 直线与圆锥曲线的中点弦的问题 例 3 已知双曲线的方程为 x ?
2

y2 ? 1. (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在直线的方程; (2)以点 B(1, 3

1)为中点的弦是否存在?若存在,求出弦所在直线的方程;若不存在,请说明理由. 点拨:(1)利用设而不求法和点差法构建方程,结合直线的斜率公式与中点坐标公式求出斜率.也可设 点斜式方程,与双曲线方程联立,利用韦达定理与中点坐标公式求出斜率 k. (2)仿照(1)求出方程,但要 验证直线与双曲线是否有交点.

y y 2 解法 1:(1)设 P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) 是弦的两个端点,则有 x1 ? 1 ? 1, x2 ? 2 ? 1. 1 2 3 3
2

2

2

两式相减得

( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ?

( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0. 3



∵A(2,1)为弦 P P2 的中点, 1

∴ x1 ? x2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2 , 代入①得 4( x1 ? x 2 ) ?

2( y1 ? y 2 ) . 3

∴ k p1 p2 ? 6 . 故直线 P P2 的方程为 1

y ? 1 ? 6( x ? 2),即6 x ? y ? 11 ? 0 .
?3x ? y ? 2 ? 0 ? 2 由 ? 2 y2 得 6 x ? 12x ? 7 ? 0. ?1 ? x ? 3 ?

(2)假设这样的直线存在,同(1)可求得 3x ? y ? 2 ? 0.

∵ ? = 12 ? 4 ? 6 ? 7 ? 0, ∴所求直线与双曲线无交点. ∴以 B(1,1)为中点的弦不存在.
2

? y ? 1 ? k ( x ? 2) ? 解法 2 (1)设所求的直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,易知斜率 k 显然存在.联立方程组得 ? 2 y 2 ? 1. ? x ? 3 ?
整理得 (3 ? k ) x ? (4k ? 2k ) x ? 4(k ? k ? 1) ? 0
2 2 2 2



设 P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) 是弦的两个端点, 1 2

12

2k ? 4k 2 则 x1 ? x2 ? 3? k2

2k ? 4k 2 又? A 是 PP 的中点, ? x1 ? x2 ? 4 ,? ? 4 ,解得 k ? 6 .故直线 P P2 1 1 2 3? k2

的方程为 y ? 1 ? 6( x ? 2),即6 x ? y ? 11 ? 0 .(2) 假设这样的直线存在,同(1)可求得直线 PP 的方程为 1 2

?3x ? y ? 2 ? 0 ? 2 得 6 x ? 12x ? 7 ? 0. 3x ? y ? 2 ? 0. 由 ? 2 y 2 ?1 ? x ? 3 ?
无交点. ∴以 B(1,1)为中点的弦不存在.

∵ ? = 122 ? 4 ? 6 ? 7 ? 0, ∴所求直线与双曲线

易错点:存在性问题的结果通常是难以预料的,解答时先假设满足条件的直线存在,然后依题意求得结 果,但要注意这不是充要条件,因此最后要进行检验,否则就会出错. 变式与引申 3:已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M,N 两点, MN 中点的横坐标为 ?

2 ,则此双曲线的方程是 ( 3
B



A

x2 y2 ? ?1 3 4

x2 y2 ? ?1 4 3

C

x2 y2 ? ?1 5 2

D

x2 y2 ? ?1 2 5

题型四:存在性的问题. 例 4.若抛物线 y ? ax2 ? 1 上总存在关于直线 x ? y ? 0 对称的两点,求 a 的取值范围. 点拨:设出对称点所在直线的方程,根据该直线与曲线有两个交点,利用 ? ? 0 求解.同时要利用中点坐标 公式找出所设变量 m 与 a 的关系. 解:设抛物线上关于 x ? y ? 0 对称的两点为 A( x1 , y1 ) ,B( ( x2 , y 2 ) ,AB 的方程可设为: 由 ?

y ? x?m.

?y ? x ? m ? y ? ax ? 1
2

? ax2 ? x ? m ? 1 ? 0
x1 ? x2 1 ? , 2 2a
代入①中得 a ?

∴ ? ? 1 ? 4a(m ? 1) ? 0



又 x1 ? x 2 ?

1 , a

则 AB 中点横坐标为 x0 ? 则有 m ? ?

又由 ?

? y ? ?x m 得 AB 中点横坐标为 x0 ? ? , 2 ?y ? x ? m

1 , a

3 . 4

易错点:不晓得设对称点所在直线的方程,导致解答本题寸步难行. 找不出所设变量 m 与 a 的关系也是 导致错误的根源. 变式与引申 4: 在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C (0,p) 作直线与抛物线 x ? 2 py ( p ? 0 )相
2

交于 A,B 两点.(1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值;(2)是否存在垂直 于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说 明理由. 本节主要考查:(1)知识点有直线与圆锥曲线相交,相切,相离三种位置关系, 弦长公式,焦半径公式,中 点坐标公式,弦的中点轨迹,中点弦的性质等以及这些知识的综合应用.(2)以平面向量,直线与圆锥曲线的位 置关系为背景,应用韦达定理,中点坐标公式,以及点差法,相关点法,设而不求的整体思想等解析几何的基本

13

方法解决最值问题,定值问题,参数范围问题等相关的问题.(3).数形结合思想,等价转化思想的应用及逻辑推 理能力,运算能力等基本的数学能力. 点评:(1)直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重中之重,也是高中数学的重点内容,同时也是高考 的热点之一,主要考查直线与圆锥曲线的位置关系(如例题 1),直线被圆锥曲线截得的弦长(如例题 2),及中点 的轨迹方程(如例题 3),以及探究是否存在性问题(如例题 4)等.(2)直线与圆锥曲线的位置关系,从代数角度 可转化为一个方程的实根个数来考虑;也可从几何角度借助图形的几何性质来研究,这种思维通常较简 便 .(3)求弦 长时 ,若 过圆锥 曲线 的焦 点可利 用焦半 径公 式 (仅 限于 理科 );若 未过 焦点 可利用 弦长公 式

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ?

1 “对称 y1 ? y2 ,并结合韦达定理求解. (4.)有关直线与圆锥曲线位置关系的 k2

性”问题,一般采用“假设—反证法”或“假设—验证法” ,特别要重视直线与圆锥曲线的交点是否存在, 即要验证判别式 ? ? 0 是否成立.(5)弦的中点轨迹问题.通常有两种解题思路:利用韦达定理及中点坐标公式 求解;利用弦的端点在曲线上,坐标满足圆锥曲线方程,然后把两个等式对应作差,构造出中点坐标和斜率的 关系,最后求出轨迹.(6)若只有一个交点,并不能说明直线与圆锥曲线相切. 对于抛物线来说,平行于对 称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一 个交点,但不相切.有一个公共点是直线与抛物线,双曲线相切的必要条件,但不是充分条件. 习题 6-3 1. (2009 山东卷理)设双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的 2 a b
B. 5 C.

离心率为(

). A.

5 4

5 2

D. 5

x2 y 2 2.(2010 辽宁理数 20) (本小题满分 12 分)设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,过点 F 的直 a b
线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60o, AF ? 2 FB . 则椭圆 C 的离心率 |AB|=

??? ?

??? ?

, 如果

15 ,椭圆 C 的方程 4

.
2

3.( 2009 广 东 卷 理 ) 已知曲线 C : y ? x 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) ,且 记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 (含边界) D . 为 设点 P( s, t ) x A ? xB . 是 l 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

14

x2 4. 设 椭 圆 ? y 2 ? 1 的 两 个 焦 点 是 F1 (?c,0) 与 F2 (c,0) (c ? 0) , 且 椭 圆 上 存 在 点 M , 使 m ?1

???? ???? ? ? MF1 ? MF2 ? 0 . (1)求实数 m 的取值范围;(2)若直线 l : y ? x ? 2 与椭圆存在一个公共点 E ,使得
| EF1 | ? | EF2 | 取得最小值,求此最小值及此时椭圆的方程;(3)在条件(2)下的椭圆方程,是否存在斜
率为 k (k ? 0) 的直线 l ,与椭圆交于不同的两点 A, B ,满足 AQ ? QB ,且使得过点 Q, N (0, ?1) 两点的直 线 NQ 满足 NQ? AB ? 0 ?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说 明理由. 5. 如图, 已知抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 和直线 y ? b(b ? 0) , P(t , b) 点
2

????

??? ?

????????

y

x2 ? 2 py
?

在直线 y ? b 上移动,过点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A, B , 线段 AB 的中点为 M . (1)求点 M 的轨迹; (2)求 | AB | 的最小值.

M

A

B

O
P

x
y?b

第四节

坐标系与参数方程

坐标系与参数方程在高考中是选考内容,与不等式选讲二个选修模块进行二选一解答,知识相对比较 独立,与其他章节联系不大,容易拿分.根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系,坐标系选取的恰当 与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立.有些问题用极坐标系 解答比较简单,而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答,计算简便.高考出现的题 目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化,并用极坐 标方程、参数方程研究有关的距离问题,交点问题和位置关系的判定.难度值控制在 0.6 左右. 考试要求 1.理解坐标系的作用. 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区 别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.了解参数方程. 4.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程,并会简单的应用. 题型一 参数方程,极坐标方程和直角坐标方程的互化 例1 (1)判断点 (?

3 5π ? , ) 是否在曲线 ? ? cos 上. 2 3 2

(2)点 P 的直角坐标为 (1,? 3 ) ,则点 P 的极坐标为______.(限定 0<θ≤2 ? ) (3)点 P 的极坐标为 (3,?
? ? ? (4)曲线的参数方程是 ? ? ? ? ? ?

π ) ,则点 P 的直角坐标为______. 4

1 x ? 1? , t (t 为参数,t≠0),它的普通方程是________. y ? 1? t 2
15

点拨: 运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题和参数方程与普通方程的互化解决 参数问题. 解:(1)因为 cos

?
2

? cos

5π 3 3 5π ? ,所以点 (? ?? , ) 是在曲线 ? ? cos 上. 2 2 3 2 6
3π y ? ? ? 2π , ( x ? 0) ,得??=2, tan ? ? ? 3 ,又点 P 在第四象限, ? x 2

(2)根据??2=x2+y2, tan? ? 所以 ? ?

5π 5π ,所以点 P 的极坐标为 (2, ). 3 3
3 2 3 2 , ,y?? 2 2

(3)根据 x=ρ?cos??,y=??sin??,得 x ? 所以点 P 的直角坐标为 (

3 2 3 2 ,? ). 2 2 1 2 x( x ? 2) 1 1 2 ) ? , (4)由 x ? 1? 得 t ? ,代入 y=1-t ,得 y ? 1 ? ( 1? x t 1? x ( x ? 1) 2 x ( x ? 2) 1 ? 注意到 x ? 1 ? ? 1 ,所以已知参数的普通方程为 y ? ? ( x ? 1) 2 t

1 ? 2 ?? x ? 1? ? 2 另一解法:方程可化为 ? t ? y ? 1 ? ?t 2 ?

消去 t 得 (x - 1)2 ?y ? 1? ? ?1

易错点: 由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定 θ 的大小,如(2),否则,极坐标 不唯一;参数的范围与极角的范围容易出错. 变式与引申 1: (2010 年广东省揭阳市高考一模试题理科) 设直线 l1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t, (t ? y ? a ? 3t.

为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系的另一直线 l2 的方程为 ? sin ? ? 3? cos ? ? 4 ? 0 , 若直线 l1 与 l2 间的距离为 10 ,则实数 a 的值为 .

题型二 直线与圆锥曲线的极坐标方程 例 2 (1)圆??=2(cos??+sin??)的半径为______. π (2)直线 ? ? ( ? ? R ) 与圆??=2sin??交与 A,B 两点,则|AB|=______. 3 点拨: 只要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识.如: ①过极点,倾斜角为??的直线:??=??(??∈R)或写成??=??及??=??+?. ②过 A(a,?)垂直于极轴的直线:??cos??=acos??. ③以极点 O 为圆心,a 为半径的圆(a>0):??=a. ④若 O(0,0),A(2a,0),以 OA 为直径的圆:??=2acos??. ⑤若 O(0,0),A(2a,

π ),以 OA 为直径的圆:??=2asin??. 2

对于 (2),可以利用结论①⑤,作出直线与圆,通过解三角形的方法求|AB|,当然也可以用极坐标 方程直接解??,根据??的几何意义求|AB|. 解:(1)由??=2(cos??+sin??),得??2=2??(cos??+sin??), 所以,x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2, 所以圆??=2(cos??+sin??)的半径为 2 .
16

(2)将直线 ? ? π ( ? ? R ) 与圆??=2sin??化为直角坐标方程,得
3

由? ?

π π y 得 tan ? ,即 y ? 3x , 3 3 x

由??=2sin??,变形为??2=2??sin??,得 x2+y2=2y,即 x2+(y-1)2=1, 1 1 ? , 因为圆的半径为 1,圆心到直线的距离为 d ? 1? 3 2
1 所以 | AB |? 2 1 ? ( ) 2 ? 3. 2

? y ? 3x 另一解法 直线化为 y ? 3x 由 ? 2 ?y ? 2y

? ? ?x ? 0 ?x ? 得? 或? ?y ? 0 ? y? ? ?

3 2 ? A(0,0) B( 3 , 3 2 2

3 ) 2

? AB = 3
易错点: (2)中把直线中的角与圆中的角混淆. 变式与引申 2:.设过原点 O 的直线与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 的一个交点为 P ,点 M 为线段 OP 的中点,当点

P 在圆上移动一周时,求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.
题型三 直线与圆锥曲线的参数方程

3 2 2 例 3 过 P(5,-3),倾斜角为??,且 cos? ? ? 的直线交圆 x +y =25 于 P1、P2 两点. 5 (1)求|PP1|·|PP2|的值; (2)求弦 P1P2 的中点 M 的坐标. 点拨: 直线的参数方程中参数 t 的几何意义,有如下常用结论: ①直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长 l=|t1-t2|; ②定点 M0 是弦 M1M2 的中点 ? t1+t2=0;
③设弦 M1M2 的中点为 M,则点 M 对应的参数值 tM ?
t1 ? t2 ,(由此可求得|M2M|及中点坐标). 2

本题直接用直线的参数方程代入圆的方程中,然后用韦达定理及中点公式解即可.

3 4 解:(1)由已知 cos? ? ? 得 sin? ? , 5 5
3 ? ?x ? 5 ? 5 t, ? 所以直线的参数方程为 ? ???????①(t 为参数) ? y ? ?3 ? 4 t , ? 5 ?

代入圆的方程化简,得 t 2 ?

54 t ? 9 ? 0. ???????② 5

②的两个解 t1、t2 就是 P1、P2 对应的参数,由参数的几何意义及韦达定理知 |PP1|·|PP2|=|t1|·|t2|=9. (2)设 M(x,y)为 P1P2 的中点,则点 M 对应的参数 t ?

t1 ? t 2 27 ? ,代入参数方程, 2 5

17

得x?

44 33 44 33 , y ? , 所以 M ( , ). 25 25 25 25 易错点:(1) 参数角的范围容易搞错;(2) 不容易想到用参数求中点坐标.
变式与引申 3: (2010 年全国新理)已知直线 C1 ?

?x ? 1 ? t cos ? (t 为参数) , ? y ? t sin ?
C

圆 y A

C2 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) , ? y ? sin ?
(1)当 ? =

O B D

x

(2)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的参数方程,并 指出它是什么曲线. 题型四 极坐标在圆锥曲线中的应用 2 例 4 抛物线 y =4p(x+p)(p>0)中过原点且互相垂直的二直线分别交抛物线于 A、B 和 C、D,试求 |AB|+|CD|的最小值. 点拨:如果设 AB 所在直线方程 y=kx,则 CD 方程 y=- k x,代入抛物线方程,可求出弦|AB|、|CD|的最 小值.这样的解法运算量较大.但如果注意到原点即为抛物线的焦点坐标,那么用圆锥曲线的统一极坐标方 程求解十分快捷. 解 抛物线的焦点即为 O(0,0),设其极坐标方程为 ρ= 1?cos? ,又设各点的极坐标分别为 A(ρ1,α) 、
2p
1

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

B(ρ2,α+π) 、C(ρ3,α+π) 、D(ρ4,α+π) , 则|AB|+|CD|=ρ1+ρ2+ρ3+ρ4=

2p 2p 1?cos ? + 1? cos ? +

2p 2p 4p 4p 16 p + 1?sin ? = sin 2 ? + cos2 ? = sin 2 ?? , 1?sin ?
故当 α= 4 时,|AB|+|CD|有取小值勤 16p. 另一解法 也可以设直线 AB 的斜率为 k,分别求出 l AB 、 l CD ,再求出|AB|、|CD|关于 k 的函数,再求出函数 的最大值. 易错点: (1)抛物线的焦点坐标弄错; (2)想不到用极坐标解题. 变式与引申 4:过椭圆
1

?

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB 和 CD. a2 b2
(2)求|AB|+|CD|的最小值.

(1)求证 |AB|

?

1 |CD| 为定值;

本专题涉及极坐标系的基础知识,参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程.这部分内容既是 解析几何的延续,也是高等数学的基础. 本节主要考查: (1).本节中的重要内容是极坐标和参数方程, 特别是直线、圆、椭圆的参数方程、极坐标 方程是考查的重点.(2) 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标方程. 是曲线在同一坐标系下 的另一种表示形式样; 对于某些曲线用参数方程比用普通方程表示更方便、更直观,是研究曲线的有力工 具.(3) 解决极坐标或参数方程的问题.主要方法是转化为直角坐标系方程或普方程.

18

点评(1)极坐标与直角坐标互化的条件是:极点与原点重合,仍轴与 x 轴正半轴重合,长度单位一致. 在 求得极坐标方程要注意极角的取值范围.(2) 对于三种圆锥曲线的统一的极坐标方程及其应用, 要弄清对 不同的圆锥曲线的定点与定直线的位置,以及 p,pe,e 的几何意义. 运用三种圆锥曲线的统一要的极坐标方 程解题时,要注意双曲线的极坐标方程中存在着 ? <0 的情况.(3) 求圆锥曲线的轨迹方程,同直角坐标系 一样,求曲线的极坐标方程也有直接法、代入法、参数法等.(4) 在参数方程与直角坐标互化过程中要注意 互化的前后曲线的范围不发生变化,解题时参数有多种选法,适当选择参数有利于解题.(5) 应用参数方程 解题可运用代入法、代数变换法、三用消去法消参等,但要注意方程之间的等价性,求动点的轨迹方程其 结果要化成普通方程. 习题 6--4 1. (1) 极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为 A.一条射线和一个圆 C.一条直线和一个圆 (2) (2010 年福建理) 设曲线 C 的参数方程为 ? B.两条直线 D.一个圆 ( )

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) 直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , , ? y ? ?1 ? 3sin ?
( ) D、4

则曲线 C 上到直线 l 距离为 A、1

7 10 的点的个数为 10
C、3

B、2

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? (t 为参数 ) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________. 2.(1) 直线 ? 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
(2) (2010 年天津理) 已知圆 C 的圆心是直线 ? 相切,则圆 C 的方程为 3.从极点 O 引一条直线和圆 ? ? 2a? cos? ? a ? r ? 0 相交于一点 Q ,点 P 分线段 OQ
2 2 2

? x ? 1, 与 且圆 C 与直线 x+y+3=0 (t为参数) x 轴的交点, ? y ? 1? t

成比 m : n ,求点 Q 在圆上移动时,点 P 的轨迹方程,并指出它表示什么曲线. 4.已知点 M(2,1)和双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 ,求以 M 为中点的双曲线右支的弦 AB 所在直线 l 的方程. 2

5. (2010 年辽宁理)已知 P 为半圆 C: ?

x ? cos ? y ? sin ?

( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为

(1,0) 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 ,O

的长度均为

? 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程.

19

第五节

解析几何的综合应用

高考试题中,解析几何试题的分值一般占 20%左右,选择、填空、解答三种题型均有.选择、填空题 主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用;解答题多以压轴题的 形式出现. 难度值跨度比较大,在 0.3~0.8 之间. 以圆锥曲线为载体的解答题的题型设计主要有三类: (1)圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围 的确定; (2)涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题; (3)求平面曲线(整体或部分) 的方程或轨迹. 考试要求 (1)掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的

标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题; 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法. (2) 了解双曲线的标准方程,会求双曲线的标准方程;了解双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的标准方 程,会求抛物线的标准方程;掌握抛物线的简单性质,会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的 实际问题. (4)了解极坐标系,了解曲线的极坐标方程的求法;了解简单图形的极坐标方程.会进行曲线 的极坐标方程与直角坐标方程的互化. 题型一:圆锥曲线的定义及应用

x2 y2 例 1 如图,F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,A 和 B a b
是以 O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是 等边三角形,则双曲线的离心率为( (A) 3 (B) 5 (C) ) M (D) 1? 3

5 2

点拨:利用双曲线的定义及直角三角形面积的两种表示形式,建立方程组再求解. 解 连 AF1, 则△AF1F2 为直角三角形, 且斜边 F1F2 之长为 2c.令 AF ? r , AF2 ? r2 . 由双曲线的定义及 1 1

? r2 ? r1 ? 2a ? r ?c ? ?? 1 直角三角形性质知: ? 1 . ?r2 ? 2a ? c ? 2 r2 ? 2c ? r1r2 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 ∵ r1 ? r2 ? 4c ,? ? 2a ? c ? ? c ? 4c ? 2a ? 2ac ? c ? 0 ? e ? 2e ? 2 ? 0 . 2

∵e﹥1,∴取 e ? 3 ? 1 .选 D. 本题若先求出点 A 的坐标 A ? ?

? c 3 ? ? 2 , 2 c ? ,再代入双曲线方程也可求出. ? ? ?

易错点: (1)正确应用相应曲线的定义至关重要,否则解题思路受阻.(2)由直角三角形面积的两种 表示形式得出关系式

1 r2 ? 2c ? r1r2 是值得注意的问题. 2
x2 y2 ? 2 =1(b∈N ? )的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2| 4 b

变式与引申 1 双曲线

20

成等比数列,则 b2=_________. (2)给定 A(-2,2),已知 B 是椭圆

5 x2 y2 ? ? 1 上的动点,F 是左焦点,当 BA ? BF 取得最小值时, 3 25 16

则 B 点坐标是___________.
题型二:圆锥曲线方程的应用 例 2 设抛物线过定点 A ? ?1,0? ,且以直线 x ? 1 为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直 线x ??

1 平分,设弦 MN 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围. 2

点拨:求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它参数之间的关系,二是构造一个 y 有关参量的不等式.
B

解: (1)设抛物线的顶点为 G ? x, y ? ,则其焦点为 F ? 2 x ? 1, y ? .由抛物 线的定义可知: AF ? 点A到直线x ? 1 的距离=2 . 所以, 4 x 2 ? y 2 ? 2 .
2 所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: x 2 ? y ? 1



P M

o
B'

x

4

? x ? 1? .

? 4 xM 2 ? yM 2 ? 4 ? ? 1 ? (2)设弦 MN 的中点为 P ? ? , y0 ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知: ? . 2 2 ? 2 ? ? 4 xN ? y N ? 4 ?
两式相减得: 4 ? xM ? xN ?? xM ? xN ? ? ? yM ? yN ?? yM ? yN ? ? 0 又由于 xM ? xN ? 2 ? ? ? ? ? ?1,

? 1? ? 2?

yM ? yN ? 2 y0 ,

y0 yM ? yN 1 . = ? ,代入上式得: k ? ? 2 xM ? xN k
1 1 3 k ? m .所以, m ? y0 ? k ? y0 . 2 2 4

又点 P ? ? , y0 ? 在弦 MN 的垂直平分线上,所以, y0 ? ?

? 1 ? 2 ? 1 ? 2

? ? ? ?

由点 P ? ? , y0 ? 在线段 BB’上(B’、B 为直线 x ? ?

1 与椭圆的交点,如图) ,所以, yB ' ? y0 ? yB . 2

也即: ? 3 ? y0 ? 3 .所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4

本题还可以利用一元二次方程根与系数的关系先求出 K 的取值范围,再求 m 的取值范围 易错点:(1)求出抛物线顶点的轨迹方程而忽视限制条件是易错点之一 : (2)涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求) ,必须以直线与圆锥曲线相交为前提, 否则不宜用此法. 变式与引申 2:已知 a =(x,0), b =(1,y) (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程;

(a ? 3b)?(a ? 3b)

21

(2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|,试求 m 的取值范围. 题型三:圆锥曲线中的最值问题 例 3 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为

?
4

的直线 l 与线段 OA 相交(不
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经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程和△AMN 的最大面积 点拨:设出 l 的方程 y=x+m,与抛物线组成联立方程组,再利用一元二次方程的根与 系数的关系及点到直线的距离公式求出面积 .再利用均值不等式. 解法一 由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,其中-5<m<0
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y N

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?y ? x ? m 由方程组 ? 2 ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0 ? y ? 4x

o

B M

A

x

①∵直线 l 与

抛物线有两个不同交点 M、N,∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,∴|MN|=4 2(1 ? m)
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点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m
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2
2

∴ S ? =2(5+m) 1 ? m ,从而 S 2 ? ? 4?1 ? m??5 ? m? ? 2?2 ? 2m??5 ? m??5 ? m? ? 2?
2

? 2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m ? ? ? 128 3 ? ?

∴ S ? ? 8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号 8 2
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故直线 l 的方程为 y=x-1, △AMN 的最大面积为

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本题还可以用消去 x 得关于 y 的一元二次方程求解,用求导的方法求面积的最大值. 易错点: (1)设出 l 的方程为 y=x+m 时,忽视参数 m 的取值范围是易错点之一. (2)在应用均值不等式时,忽视均值不等式的条件“一正、二定、三相等”的相等条件是易错点之二.
2 变式与引申 3: 已知 O 为坐标原点, a ,0 )( a ? 0 )为 x 轴上一动点, P 作直线交抛物线 y ? 2 px( p ? 0) P( 过

于 A、B 两点,设 S△AOB= t ? tan ?AOB ,试问: a 为何值时,t 取得最小值,并求出最小值. 题型四:圆锥曲线中的探索性问题 (新替换题)例 4 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线相交于 A 、

B 两点,且 | AB |?

8 6 11

.

⑴求抛物线的方程; ⑵在 x 轴上是否存在一点 C ,使 ?ABC 为正三角形?若存在,求出 C 点的坐标;若不存在,请说明理由. 点拨:第⑴问依据 | AB |?
8 6 11

,运用弦长公式得到含参数 p 的关系式,进而求抛物线的方程;第⑵问从假

设点 C 在 x 轴上出发,利用正三角形性质求出 C 点的坐标,再进行判断. 解:⑴设所求抛物线的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,由 ?

?x ? y ?1 ? 0 ? y ? 2 px
2

,消去 y ,得 x2 ? 2(1 ? p) x ? 1 ? 0 .
8 6 11

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2(1 ? p) , x1 x2 ? 1 .∵ | AB |? 即 (1 ? 1)[4(1 ? p) 2 ? 4] ?
8 6 11

8 6 11

,∴ (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?
2 11

,

,整理得 121 p2 ? 242 p ? 48 ? 0 ,解得 p ?

或 p??

24 11

(舍去).

22

故所求抛物线的方程为 y 2 ?

4 11

x.
2 11

⑵设 AB 的中点为 D ,由⑴知 x1 ? x2 ? 2(1 ?

)?

26 11

,∴ xD ?

13 11

, yD ? 1 ? xD ? ?

2 11

,故 D( , ? ) .
11 11

13

2

假设在 x 轴上存在一点 C ( x0 ,0) ,使 ?ABC 为正三角形,则 CD ? AB ,∴ kCD ? 1 ,即

2 0 ? 11 x0 ? 13 11

? 1 ,解得 x0 ?

15 11

.

∴ C( ,0) , | CD |? (
11

15

15 11

?

13 11

) ? (0 ?
2

2 11

)

2

?

2 2 11

.又∵ | CD |?

3 2

| AB |?

12 2 11

,矛盾,故在 x 轴上不存在点 C ,

使 ?ABC 为正三角形. 易错点:①第⑴问求出 p 值后,不舍去 p ? ? 足题设. 变式与引申 4: (05 辽宁卷)已知椭圆
24 11

;②第⑵问中求出 C 点坐标后,便得出在 x 轴上存在点 C 满

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左、右焦点分别 a2 b2

是 F1(-c,0) 2(c,0) 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 、F ,Q F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明

FP1 ? a ?

c x; a

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程;

(Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切 值;若不存在,请说明理由. 本节主要考查: (1)考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法,常以 选择题与填空题的形式出现.高(2) .直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题:常以压轴题的形 式出现,这类问题视角新颖,常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景,以考查学生的应变能 力和解决问题的灵活程度.(3) .在考查基础知识的基础上,注意对数学思想与方法的考查,注重对数学 能力的考查,强调探究性、综合性、应用性,注重试题的层次性,坚持多角度、多层次的考查,合理调控 综合程度.(4) .对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本节的几个热点问 题,但从最近几年的高考试题本看,难度有所降低,有逐步趋向稳定的趋势. (5)圆锥曲线是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、 合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常 将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定 系数法. 点评: (1)在解答有关圆锥曲线问题时,首先要考虑圆锥曲线焦点的位置,对于抛物线还应同时注意开口 方向,这是减少或避免错误的一个关键,同时勿忘用定义解题.(2)在考查直线和圆锥曲线的位置关系或 两圆锥曲线的位置关系时,可以利用方程组消元后得到二次方程,用判别式进行判.但对直线与抛物线的 对称轴平行时,直线与双曲线的渐近线平行时,不能使用判别式,为避免繁琐运算并准确判断特殊情况, 此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.并通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问 题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设 而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件, 寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.(3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法,若能据条 件发现符合圆锥曲线定义时,则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问

23

题,也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. (4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两 焦点构成的三角形称为焦点三角形) 有关的命题时, 一般需使用正余弦定理、 和分比定理及圆锥曲线定义. (5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角 等方面的应用.(6)直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之重,在高考中多以高档题、压轴题 出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和 判别式的应用,解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线 定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析 问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次” ,有利于选拨的功能. 习 题 6—5 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 A.2 B.
x +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4
2

)

4 5 5

C.

4 10 5

D.

8 10 5
2

x 5 5 x2 2.已知两点 M(1, )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0,②x2+y2=3,③ +y2=1,④ - 4 4 2 2 y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________. 3.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB| ≤2p. (1)求 a 的取值范围. y A (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值.
4. (05 湖南卷)已知椭圆 C:

x2 y2 + 2 =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离 a2 b

N o F B x

心率为 e. 直线 l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的 一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB .

(Ⅰ)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)确定λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形. 5.(2007· 江苏省南通市四星级高中)飞船返回仓顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心 在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为 A,B,C) 在 A 的正东方向,相距 6 km,C 在 B 的北偏 ,B 东 30°,相距 4 km,P 为航天员着陆点,某一时刻 A 接到 P 的求救信号,由于 B、C 两地比 A 距 P 远,因 此 4 s 后,B、C 两个救援中心才同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为 1 km/s. (1)求 A、C 两个救援中心的距离; (2)求在 A 处发现 P 的方向角; (3)若信号从 P 点的正上方 Q 点处发出,则 A、B 收到信号的时间差变大还 是变小,并证明你的结论.

第六讲测试卷(理科)
一.选择题(本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.已知 F1 , F2 是定点, | F1 F2 |? 8 ,动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 8 ,则点 M 的轨迹是( ).
24

A.椭圆 2.若双曲线
x
2

B.直线

C.圆

D.线段 ).

5

?

9y p

2

2

? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线上,则 p 的值为(

A. 3 3.若双曲线 C 以椭圆 A.
x
2

B. 4
x
2

C. 6

D. 6 2 ).

3

?

y

2

4

? 1 的焦点为顶点,以椭圆长轴的端点为焦点,则双曲线 C 的方程是(
x
2

3

? y2 ? 1

B. y 2 ?

3

?1

C.

x

2

3

?

y

2

4

?1

D.

y

2

3

?

x

2

4

?1

??? ??? ? ? 4.设 O 为坐标原点, F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A 为抛物线上一点,若 OA ? AF ? ?4 ,则点 A 的坐标为
( ). A. (2, ?2 2 ) 5.过点 ( 4, 0)的直线与双曲线 ( ). A. | k |? 1 6.以椭圆
x
2

B. (1, ?2)
x
2

C. (1, 2)

D. (2,2 2 )

4

?

y

2

12

? 1 的右支交于 A 、 B 两点,则直线 AB 的斜率 k 的取值范围是

B. | k |? 3

C. | k |? 3
x
2

D. | k |? 1 ).

169

?

y

2

144

? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线

9

?

y

2

16

? 1 的渐近线相切的圆的方程为(

A. x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 C. x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 7.已知点 P 是双曲线
x a
2 2

B. x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 D. x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0
y b
2 2

?

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上一点, F1 、 F2 分别为双曲线的左、右焦点, I 为
).

?PF1 F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? ? S?IF1F2 成立,则 ? 的值为(
A.
a ?b
2 2

B.
x a
2 2

a a ?b
2 2

C.

b a

D.

a b

2a

8.已知点 P 是椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 上的动点, F1 (?c,0) 、 2 (c,0) 为椭圆的左、 F 右焦点, O 为坐标原点,
). D. (c, a) B. (0, a) C. (b, a )

若 M 是 ?F1 PF2 的角平分线上的一点,且 F1M ? MP ,则 OM 的取值范围是( A. (0, c)

9.直线 l 经过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,且与抛物线交于 P 、 Q 两点,由 P 、 Q 分别向准线引垂线

PR 、 QS ,垂足分别为 R 、 S .如果 | PF |? a,| QF |? b , M 为 RS 的中点,则 | MF | 为(
A. a ? b 10.已知椭圆
x a
2 2

).

B. (a ? b)
2

1

C. ab
x
2 2

D. ab

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 与双曲线

m

?

y n

2 2

? 1(m ? 0, n ? 0) 有相同的焦点 (?c,0) 和 (c,0) ,若 c 是
).

a 与 m 的等比中项, n2 是 2m 2 与 c 2 的等差中项,则椭圆的离心率是(

25

3 2 1 B. C. 3 2 4 二.填空题(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上)
A. 11.若椭圆

D.

1 2

x2 y2 1 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为 ________ . m?4 9 2

12.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,且抛物线与 2 x ? y ? 4 ? 0 交于 A 、 B 两点,则 | FA | ? | FB |? _____ . 13.已知 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上异于长轴端点的点, F1、F2 是椭圆的焦点, I 是 ?PF1 F2 的内心, PI 的延 25 16

长线交 F1F2 于点 B,则 | PI |:| IB | ? ________ . 14.已知双曲线
x
2

16

?

y

2

9

? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过右焦点 F2 的直线 l 交双曲线的右支于 A 、 B 两

点,若 | AB |? 5 ,则 ?ABF1 的周长为 ________ . 15.已知抛物线 y 2 ? 2 px ,过顶点的两弦 OA 和 OB 互相垂直,以 OA , OB 为直径的两圆的另一交点 Q 的轨 迹方程是 ________ . 三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)已知 F1 、 F2 是椭圆
x
2 2

2b

?

y b

2 2

? 1(b ? 0) 的左、右焦点, M 为 x 轴上方的椭圆上一

点, MF2 垂直于 x 轴,过 F2 且与 OM 垂直的直线交椭圆于 P 、 Q 两点,若 | PQ |? 6 2 ,求椭圆的标准方程.

17.(本小题满分 12 分)已知直线 l1 : y ? kx ? 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的左支交于 A 、 B 两点. ⑴求斜率 k 的取值范围; ⑵若直线 l2 经过点 P(?2,0) 及线段 AB 的中点 Q ,且 l2 在 y 轴上截距为 ?16 ,求直线 l1 的方程.

18.(本小题满分 12 分) 2010 年 10 月 1 日 18 时 59 分 57 秒“嫦娥二号”探月卫星由长征三号丙运载火箭送 入近地点高度约 200 公里、远地点高度约 38 万公里的直接奔月椭圆(地球球心 O 为一个焦点)轨道Ⅰ飞 行.当卫星到达月球附近的特定位置时,实施近月制动及轨道调整,卫星变轨进入远月面 100 公里、近月面 15 公里(月球球心 F 为一个焦点)的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,之后卫星再次择机变轨进入以 F 为圆心、距月面 100 公里的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,并开展相关技术试验和科学探测.已知地球半径约为 6370 公里,月球半径 约为 1730 公里. ⑴比较椭圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ的离心率的大小; ⑵以 F 为右焦点,求椭圆轨道Ⅱ的标准方程. 19.(本小题满分 12 分)已知 ?ABC 中,顶点 B(?2,0) , C (2,0) ,且三边 | AB | , | BC | , | AC | 成等差数列. ⑴求顶点 A 的轨迹 L 的方程; ⑵曲线 L 上是否存在两点 P 、 Q ,使点 P 、 Q 关于直线 y ? ? x ? 1对称?若存在,求出直线 PQ 的方程; 若不存在,说明理由.

26

20.(本小题满分 13 分)设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 )( y1 ? 0, y2 ? 0) 两点, M 是抛物线的准线上的一点, O 是坐标原点,记直线 MA 、 MF 、 MB 的斜率
分别为 k MA 、 k MF 、 k MB (如图测 6 ? 1 ). ⑴若 y1 y2 ? ?4 ,求抛物线的方程; ⑵当 k MF ? 2 时,求证: kMA ? kMB 为定值.
M y A

O
F
B

x

图测 6 ? 1

21.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C1 : 椭圆的顶点上. ⑴求椭圆 C1 的方程;

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率 e ?

3 2

,抛物线 C2 :x 2 ? 4 y 的焦点在

⑵设 F1 、 F2 为椭圆的左、右焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两点,若 ?ABF2 的内切圆面 积为 ? ,求 | y1 ? y2 | 的值; ⑶过点 M (?1,0) 的直线 l 与抛物线 C2 交于 M 、N 两点,又过 M 、N 作抛物线 C2 的切线 l1 、l2 ,当 l1 ? l2 时,求直线 l 的方程.

27

第六讲解析几何(理)参考答案
第一节
变式与引申 1 ⑴【答案】B ⑵【答案】A 解:由 xy ? 0 ,结合选项知选 B. 解:由题意 f ( x0 , y0 ) ? 0 ,又 f ( x0 , y0 ) ? f ( x0 , y0 ) ? 0 ,∴直线 f ( x, y ) ? 0 与直线

曲线与方程

f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) ? 0 平行,且点 P 在直线 f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) ? 0 上,选 A.
变式引申 2 ⑴解:设 N ( x, y ) , M (a,0) , P(0, b) ,则 MN ? ( x ? a, y) , NP ? (? x, b ? y) .由 MN ? NP ,
5

???? ?

??? ?

???? ?

? 2 ???

得 ( x ? a, y) ? (? x, b ? y) ,∴ x ? a ? ? x , y ? (b ? y) ,即 a ? x , b ?
5 5 5 5

2

2

2

7

7 2

y .又 | MP |? a2 ? b2 ? 7 ,
y
M P ?

∴ ( x)2 ? ( y)2 ? 49 ,即
5 2

7

7

x

2

25

?

y

2

4

? 1 ,故动点 N 的轨迹方程为

x

2

25

?

y

2

4

?1.
O

N
x

⑵解:设 P ( x, y ) , M ( x1 , y1 ) ,则 N (2 x ? x1 ,2 y ? y1 ) ,∵点 N 在直线 x ? y ? 3 上,

2 x ? x1 ? 2 y ? y1 ? 3 ①.∵ MP 垂直于直线 x ? y ? 3 ,∴

y ? y1 x ? x1

? ?1 ,即 x ? y ? x1 ? y1 ②.

答图 6 ? 1 ? 1

联立①②得 ?

3 ? x1 ? 3 x ? 1 y ? 2 3 1 3 1 3 3 ? 2 2 .又点 M 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 上,∴ ( x ? y ? )2 ? (? x ? y ? )2 ? 4 , 1 x? 3 y? 3 2 2 2 2 2 2 ? y1 ? ? 2 2 2 ?

化简整理得 2 x2 ? 2 y 2 ? 3x ? 3 y ? 4 ? 0 ,故点 P 的轨迹方程为 2 x2 ? 2 y 2 ? 3x ? 3 y ? 4 ? 0 .
2 ?b ? 1 y ?a ? 2 变式引申 3 解:⑴由题意得 ? b2 ,∴ ? ,故所求的椭圆方程为 ? x 2 ? 1 . 4 ?b ? 1 ?2 ? a ? 1

⑵设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , P(t , t 2 ? h) 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为

y?

x ?t

? 2t ,直线 MN 的方程为 y ? 2tx ? t 2 ? h ,将上式代入椭圆 C1 的方程中,

得 4 x2 ? (2tx ? t 2 ? h)2 ? 4 ? 0 ,即 4(1 ? t 2 ) x2 ? 4t (t 2 ? h) x ? (t 2 ? h)2 ? 4 ? 0 . ∵直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点,∴ ?1 ? 16[?t 4 ? 2(h ? 2)t 2 ? h2 ? 4] ? 0 . 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3 ? 是 x 4 ,则 x4 ?
t ?1 2
x1 ? x2 2

?

t (t ? h )
2

2(1 ? t )
2

.设线段 PA 的中点的横坐标

2 ,由题意得 x3 ? x4 ,即有 t ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 ,∴ ?2 ? (1 ? h)2 ? 4 ? 0 ,即 h ? 1 或 h ? ?3 ;

当 h ? ?3 时,有 h ? 2 ? 0 , 4 ? h 2 ? 0 ,因此不等式 ?1 ? 16[?t 4 ? 2(h ? 2)t 2 ? h2 ? 4] ? 0 不成立;因此 h ? 1 ,当
h ? 1 时 代 入 方 程 t 2 ? ( 1 ? h )t ? 1 得 0 ? ? 1 . 将 h ? 1 , t ? ? 1 代 入 不 等 式 ? t

?1 1 6 t 4[? ?

? 2 ( 2 ? 2 2h ? 成立,因此 h 的最小值为 1 . h t ) ? 4 ? ] 0
64 7

变式引申 4 解:⑴设曲线方程为 y ? ax 2 ? b ,将点 M (0, 得? 7

) , D(8,0) 代入曲线方程,
64 7

? 64 ? b ? ?0 ? 64a ? b ?

,∴ a ? ? , b ?
7

1

64 7

,故曲线方程为 y ? ? x2 ?
7

1

.

28

? x2 y 2 ? ? ?1 9 ⑵设变轨点为 C ( x, y ) ,联立 ? 100 25 ,得 4 y 2 ? 7 y ? 36 ? 0 ,∴ y ? 4 或 y ? ? (舍去). 1 x ? 64 4 ?y ? ? 7 7 ?
由 y ? 4 , 得 x ? 6 或 x ? ?6 ( 舍 去 ). ∴ 点 C ( 6 , 4,) 此 时 , | AC |? (4 ? 6)2 ? (0 ? 4)2 ? 2 5 ,

| BC |? (9 ? 6)2 ? (0 ? 4)2 ? 5 .故当观测点 A 、 B 测得 AC 、 BC 的距离分别为 | AC |? 2 5 、 | BC |? 5 时,
应向航天器发出变轨指令. 习题 6-1

1 .【答案】D 解:由 x2 ? xy ? x 得, x( x ? y ? 1) ? 0 ,∴ x ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ,故方程的曲线是两条直线. 2 .【答案】
x
2

4

?

y

2

12

? 1 解:由渐近线方程可知 ? 3 ①.∵抛物线的焦点为 (4,0) ,∴ c ? 4 ②.又
a
x
2

b

c 2 ? a 2 ? b 2 ③.联立①②③,解得 a 2 ? 4 , b 2 ? 12 ,∴双曲线的方程为

4

?

y

2

12

?1.

3 . 解: ⑴设动圆的圆心 M ( x, y) , F (1,0) ,过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N ,由题意知 | MF |?| MN | , 即 动 点 M 到 定 点 F 于 到 定 直线 x ? ?1 的 距 离 相等 , 由 抛 物线定 义 知 , 点 M 的 轨 迹 是 以 F (1, 0)为焦

点, x ? ?1 为准线的抛物线,∴动圆圆心的轨迹方程为 y 2 ? 4 x . ⑵假设存在直线 l 满足条件.可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,代入 y 2 ? 4 x ,整理得 k 2 x2 ? 2(k ? 2) x ? 1 ? 0 . 易知 k ? 0 , ? ? 4(2 ? k )2 ? 4k 2 ? 0 ,∴ k ? 0 或 0 ? k ? 1 .设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
4 ? 2k k
2

,

x1 x2 ?

1 k
2

,∴ y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 1 ?
1 k
2

4 ? 2k k

??? ???? ? 4 ? 1 ? .又 OP ? OQ ? 0 ,
k

∴ x1 x2 ? y1 y2 ?

? ? 0 ,得 k ? ? ? 0 .故满足题给条件的直线 l 存在,其方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0 .
k 4
2 , c ? 1 ,∴ b ? a ? c
2 2

4

1

?c ? 2 ? 4 . 解:⑴由已知得 ? a 2 ,解得 a ? ?a ? 2 ?c
2

? 1 ,故所求椭圆的方程为

x

2

2

? y2 ? 1 .

⑵由⑴得 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) .

? x ? ?1 2 ? ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ?1 ,由 ? x2 得y?? . 2 2 ? 2 ? y ?1 ?
设 M ( ?1,
2 2

) 、 N (?1, ?

2 2

????? ???? ? ? 2 2 ) ,∴ | F2 M ? F2 N |?| ( ?2, ) ? ( ?2, ? ) |?| ( ?4,0) |? 4 ,这与已知相矛盾.
2 2

②若直线 l 的斜率存在,设直线直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,
2 2 ? y ? k ( x ? 1) ?4 k 2k ? 2 ? 联立 ? x2 ,消元得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ,∴ y1 ? y2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k ? 2 ? y ?1 ?

? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

2k 1 ? 2k
2

,又 F2 M ? ( x1 ? 1, y1 ) , F2 N ? ( x2 ? 1, y2 ) ,∴ F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ) ,

????? ?

???? ?

????? ???? ? ?

2 ????? ???? ? ? 8k ? 2 2 2k 2 26 2 ) ?( ) ? ∴ | F2 M ? F2 N |? ( x1 ? x2 ? 2) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( ,化简得 40k 4 ? 23k 2 ? 17 ? 0 , 2 2

1 ? 2k

1 ? 2k

3

解得 k 2 ? 1 或 k 2 ? ?

17 40

(舍去),∴ k ? ?1 ,故所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1.

29

5 . 解法 1 :由题设知 | x1 |? 2 , A1 (? 2,0) , A2 ( 2 ,0) .则直线 A1 P 的方程为 y ?

y1 x1 ? 2

( x ? 2 ) ,直线 A2Q
x1 y
2

的方程为 y ?

? y1 x1 ? 2

(x ? 2) . 解 方 程 组 得 交 点 坐 标 x ?
x
2

2 x1
x1 2
2

, y?

2 y1 x1

, 即 x1 ?
2 x

2 x

, y1 ?
2y

?

2y

,则

x

x ? 0 , | x |? 2 . 又 点 P( x1 , y1 ) 在 双 曲 线
(2) x 2
2

2

? y2 ? 1 上 , ∴
x
2

? y12 ? 1 . 将 x1 ?

, y1 ?

代入上式得

x

?(

2y x

) 2 ? 1 ,即

x

2

2

? y 2 ? 1 ,故轨迹 E 的方程为
x
2

2

? y 2 ? 1( x ? 0, x ? ? 2 ) .

解法 2 :⑴∵ A1 、 A2 分别为双曲线

2

? y 2 ? 1 的左、右顶点,∴ A1 (? 2,0) , A2 ( 2 ,0) .则 A1 P 的方程为
? y1 x1 ? 2
2 x1

y?

y1 x1 ? 2

( x ? 2 ) ;直线 A2Q 的方程为 y ?
2 x1

( x ? 2 ) ,两式相乘得 y 2 ?
2? 2
2 x1

? y1
2 x1 2 x1

2

?2

( x 2 ? 2) .∵点 P( x1 , y1 )
1

在双曲线上,∴
x
2

2

? y12 ? 1 , 即 ? y12 ? 1 ?

2

?

, ∴ y2 ?

1
2 x1

?2

?

2? 2

( x 2 ? 2) ? ? ( x 2 ? 2) , 即
2

2

? y 2 ? 1 .∵点 P 、Q 是曲线上的不同两点,∴它们与点 A1 、 A2 均不重合,故点 A1 、 A2 均不在轨迹 E 上.

?x ? 2y ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? ? 过点 (0,1) 及 A2 ( 2 ,0) 的直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 .解方程组 ? 2 ,得 ? ,∴直线 l x ? y2 ? 1 ?y ? 0 ?2 ? ?
与双曲线只有唯一交点 A2 .故轨迹 E 不经过点 (0,1) .同理轨迹 E 也不经过点 (0, ?1) .故轨迹 E 的方程为
x
2

2

? y 2 ? 1( x ? 0, x ? ? 2 ) .
⑵设 l1 的方程为 y ? kx ? h(k ? 0) ,则由 l1 ? l2 知, l2 的方程为 y ? ? x ? h .将 y ? kx ? h 代入
k
2

1

x

2

2

? y2 ? 1

得 x ? (kx ? h) 2 ? 1 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4khx ? 2h2 ? 2 ? 0 ,若 l1 与椭圆相切,则 ? ? 16k 2 h2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2h2 ? 2)
2

? 0 ,即 1 ? 2k 2 ? h2 ; 同理若 l2 与椭圆相切,则 1 ? 2 ?

1 k
2

? h2 .由 l1 与 l2 与轨迹 E 都只有一个公共点包含以下

四种情况: ① 直 线 l1 和 l2 都 与 椭 圆 相 切 , 即 1 ? 2k 2 ? h2 , 且 1 ? 2 ?
1 k
2

? h2 , 消 去 h2 得

1 k
2

? k2 ,即 k2 ?1 ,从而

h2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ,即 h ? 3 ;
②直线 l1 过点 A1 (? 2,0) ,而 l2 与椭圆相切,此时 k ? (? 2 ) ? h ? 0 , 1 ? 2 ?
1 k

1 k
2

? h2 ,解得 h ?

1 ? 17 2



③直线 l2 过点 A2 ( 2 ,0) ,而 l1 与椭圆相切,此时 ? ? 2 ? h ? 0 , 1 ? 2k 2 ? h2 ,解得 h ? ④直线 l1 过点 A1 (? 2,0) ,而直线 l2 过点 A2 ( 2 ,0) ,此时 k ? (? 2) ? h ? 0 , ? 1 ?
k

1 ? 17 2

; .

2 ? h ? 0 ,∴ h ? 2

综上所述, h 的值为 2 或 3 或

1 ? 17 2

.

第二节

圆锥曲线

变式与引申 1 :⑴解:如图,点 P 到 y 轴的距离 d 比到准线的距离(即 | PF | )少 1 ,∴ | PA | ? d
y A? P

30
x

O

F

?| PA | ? | PF | ?1 .而点 A 在抛物线外,∴ | PA | ? d 的最小值为 | AF | ?1 ? 17 ? 1 .
⑵解:由椭圆定义知 | AF2 | ? | AB | ? | BF2 |? 4a ? 20 ,又 | F2 A | ? | F2 B |? 12 , ∴ | AB |? 20 ? 12 ? 8 . 变式与引申 2 :⑴解法 1 :①当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) ,

? ( 3) 2 ( ?2) 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a 2 ? 15 ? ? a b 依题意有 ? ,解得 ? 2 . 2 ( ?2 3) 1 ?b ? 5 ? ? ? 2 ?1 ? a2 b ?
②当焦点在 y 轴上时,同理解得 ?
x
2

?a 2 ? 5 ? , a ? b ,不合,舍去. 2 ?b ? 15 ?

综上所求椭圆的方程为

15

?

y

2

5

?1.

1 ? ?m ? 15 ?3m ? 4n ? 1 ? 解法 2 :设所求椭圆方程为 mx2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) .依题意有 ? ,解得 ? . ?12m ? n ? 1 ?n ? 1 ? 5 ?

故所求椭圆的方程为

x

2

15

?

y

2

5

?1.

2 2 ⑵解法 1 :设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,代入椭圆方程得 mx12 ? ny12 ? 1 , mx2 ? ny2 ? 1 ,相减得 m( x1 ? x2 )

( x1 ? x2 ) ? n( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 .∵ k AB ?
得 (m ? n) x2 ? 2nx ? n ? 1 ? 0 .∴ x1 ? x2 ? ∴(
2n m?n

y1 ? y2 x1 ? x2

? ?1 ,

y1 ? y2 x1 ? x2

? kOC ?

2 2

,∴ n ? 2m .由 ?

?mx 2 ? ny 2 ? 1 , ?x ? y ?1 ? 0

2n m?n

, x1 x2 ?
1 3

n ?1 m?n

.又 | AB |? 1 ? k AB 2 | x2 ? x1 |? 2 2 ,
2 3

)2 ? 4 ?

n ?1 m?n

? 4 .将 n ?

2m 代入,解得 m ?

,∴ n ?

.故椭圆方程为

x

2

3

?

2y 3

2

?1.

解法 2 :由 ?

?mx 2 ? ny 2 ? 1 2n ,得 (m ? n) x2 ? 2nx ? n ? 1 ? 0 .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , m?n ?x ? y ?1 ? 0
4n2 ?4( m? n)( n ?1) ( m? n)
2

x1 x2 ?

n ?1 m?n

.∴ | AB |? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? 2 ?
x1 ? x2 2
2y 3
2

? 2 2 ,∴

m ? n ? mn m?n

?1. ①

设 C ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?
x
2

?

n m?n

, y0 ? 1 ? x0 ?

m m?n

,∴ kOC ?

y0 x0

?

m n

?

2 2

,代入①,得 m ? , n ?
3

1

2 3

.

故椭圆方程为

3

?

? 1.
b
2

变式与引申 3 :⑴解:(Ⅰ)依题意, F (c,0) , P (c, 得

a

) ,直线 l 的方程 y ? ? ( x ? c) ,联立 l 与双曲线方程,求
a

b

31

R(

a ?c
2

2

2c

,

b

3

2 ac

2 3 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? b b b b b ) ? m(?c,0) ? n(0, ) ,∴ m ? 2 , n ? . ) .设 FR ? mFO ? nFP(m, n ? R) ,则 (? ,

2c 2 ac

a

2c

2c

??? b 2 ??? b ??? ? ? ? 故 FR ? 2 FO ? FP .
2c 2c

??? 2 2 ??? ? ??? ? FP b2 ) 2 ? ( b3 ) 2 ? b , | FP |? b , | ??? | ? 2 为定值. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 | FR |? ( ? 2c 2 ac 2a a | FR |
(Ⅲ)联立 l 与 l1 的方程求得 M ( ,
c bc

2 2a

???? ? ???? c ? bc c bc ) ,则 FM ? ( ? c, ) ? (? , ) , | FM |?
2 2a 2 2a

c

2

2a

??? ? ???? ? .由 FR ? ? FM 得,

??? b2 2 2 2 | FR | b c ?a 1 1 1 2 1 2 ? ? ? ??? ? 2a ? 2 ? ? 1 ? 2 ,∵ ? ? ( , ) ,∴ ? 1 ? 2 ? ,解得 2 ? e ? 3 ,故双曲线 C 的离心 2 2
| FM | c 2a c c e

2 3

2

e

3

率 e 的取值范围为 ( 2 , 3) . ⑵解:(Ⅰ)过点 A(?1,0) 斜率为 k 的直线为 y ? k ( x ? 1) , 将 y ? k ( x ? 1) 代入方程 y 2 ? 4 x ,
4 ? 2k k
2 2

得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 . ① 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? ∵线段 MN 的中点在直线 x ? 3 上,∴ x1 ? x2 ? 6 ,即
4 ? 2k k
2 2

, x1 x2 ? 1 .

? 6 ,得 k ? ?

2 2

(此时①式的判别式大于零).
2 由②,得 y12 ? ? 2 y2 .

???? ? ???? ? x1 ? 1 ? ? ( x2 ? 1) ① (Ⅱ)由 AM ? ? AN ,得 ( x1 ? 1, y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 ) ,即 ? . ② ? y1 ? ? y2

2 ∵ y12 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 ,∴ x1 ? ? 2 x2 ③ 由①、③得 ? (? ? 1) x2 ? ? ? 1,易知 ? ? 1 ,∴ x2 ?

1

?

, x1 ? ? .

∴? ?

1

?

?

4 ? 2k k
2

2

?

4 k
2

? 2 ,又 k ? [

2 2

,

6 3

] ,∴ ? ?

1

?

?

4 k
2

? 2 ?[4,6] ,即 4 ? ? ?

1

?

? 6 ,得 4? ? ? 2 ? 1 ? 6? ,

解得 3 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 3 或 2 ? 3 ? ? ? 3 ? 2 2 ,故 ? 的取值范围是 [3 ? 2 2,2 ? 3] ? [2 ? 3,3 ? 2 2 ] .

? x2 ? 4 y 变式与引申 4 :解:⑴由题意,直线 l 的方程为 y ? ? x ? 1 .设点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,由 ? ,得 ? y ? ?x ? 1
x2 ? 4 x ? 4 ? 0 ,
则 x1 ? x2 ? ?4 , x1 x2 ? ?4 ,∴ S ? | ON | ? | x1 ? x2 |?
2 1 1 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2

?

1 2

16 ? 16 ? 2 2 .

⑵设点 P( x0 , y0 ) ,则 y0 ?

x0

2

2p

.由 M 、 P 、 N 三点共线得 m ?

2 x0

2

1 ? y0

.由 ?MOP ? ?PON 得点 P 到 y 轴距

离与到直线 OM : x ? my ? 0 距离相等,即 | x0 |?

| x0 ? my0 | 1? m
2

2 2 2 2 ,∴ x0 ? m2 x0 ? x0 ? m2 y0 ? 2mx0 y0 ,

2 2 mx0 ? my0 ? 2 x0 y0 .把 y0 ?

x0

2

2p

,m?

2 x0 1 ? y0

?

4 px0 2 p ? x0
2

代入,得

4 px0 ? x0 2 p ? x0
2

2

?

4 px0 2 p ? x0
2

?

x0 4p

4 2

?

2 x0 ? x0 2p

2

,



4p 2p ?
2 x0

?

x0

2 2 x0 )

p (2 p ?

?

1 p

2 2 ,∴ 4 p2 ? x0 ? 2 p ? x0 ,解得 p ? .故存在常数 p ? ,总有 ?MOP ? ?PON .

1

1

2

2

32

习题 6-2

1 .【答案】B
解析:设椭圆的方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) ,则 | OA |? a , | OB |? b , | F1 F2 |? 2c , | PF1 |?
| OA | | F1 F2 |

b

2

.

a

由 PF1 ? x 轴, PF2 // AB ,得 Rt ?OAB ∽ Rt ?F1F2 P ,∴
5 5

?

| OB | | F1 P |

,即

a 2c

?

b
b2 a

,解得 b ? 2c ,

∴ a 2 ? c 2 ? 4c 2 ,故椭圆的离心率 e ?

.

2 .【答案】 8
解析:由题知两圆的圆心分别为双曲线的左、右焦点 F1 (?5,0) 、 F2 (5,0) ,要使 | PM | ? | PN | 取最大值,应使

| PM | 取最大值, | PN | 取最小值,这时 | PM | ? | PN |? (| PF1 | ?3) ? (| PF2 | ?1) ?| PF1 | ? | PF2 | ?4 ? 4 ? 4 ? 8 .
3 .解:⑴设 P ( x, y ) ,则 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 | x ? | ,化简得 x 2 ?
2 1
y
2

3

? 1( y ? 0) .
y
2

⑵①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) ,与双曲线 x 2 ?

3

? 1 联立消去 y
4k
2 2

得 (3 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 3) ? 0 .由题意知 3 ? k 2 ? 0 且 ? ? 0 .设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

k ?3

,

x1 x2 ?

4k ? 3
2

k ?3
2

, y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? k 2 [ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4] ? k 2 (
y1 x1 ? 1

4k ? 3
2

k ?3
2

?

8k
2

2

k ?3

? 4) ?

?9 k
2

2

k ?3

.
3 y1

∵ x1 ? ?1 , x2 ? ?1 ,∴ AB 的方程为 y ?

( x ? 1) ,∴ M 点的坐标为 ( ,

1

3 y1

2 2( x1 ? 1)

???? ? 3 ) , FM ? (? ,

2 2( x1 ? 1)

),

???? ? 3 同理可得 FM ? (? ,

3 y2

2 2( x2 ? 1)

???? ???? ? 3 ) ,因此 FM ? FN ? (? )2 ?
2

9 y1 y2 2( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? ?
4

9

?81k 2 k 2 ?3
2 2 4( 4k2 ?3 ? 4k ? 1) 2

? 0.

k ?3

k ?3

②当直线 BC 与 x 轴垂直时,其方程为 x ? 2 ,则 B(2,3) , C (2, ?3) , AB 的方程为 y ? x ? 1 ,∴M 点的坐标 为 ( , ) , FM ? (? , ) ,同理可得 FN ? (? , ? ) ,因此 FM ? FN ? (? )2 ? ? (? ) ? 0 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3

???? ?

3 3

????

3

3

???? ??? ? ?

3

3

3

???? ??? ? ? 综上 FM ? FN ? 0 ,即 FM ? FN ,故以线段 MN 为直径的圆经过点 F .

? y ? kx ? 2 ,得 x2 ? 2 pkx ? 4 p ? 0 .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2 pk , 4 .解:⑴由 ? 2 x ? ?2 py ?

y

??? ??? ? ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ?2 pk 2 ? 4 .∵ OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
??2 pk ? ?4 ? p ?1 ,解得 ? ,故直线 l 的 ? (?2 pk , ?2 pk 2 ? 4) ? (?4, ?12) ,∴ ? 2 ?k ? 2 ??2 pk ? 4 ? ?12
方程为 y ? 2 x ? 2 ,抛物线 C 的方程 x 2 ? ?2 y .
A

O
P B
x

答图 6 ? 2 ? 2

33

? y ? 2x ? 2 ⑵解法 1 :由 ? 2 ,得 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ,∴ | AB |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ? 1 ? 22 ? (?4)2 ? 4(?4) ? x ? ?2 y
? 4 10 .设 P(t , ? t 2 )(?2 ? 2 2 ? t ? ?2 ? 2 2 ) ,∵ | AB | 为定值,∴当点 P 到直线 l 的距离 d 最大时,
2 1

?ABP 的面积最大.而 d

2 | 2t ? 1 t ? 2 | 2 ?

2 ? ( ?1)

2

2

2 | 1 (t ? 2) ? 4 | 2 ,又 ?2 ? 2 2 ? t ? 5

? ?2 ? 2 2 ,∴当 t ? ?2 时,

d max ?

4 5 5

.∴当 P 点坐标为 (?2, ?2) 时, ?ABP 面积的最大值为

4 10 ? 2

4 5 5

?8 2 .

解法 2 :设 P( x0 , y0 ) ,依题意,抛物线在点 P 处的切线与 l 平行时, ?ABP 的面积最大.∵ y? ? ? x ,
2 ∴ x0 ? ?2 , y0 ? ? x0 ? ?2 , P ( ?2, ?2) .此时点 P 到直线 l 的距离 d ?

1

| 2 ? ( ?2) ? ( ?2) ? 2 | 2 ? ( ?1)
2 2

?

4 5

?

4 5 5

.

2

? y ? 2x ? 2 由? 2 ,得 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ,∴ | AB |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ? 1 ? 22 ? (?4)2 ? 4(?4) ? 4 10 , ? x ? ?2 y
故 ?ABP 面积的最大值为
4 10 ? 2

4 5 5

?8 2 .
? 1( m ? 0) ,椭圆经过点 (2, 6 ) ,∴
4 4m

5 .解:⑴设椭圆方程为:

x

2

4m

?

y

2

2m

?

6 2m

? 1 ,解得 m ? 4 ,∴所求椭圆

方程为

x

2

16

?

y

2

8

?1.

⑵当射线与 y 轴重合时, | OA | ? | OB |? 2 ? 2 2 ? 4 .

? x12 ? 4 2 ? y ? kx 1? 2 k ? ? 当射线不与 y 轴重合时,设方程为: y ? kx .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由 ? 2 ,得 ? , 2 2 y ? x4 ? 2 ? 1 ? y12 ? 4 k 2 ? 1? 2 k ?
∴ | OA |?
2 1? k 1 ? 2k
2 2

.同理得 | OB |?

4 1? k 1 ? 2k

2 2

.∴ | OA | ? | OB |?

2 1? k 1 ? 2k

2 2

?

4 1? k 1 ? 2k

2 2

?

8(1 ? k )
2

1 ? 2k

2

? 4?

4 1 ? 2k
2

? (4,8] .

综上得, | OA | ? | OB | 的最大值为 8 ,最小值为 4 . ⑶类似的结论:过原点的一条射线分别与两条双曲 C1 :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 和 C2 :

x

2 2

( ma )

?

y

2 2

( mb)

? 1(m ? 0) 交于

A 、 B 两 点 , P 为 线 段 AB 上 的 一 点 , 若 | OA | 、 | OP | 、 | OB | 成 等 比 数 列 , 则 点 P 的 轨 迹 方 程 为
x
2 2

( ma )

?

y

2 2

( mb )

? 1.
b a

证明: 设过原点的射线 l 的方程为 y ? kx ,∵射线 l 与双曲线有交点,显然 | k |?

.设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

34

把 y ? kx 分别代入两条双曲线方程中得 x12 ?
2

a b
2

2 2 2 2

b ?a k

2 , x2 ?

m a b
2

2 2 2 2 2

b ?a k

(b 2 ? a 2 k 2 ? 0) .

2 2 ? x ? a2b22m2 ? x 2 ?| x1 x2 | y ? b2 ?a k ,消去 k 得, x ? ?1. 由 P 点在射线 l 上,且 | OP | ?| OA | ? | OB | ,得 ? ,即 ? 2 2 y ( ma ) ( mb ) ? y ? kx ?k ? x ?

第三节 直线与圆锥曲线的位置关系
变式与引申 1:过点 F 且倾斜角为 60 的直线 l 与双曲线的右支有且只有一个交点的充要条件是:直线 l 与 双曲线的渐近线平行(即一条渐近线的斜率
0

b 0 = tan 60 )或直线 l 与双曲线的左,右两支各有一交点.即 a

b b tan 60 ? .综合得 3 ? a a
0

c 所以 e ? ? a
A

a2 ? b2 ?b? ? 1 ? ? ? ? 1 ? 3 ? 2, 故选C . 2 a ?a?
2

变 式 与 引 申

2 : 设

?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?

, 则 x1 , x2是

?ax2 ? by2 ? 1 的 解 . 由 ? ?x ? y ? 1 ? 0

ax1 ? by1 ? 1, ax2 ? by2 ? 1. 两式相减得 a?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? b? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 .
2 2 2 2

?

y1 ? y 2 ? ?1 x1 ? x2

?

y1 ? y 2 a 2y a ? 即 c ? x1 ? x2 b 2 xc b

yc a 2 ? ? xc b 2

1 ? b ? 2a ?? ○



由方程组消去 y 得 ?a ? b?x 2 ? 2bx ? b ? 1 ? 0

由 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
2

?2 2

? ?x1 ? x2 ?

2

b ?1 ? 2b ? 2 ? 4 x1 x2 ? 4即? ? 4?? ○ ? ? 4? a?b ?a?b?
1 3

1 2 由○○解得 a ?

b?

2 x2 2y2 故所求的椭圆的方程为 ? ?1 3 3 3
x2 y2 c ? a ? b 则双曲线方程为 2 ? ? 1. a 7 ? a2
2 2 2

变式与引申 3: 依题意有 c ? 7
2

. 设

M

?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ?,



x1 y ? 1 2 ?1 2 a 7?a

2

2

,

x2 y ? 2 2 ?1 , 两 式 相 减 得 2 a 7?a

2

2

1 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 1 2 ? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ? 2 a 7?a

再 由 x1 ? x2 ? 2 x,

y1 ? y2 ? 2 y , x ? ?

2 , 3

y ? y2 5 y ? x ? 1 ? ? ,所以由 k ? 1 ? 1 ,得 a 2 ? 2 3 x1 ? x2

所以双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,故选 D. 2 5

变式与引申 4: 解法 1:(1)依题意,点 N 的坐标为 N (0, p) ,可设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) , ?

35

直线 AB 的方程为 y ? kx ? p ,与 x2 ? 2 py 联立得 ? 由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p2 . 于是 S△ ABN ? S△ BCN ? S△ ACN ?

? x 2 ? 2 py,

? y ? kx ? p.

消去 y 得 x2 ? 2 pkx ? 2 p2 ? 0 . y

1 ? 2 p x1 ? x2 ? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 2
2

B C A O x N

? p 4p k ?8p ? 2p
2 2 2

2

k ? 2 , ∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p .
2

(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,

AC 的中点为 O? , l 与 AC 为直径的圆相交于点 P , Q,PQ 的中点为 H ,

y

B l A P H Q O N

O?

C

x

则 O?H ? PQ , Q? 点的坐标为 ?

1 1 2 1 ? x1 y1 ? p ? 2 2 2 , ? .∵ O?P ? 2 AC ? 2 x1 ? ( y1 ? p ) ? 2 y1 ? p , 2 2 ? ?

O?H ? a ?

y1 ? p 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2
2 2

∴ PH ? O?P ? O?H ?
2

1 2 1 p? ? ( y1 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p) 2 ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a) , 4 4 2? ?

?? p? ? 2 ∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 2? ?? ?
令a?

p p p ? 0 ,得 a ? ,此时 PQ ? p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线. 解法 2:(1)前同解法 1,再由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 4 p 2 k 2 ? 8 p 2 ? 2 p 1 ? k 2 ? k 2 ? 2 .
又 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得

d?

2p 1? k 2

.





1 1 S△ ABN ? ? d ? AB ? ? 2 p 2 2

? k2 ? k ? 2 ? 1

p 2 2 ? p 2 1? k

k ? 22∴ k ?20 时, (S△ABN )min ? 2 2 p2 . 2

(2) 假 设 满 足 条 件 的 直 线 l 存 在 , 其 方 程 为 y ? a , 则 以 AC 为 直 径 的 圆 的 方 程 为
36

( x ? 0)(x ? x1 ) ? ( y ? p)( y ? y1 ) ? 0 ,将直线方程 y ? a 代入得 x2 ? x1x ? (a ? p)(a ? y1 ) ? 0 ,
2 则 △? x1 ? 4(a ? p)(a ? y1 ) ? 4 ?? a ?

?? ??

p? ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 设 直 线 l 与 以 AC 为 直 径 的 圆 的 交 点 为 2? ?

?? p? ? p? ? P( x3,y3 ),Q( x4,y4 ) , 则有 PQ ? x3 ? x4 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? ? 2 ? a ? ? y1 ? a( p ? a) . 2? 2? ? ?? ?
令a?

p p p ? 0 ,得 a ? ,此时 PQ ? p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线. 习题 6-3

b ? b b x2 y2 ? y? x 2 1.解: 双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x ,由方程组 ? a ,消去 y,得 x ? x ? 1 ? 0 有唯一 a a a b ? y ? x2 ? 1 ?
解,所以△= ( ) ? 4 ? 0 , 所以
2

b a

b c a 2 ? b2 b ? 2 ,e ? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 ,故选 D. a a a a

2.解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意知 y1 <0, y2 >0.

(1)直线 l 的方程为

y ? 3 (x ?

? y ? 3( x ? c ), ? 得 c, 其 中 c ? a ? b . 联 立 ? x 2 y 2 ) ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2

(3a2 ? b2 ) y2 ? 2 3b2cy ? 3b4 ? 0
??? ? ??? ?

解得 y1 ?

? 3b2 (c ? 2a) ? 3b2 (c ? 2a) , y2 ? 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2 3b2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) ? 2? 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2
(2) 因为 AB ? 1 ?

因为 AF ? 2 FB ,所以 ? y1 ? 2 y2 . 即

得离心率 e ?

c 2 ? . a 3

1 2 4 3ab2 15 所以 y2 ? y1 , ? 2 2? . 3 4 3 3a ? b



c 2 5 15 x2 y 2 5 ? 得b ? ? 1. a .所以 a ? ,得 a=3, b ? 5 .椭圆 C 的方程为 ? 4 4 a 3 9 5 3 1 5 2 2

2 3.解:(1)联立 y ? x 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,

1 5 ?s ?t 1 5 设线段 PQ 的中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? 2 ,即 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? ,又点 P 在曲线 ,y ? 2 2 2 2 2 5 1 11 C 上, ∴ 2 y ? ? (2 x ? ) 2 化简可得 y ? 2 x 2 ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点, 2 2 8 y
xB
37

xA

D

1 1 5 ? 2 ,即 ? ? x ? , 2 4 4 11 1 5 2 ∴中点 M 的轨迹方程为 y ? 2 x ? x ? ( ? ? x ? ). 8 4 4 51 2 2 2 ?0, (2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 49 7 2 2 即圆 E : ( x ? a ) ? ( y ? 2) ? ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径 r ? 25 5 51 2 2 2 ? 0 与 D 有公共点; 由图可知,当 0 ? a ? 2 时,曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 51 2 2 2 ?0 与 D 有公共点,只需圆心 E 到直线 当 a ? 0 时 , 要 使 曲 线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25
且不与点 A 和点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ?

l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 7 2 7 2 ,得 ? . ? a ? 0 ,则 a 的最小值为 ? 5 5 5

4.解: (1)由椭圆定义可得 MF1 ? MF2 ? 2 m ? 1 ,由 MF ?MF2 ? 0 可得 1

????? ???? ? ?

MF1 ? MF2 ? 4m ,而 MF1 ? MF2 ?
2 2

2

2

( MF1 ? MF2 )2 ,? 4m ? 2(m ? 1). 解得 2

m ?1

? y ? x?2 ? (2)由 ? x 2 ,得 (m ? 2) x 2 ? 4(m ? 1) x ? 3(m ? 1) ? 0 , 2 ? y ?1 ? ? m ?1

? ? 16(m ? 1)2 ?12(m ? 2)(m ? 1) ? 4(m ? 1)(m ? 2) ? 0
解得 m ? 2 或 m ? ?1 (舍去)

?m ? 2

此时 EF1 ? EF2 ? 2 m ? 1 ? 2 3

当且仅当 m ? 2 时, EF ? EF2 得最小值 2 3 ,此时椭圆方程为 1 (3)由 AQ ? QB 知点 Q 是 AB 的中点

x2 ? y2 ? 1 3

??? ??? ? ?

设 A,B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,中点 Q 的坐标为 ( x, y )

? x12 2 ? 3 ? y1 ? 1 ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 则? ,两式相减得 1 2 3 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ?3 ?
? y2 ? y1 x ?x ?? 1 2 x2 ? x1 3( y1 ? y2 )

? AB 的中点 Q 的轨迹为直线 y ? ?

1 x ① 且在椭圆内的部分 3k

又由 NQ ? AB ? 0 可知 NQ ? AB ,所以直线 NQ 的斜率为 ?

???? ? ????

1 1 ,方程为 y ? ? x ? 1 ② k k

38

3k (? ) 2 3k 1 1 , ) ? 点 Q 必在椭圆内 ? 2 ? ( )2 ? 1 ①②两式联立可求得点 Q 的坐标为 (? 2 2 3 2
又? k ? o

解得 k ? 1
2

? k ? (?1,0) ? (0,1)

5. 如图,已知抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 和直线 y ? b(b ? 0) ,点 P(t , b) 在直线 y ? b 上移动,过点 P 作 抛物线的两条切线,切点分别为 A, B ,线段 AB 的中点为 M . (1)求点 M 的轨迹; (2)求 | AB | 的最小值. 解: (1)由 x2 ? 2 py ? p ? 0? 得 y ?

y

1 2 x ,∴ y ? ? 1 x 2p p

x2 ? 2 py
,
?



A( x1 ,
2 1

1 2 1 2 x1 ), B( x 2 , x2 ) , 则 2p 2p

k PA ?

x1 x , k PB ? 2 p p

M

B

x ?b x1 2 p 2 ∴ 即 x1 ? 2tx1 ? 2 pb ? 0 ? p x1 ? t
2 同 理 , 有 x2 ? 2tx2 ? 2 pb ? 0 ,

A

O
∴ x1 , x2 为 方 程

x
y?b

P

x 2 ? 2tx ? 2 pb ? 0 的两根
∴ x1 ? x2 ? 2t , x1 ? x2 ? 2 pb . 设 M ? x, y ? ,则 x ?

x1 ? x 2 ? t, 2


2

y?

y1 ? y 2 1 2 t2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? b 2 4p p
2



由①、②消去 t 得点 M 的轨迹方程为 x ? p ? y ? b ? .

( x1 ? x2 ) 2 ( x1 ? x2 ) 2 t2 2 ? (4t ? 8 pb)(1 ? 2 ) 又 b ? 0 ,由函数的单调性知 (2)| AB |? ( x1 ? x2 ) ? 4 p2 p
当 t ? 0 时, | AB | min ? 2 ? 2 pb . , 第四节 坐标系与参数方程

变式与引申 1 解:将直线 l1 的方程化为普通方程得 3x ? y ? a ? 3 ? 0 ,将直线 l2 的方程化为直 角坐标 方程得 3x ? y ? 4 ? 0 ,由两平行线的距离公式得

| a ?3 ?4| ? 10 ?| a ?1| ?10 ? a ? 9 或 a ? ?11 10

2 2 变式与引申 2 解:圆 ( x ?1) ? y ? 1 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ( ?

?
2

?? ?

?
2

),
∴ ?1 ? 2? ,?1 ? ? ,将

设点 P 的极坐标为 ( ?1 ,?1 ) ,点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) ,∵点 M 为线段 OP 的中点,

得 ?1 ? 2? ,?1 ? ? 代入圆的极坐标方程, ? ? cos ? . ∴点 M 轨迹的极坐标方程为 ? ? cos ? (? 它表示原心在点 ( , 0) ,半径为

?
2

?? ?

?
2

),

1 2

1 的圆. 2

变式与引申 3 解: 当样 ? ? 时,C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) ,C2 的普通方程为 x ? y ? 1。 (1)
2 2

? 3

39

联立方程组 ?

? y ? 3( x ? 1) ?
2 2 ?x ? y ? 1 ?

? ,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ? ,

?1 ?2 ?

3? ?。 2 ? ?

2 (2) C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 。A 点坐标为 sin ? ? cos ? sin ? ,故当 ? 变化

?

?

1 2 ? 2 1? 1 ? ? x ? 2 sin ? 2 ? 时,P 点轨迹的参数方程为: ??为参数 ? ,P 点轨迹的普通方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 16 . ? ? ? ? y ? ? 1 sin ? cos ? ? ? 2

故 P 点轨迹是圆心为 ? ,? ,半径为 0

?1 ?4

? ?

1 的圆. 4

变式与引申 4 解: (1)取左焦点的射线为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为 ? ?

b2 , a ? c sin ?

设 A(ρ

1,

? ) , B(ρ

2,

? + ? ) , C(ρ

3

,

?

2 + ? ) , D(ρ

4

3 , 2

?

b2 + ? ) , 则 ?1 ? , a ? c s i n?
2

?2 ?
1 |AB|

2 ab 2 ab 2 b2 b2 b2 ? ? , 3 ? , 4 ? |CD|= a 2 ? c 2 cos2 ? , ? |AB|= ?1 + ?2 = a 2 ? c 2 cos2 ? , a ? c sin ? a ? c sin ? a ? c sin ?

?

1 |CD|

?

a 2 ? b2 2 ab 2 .
2 ab2( a 2 ? b2 ) a 4 ? a 2 c 2 ? c 4 sin2 ? cos2 ?

(2)

AB ?

?

8 ab2( a 2 ? b2 ) 4 a 2b2 ? c4 sin2 2?

, 故当 ? ?

? 或 3? 时,|AB|+|CD|最 4 4

8ab
小,最小值为 a 2 ? b 2 . 习题 6-4 1.(1)C 提示: ? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ? , 则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y .

(2)B 提示: 化曲线 C 的参数方程为普通方程:( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 , 圆心 (2, ?1) 到直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的 距离 d ?

| 2 ? 3 ? (?1) ? 2 | 7 ? 10 ? 3 ,直线和圆相交,过圆心和 l 平行的直线和圆的 2 个交点符合要求, 10 10



7 10 7 10 ,在直线 l 的另外一侧没有圆上的点符合要求,所以选 B. ? 3? 10 10
2.(1)

14 提示:直线为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ?

1 2 . ? 2 2
40

(2)

( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 提示:圆心到直线的距离等于半径.

m?n ? ? ? ?1 ? 3.解:设点 P, Q 的极坐标分别为 ( ? ,? ) 和 ( ?1 ,?1 ) ,由题设知 ? , m ? ?1 ? ? ?
将其代入圆的方程,得 (

m?n 2 m?n ? ) ? 2a ( ? ) cos ? ? a 2 ? r 2 ? 0 , m m

整理得, (m ? n)2 ? 2 ? 2am(m ? n) ? cos ? ? m2 (a2 ? r 2 ) ? 0 ,高考资源网 ∴点 P 的轨迹方程为 (m ? n)2 ? 2 ? 2am(m ? n) ? cos ? ? m2 (a2 ? r 2 ) ? 0 ,它表示一个圆.
? x ? 2 ? t cos ? , 4.解:设直线 AB 的方程为 ? (t 为参数),代入双曲线方程,得 ? y ? 1 ? t sin?

(2cos α -sin α )t +(8cosα -2sinα )t+5=0, 由于 M 为 AB 的中点,则 t1+t2=0,则 tanα =4,从而直线 AB 的方程为:4x-y-7=0. 5.解: (Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为(

2

2

2

? ? , ). 3 3
?
6 ,

? ? ,且 M 点的极径等于 , 3 3

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

3? ) ,A(0,1) ,故直线 AM 的参数方程为 6

? ? ? x ? 1 ? ( 6 ? 1)t ? (t 为参数) ? ? y ? 3? t ? 6 ?

第五节

解析几何的综合应用

变式与引申 1: (1)解:设 F1(-c,0) 2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2), 、F 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2,又∵ 1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|· 2|, |PF |PF 依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|· 2|=|F1F2|2=4c2 |PF ∴ 16+8c2<50+2c2,∴ 2< c

5 17 17 ,又∵ 2=4+b2< ,∴ 2< ,∴ 2=1. c b b 3 3 3

(2)解:由已知椭圆方程得: a ? 5, b ? 4, c ? 3, e ?

3 25 ,左准线为 x ? ? 。如图 1,过 B 点作左准线 5 3

的垂线,垂足为 N。过 A 点作此准线的垂线,垂足为 M。根据椭圆的第二定 义得: BN ?

BF

e 5 则 BA ? 3 BF ? AB ? BN ? AN ? AM 3
可解得 B 点的坐标是 ? ?

?

5 BF 3

? AM 为定值 ?

当且仅当 B 点是线段 AM 与椭圆的交点时等号成立。

? 5 3 ? ,2 ? ? ? 2 ? ?
41

变式与引申 2:解: (1) a ? 3b ? ( x,0) ? 3(1, y) ? ( x ? 3, 3 y)

y

a ? 3b ? ( x,0) ? 3(1, y) ? ( x ? 3,? 3 y)
∵ (a ? 3b)?(a ? 3b) ∴ (a ? 3b) ? (a ? 3b) =0 得
F1 o

A B C F2 B' x

∴ ( x ? 3)( x ? 3) ? 3 y ? (? 3 y) ? 0 ∴P 点的轨迹方程为

x2 ? y2 ?1 3

x2 ? y2 ?1 3
消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

? y ? kx ? m ? (2)考虑方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
显然 1-3k2≠0

△=(6km)2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0 6km 设 x1,x2 为方程*的两根,则 x1 ? x 2 ? 1 ? 3k 2 x ? x2 3km m 3km m ? x0 ? 1 ? y 0 ? kx 0 ? m ? 故 AB 中点 M 的坐标为( , ) 2 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m 1 3km ? (? )( x ? ) ∴线段 AB 的垂直平分线方程为: y ? 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1
2 ? 2 ?m ? 1 ? 3k ? 0 故 m、k 满足 ? ,消去 k2 得:m2-4m>0 ?4m ? 3k 2 ? 1 ?

解得:m<0 或 m>4

又∵4m=3k2-1>-1

∴m>-

1 4

故 m ? (? ,0) ? (4,??) .

1 4

例变式与引申 3:解:交 AB 与 x 轴不重叠时,设 AB 的方程为 y ? k ( x ? e) 由?

? y ? k ( x ? a) ? y ? 2 px
2

消 y 可得: k 2 x 2 ? 2(k 2 a ? p) x ? k 2 a 2 ? 0 则 x1 x2 ? a2 , y1 y 2 ? ?2Pa 交 AB 与 x 轴重叠时,

设 A ( x1 , y1 )

B ( x2 , y 2 )

上述结论仍然成立 1 1 S ? AOB ? OA ? OB sin ?AOB ? OA ? OB con ?AOB ? lin?AOB 2 2 ∴t ?

1 OA ? OB con ?AOB 2

又 OA ? OB ? con?AOB ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2

p2 1 1 2 1 2 1 2 ∴ t ? ( x1x2 ? y1 y2 ) ? (a ? 2ap ) ? (a ? p) ? p ≥ ? 当a ? p 时 2 2 2 2 2
取“=” 综上 当 e ? p时 tmin ? ? ,

p2 2
42

变式与引申 4: (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x, y). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

| F1 P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ?
由 x ? a, 知a ?

b2 2 c x ? ( a ? x) 2 . 2 a a

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. a a

证法二:设点 P 的坐标为 ( x, y). 记 | F1 P |? r1 , | F2 P |? r2 , 则 r1 ?

( x ? c) 2 ? y 2 , r2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 .

2 2 由 r1 ? r2 ? 2a, r1 ? r2 ? 4cx , 得 | F1 P |? r1 ? a ?

c x. a c x ? 0. a

证法三:设点 P 的坐标为 ( x, y). 椭圆的左准线方程为 a ?

2 由椭圆第二定义得 | F1 P | ? c ,即 | F1 P |? c | x ? a |?| a ? c x | . a c a a a2 |x? | c

由 x ? ? a , 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. a a

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ?TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
x? ? c ? ?x ? 2 , 设点 Q 的坐标为( x ?, y ? ) ,则 ? ? ? y ? y? . ? 2 ?

?x? ? 2 x ? c, 因此 ? ? y ? ? 2 y.



由 | F1Q |? 2a 得 ( x? ? c) ? y ? ? 4a .
2 2 2



将①代入②,可得 x ? y ? a .
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a .
2 2 2


43



2 2 ? x0 ? y 0 ? a 2 , (Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x0 , y0 )使 S= b 的充要条件是 ? 1 ? 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

2

由③得 | y0 |? a ,由④得 | y 0 |?

2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c c

2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.

c

2 当 a ? b 时, MF1 ? (?c ? x0 ,? y0 ), MF2 ? (c ? x0 ,? y0 ) , c

2 2 由 MF1 ? MF2 ? x0 ? c 2 ? y0 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ,

MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos?F1MF2 ,
S? 1 | MF1 | ? | MF 2 | sin ?F1 MF 2 ? b 2 ,得 tan?F1 MF2 ? 2. 2
③ ④
2

2 2 ? x0 ? y 0 ? a 2 , ? 解法二:C 上存在点 M( x0 , y0 )使 S= b 的充要条件是 ? 1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

由④得 | y 0 |?

4 2 2 b2 2 . 上式代入③得 x0 ? a 2 ? b 2 ? (a ? b )(a ? b ) ? 0. c c c c

2 2 于是,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b ; c
2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.

c

2 y0 y0 当 a ? b 时,记 k1 ? k F M ? , , k 2 ? k F2 M ? 1 c x0 ? c x0 ? c

由 | F1 F2 |? 2a, 知 ?F1 MF2 ? 90? ,所以 tan?F MF ?| k1 ? k 2 |? 2. 1 2
1 ? k1k 2

习题 6-5
1.解析:弦长|AB|= 2 ?
4? 5 ? t2 4 10 ≤ . 5 5

答案:C

2.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点. 答案:②③④ 3.解:(1)设直线 l 的方程为:y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2-2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|= 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2 (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 又∵p>0,∴a≤-
p . 4

44

则有 x=

x1 ? x2 y ? y 2 x1 ? x2 ? 2a =p. ? a ? p, y ? 1 ? 2 2 2
| a ? 2p ? a| 2 ? 2p

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0)? 点 N 到 AB 的距离为

1 从而 S△NAB= ? 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 2 p ? 2 p 2ap ? p 2 2

p 时,S 有最大值为 2 p2. 4 4.解: (Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标分别是

当 a 有最大值-

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? (? ,0), (0, a). ? x 由 得? y2 b 2 这里c ? e ? 2 ? 1, ? y ? . ? 2 a b ? ?a
所以点 M 的坐标是( ? c,

a2 ? b2 .

b2 ). a

由 AM ? ? AB得(?c ?

a b2 a , ) ? ? ( , a). e a e

a ?a ?c ? ? ?e ? e 即? 2 ? b ? ?a ?a ?

解得? ? 1 ? e 2

y 证法二: 因为 A、 分别是直线 l: ? ex ? a 与 x 轴、 轴的交点, B y 所以 A、 的坐标分别是 ( ? B
设 M 的坐标是 ( x0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x0 ?

a ,0), (0, a ). e

a a , y 0 ) ? ? ( , a), e e
2 2 x0 y 0 ? ? 1, a2 b2

a ? ? x0 ? (? ? 1) 所以 ? e ? y 0 ? ?a. ?

因为点 M 在椭圆上,所以

a [ (? ? 1)]2 (?a) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? 2 ? 1, 所以 ? ? 1. a2 b e2 1 ? e2

e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,
1 | PF1 |? c. 2

解得 e 2 ? 1 ? ?

即? ? 1 ? e 2 .

(Ⅱ)解法一:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形, 必有|PF1|=|F1F2|,即

设点 F1 到 l 的距离为 d,由

1 | e(?c) ? 0 ? a | | a ? ec | | PF1 |? d ? ? ? c, 2 1 ? e2 1 ? e2
1 2 , 于是 ? ? 1 ? e 2 ? . 3 3
即当 ? ?



1 ? e2 1 ? e2

? e.

2 所以 e ?

2 时, △PF1F2 为等腰三角形. 3

解法二: 因为 PF1⊥l, 所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角, 要使△PF1F2 为等腰三角形, 必有|PF1|=|F1F2|, 设点 P 的坐标是 ( x0 , y0 ) ,
45

1 ? y0 ? 0 ?x ?c ? ?e ? 则? 0 ? y 0 ? 0 ? e x0 ? c ? a. ? 2 2 ?
由| PF1 |= | F1F2 | 得 [

? e2 ? 3 x0 ? 2 c, ? ? e ?1 解得? 2 ? y ? 2(1 ? e )a . ? 0 e2 ? 1 ?

(e 2 ? 3)c 2(1 ? e 2 )a 2 ? c] 2 ? [ ] ? 4c 2 , 2 2 e ?1 e ?1 (e 2 ? 1) 2 1 ? e 2 . 从而 e 2 ? . 2 3 e ?1
2 时,△PF1F2 为等腰三角形. 3

两边同时除以 4a2,化简得
2 于是 ? ? 1 ? e ?

2 . 3

即当 ? ?

5 解 ( 1 ) 以 AB 中 点 为 坐 标 原 点 , AB 所 在 直 线 为 x 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 则

A?? 3,0?,
AC ?

B?3,0?,

C 5,2 3
3

?

?

?5 ? 3?2 ? ?2

?

2

? 2 19 km

即 A、C 两个救援中心的距离为 2 19 km (2)∵|PC|=|PB|, ∴P 在 BC 线段的垂直平分线上 又∵|PB|-|PA|=4, ∴P 在以 A、B 为焦点的双曲线的左支上,且|AB|=6 ∴双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 4 5

?x ? 0?

, BC 的垂直平分线的方程为 x ? 3 y ? 7 ? 0

联立两方程解得:x=-8∴P(-8, 5 3 ) , k PA ? tan?PAB ? ? 3 ∴∠PAB=120°, 所以 P 点在 A 点的北偏西 30°处 (3)如图,设|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y
2 2 ∵|QB|-|QA|= x ? h ?

y 2 ? h2 =

x2 ? y2 x ?h ? y ?h
2 2 2 2

= ?x ? y ?

x? y x2 ? h2 ? y 2 ? h2

又∵

x? y x2 ? h2 ? y 2 ? h2
? QA 1 ? PB 1 ? PA 1

?1

∴|QB|-|QA|<|PB|-|PA|



QB 1

即 A、B 收到信号的时间差变小.

第六讲测试卷(理科)参考答案
一.选择题(本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1. D 解:∵ | MF1 | ? | MF2 |? 8 ?| F1 F2 | ,∴点 M 在线段 F1 F2 上运动. 2. C 解:依题意,得 ? 5 ?
p
2

9

??

p 2

,解得 p ? 6 ,选 C.
46

3. B 解:由

x2 y 2 2 ? ? 1 知焦点 F 为 (0, ?1) ,长轴端点为 (0, ?2) ,∴双曲线中 a ? 1 , c ? 2 ,∴ b ? 3 , 3 4
x
2

又双曲线焦点在 y 轴上,∴双曲线的方程为 y 2 ? 4. B 解:依题意 F (1,0) ,设 A(
t
2

3

? 1 ,选 B.

4

2 2 4 ??? ???? t 2 ? t t t , t ) ,则 OA ? AF ? ( , t ) ? (1 ? , ?t ) ? ? ? t 2 ? ?4 ,即 t 4 ? 12t 2 ? 16 ? 0 ,

4

4

4

16

解得 t 2 ? 4 或 t 2 ? ?16 (舍去),∴ A(1, ?2) ,选 B. 5. B 解:由已知右焦点 F2 (4,0) ,若过 F2 的直线 l 平行于渐近线 y ? ? 3x ,则斜率 k ? ? 3 ,此时与双曲线 只有一个交点,故使 l 与双曲线交右支于 A 、 B 两点时, | k |? 3 .故选 B. 6. A 解:由题知圆心为 (5,0) ,圆心到双曲线渐近线的距离为圆的半径 r , r ?
| 4x ? 3y | 4 ?3
2 2

?

| 4?5 ? 3? 0 | 5

? 4,

∴所求圆的方程为 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 ,即 x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 . 7. B 解:设内心 I 到 ?PF1 F2 三边的距离为 r ,则 | PF1 | r ? | PF2 | r ? ? | F1F2 | r ,
2 2 2 1 1 1

即 | PF1 | ? | PF2 |? ? | F1F2 | ,∴ a ? ? c ,故 ? ?

a c

?

a a 2 ?b 2

.选 B.

8. A

解 : 延 长 F1M 交 直 线 PF2 于 点 N , ∵ PM 平 分 ?F1 PF2 , PM ? F1 N , ∴ M 是 F1 N 的 中
1 1

F F 点, | PN |?| PF1 | , ∴ OM ? | F2 N |? || PF1 | ? | PF2 ||?| a? | PF2 || .又 a ? c ?| PF2 |? a ? c (易知 P 、 1 、 2 三
2 2
y

点不共线),∴ ?c ? a? | PF2 |? c ,故 OM 的取值范围为 (0, c) . 9. D 解:如答图测 6 ? 1 所示,由抛物线定义知 RS ? (a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 2 ab , 连结 RF 、 SF ,则易知 ?RFS ? 90? .又 M 是中点,∴ | MF |? | RS |? ab .
2 1

R
M

P

O S

F Q

x

答图测 6 ? 1
2 2

10. D 解: 由题意得 c ? am ①, 2n ? 2m ? c
2 2 2

2

②,又在双曲线中有 m ? n ? c
2

③,联立②③消去 n 得
1 2

c 2 ? 4m2 ,∴ c ? 2m .代入①得 4m2 ? am ,∴ a ? 4 m ,故椭圆的离心率为 e ?
二.填空题(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 8 或
11 4

c a

?

2m 4m

? ,故选 D.

解:若焦点在 x 轴上,则 a 2 ? m ? 4 , b2 ? 9 , c 2 ? a 2 ? b2 ? m ? 5 ,∴ e ?
c a

c a

?

m ?5 m?4

?

1 2

,解得 .

m ? 8 .若焦点在 y 轴上,则 a 2 ? 9 , b2 ? m ? 4 , c 2 ? a 2 ? b2 ? 5 ? m ,∴ e ?

?

5?m 3

? ,解得 m ?
2

1

11 4

故m ?8或 12. 7

11 4

.

解:设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,∵抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为 x ? ?1 ,∴ | FA | ? | FB |? x1 ? x2 ? 2 .

? y2 ? 4x 由? ,得 x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 5 ,故 | FA | ? | FB |? x1 ? x2 ? 2 ? 7 . 2x ? y ? 4 ? 0 ?
47

13. 5 : 3 14. 22

解: 不妨取 P 为短轴的端点,则由三角形内角平分线性质得, | PI |:| IB |?| PF1 |:| F1O |? a : c ? 5: 3 . 解:连接 AF1 、 BF1 ,∵ | AF1 | ? | AF2 |? 8 , | BF1 | ? | BF2 |? 8 , | AF2 | ? | BF2 |?| AB |? 5 ,

∴ | AF1 | ? | BF1 |? 16 ? (| AF2 | ? | BF2 |) ? 16 ? 5 ? 21 ,∴ ?ABF1 的周长为 | AF1 | ? | BF1 | ? | AB |? 26 . 15. x2 ? y 2 ? 2 px

? y ? kx 2p 2p 解 : 设 直 线 OA 的 斜 率 为 k , 由 ? 2 得 A( 2 , ) ; 由 k k ? y ? 2 px
2p k
2

?y ? ? 1 x ? ? 2 k ,得 ? y ? 2 px ?

B(2 pk 2 , ?2 pk ) ,∴以 OA 为直径的圆的方程为 x2 ? y 2 ?

x?

2p k

y ? 0 ,即 k 2 x2 ? k 2 y 2 ? 2 px ? 2 pky ? 0 .

以 OB 为直径的圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2 pk 2 x ? 2 pky ? 0 ,相加得 (k 2 ? 1)( x2 ? y 2 ? 2 px) ? 0 ,故点 Q 的轨迹 方程为 x2 ? y 2 ? 2 px . 三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分) 16.解:设椭圆的右焦点 F2 (c,0) ,则 2b2 ? b 2 ? c 2 ,即 b ? c ,∴ M (c,
2 2

c ) , kOM ?

2 2

,∴ kPQ ? ? 2 ,直线

PQ 的方程为 y ? ? 2 ( x ? c) ,
代入方程
x
2 2

2b

?

y b

2 2

? 1 ,得 x2 ? 2[? 2 ( x ? c)]2 ? 2b2 ? 2c2 ,即 5x2 ? 8cy ? 2c2 ? 0 .
8 2

???6 分

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? c , x1 x2 ? c2 ,
5 5

∴ | PQ |? 1 ? ( ? 2) 2 ? | x1 ? x2 |? 3 ? ( c) 2 ? 4 ? c 2 ?
5 5

8

2

6 2 5

c ? 6 2 ,解得 b ? c ? 5 .

故椭圆的标准方程为

x

2

50

?

y

2

25

?1.

???12 分

17.解:⑴将 y ? kx ? 1 代入方程 x2 ? y 2 ? 1 ,得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 2 ? 0,

? x1 ? x2 ? 2k ? 0 ? k 2 ?1 ,由 ? ? (2k ) ? 4(1 ? k ) ? (?2) ? 8 ? 4k ? 0 ,解得 ? 2 ? k ? 2 .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 ? x1 x2 ? k 2 ?1 ? 0 ?
2 2 2

2k k ?1
2

? 0 ,得 k ? ?1 或 0 ? k ? 1 ;由

2 k ?1
2

? 0 ,得 k ? ?1 或 k ? 1 .∴ ?

2

? k ? ?1 ,故斜率 k 的取值范围是
???7 分

(? 2 , ?1) .
⑵由已知可得 l2 的方程为 y ? ?8 x ? 16 ①, Q 的坐标为 (
x1 ? x2 y1 ? y2 2

,

2

) ,即 (

k
2

k ?1 k ?1
2

,

1

) ,代入①得

k ?? 或k ?
4

5

3 5 (舍去),∴ l1 的方程为 y ? ? x ? 1,即 5 x ? 4 y ? 4 ? 0 . 4 4

???12 分

?a1 ? c1 ? 200 ? 6370 ? 6570 18.解:⑴设椭圆轨道Ⅰ的半焦距为 c1 ,半长轴的长为 a1 ,则 ? ,解得 ?a1 ? c1 ? 380000 ? 6370 ? 386370

48

2a1 ? 392940 , 2c1 ? 379840 ,∴ e1 ?

379840 392940

? 0.967 .

???3 分

?a2 ? c2 ? 15 ? 1730 ? 1745 设椭圆轨道Ⅱ的半焦距为 c 2 ,半长轴的长为 a2 ,则 ? , ?a2 ? c2 ? 100 ? 1730 ? 1830
解得 2a1 ? 3575 , 2c1 ? 85 ,∴ e2 ?
85 3575
x a
2 2

? 0.024 .故 e1 ? e2 .
?
y b
2 2

???7 分
3575 4 y
2 2

⑵依题意设椭圆轨道Ⅱ的标准方程为

? 1( a ? b ? 0) ,则由⑴知 a 2 ?
4x
2 2

,

b2 ? a 2 ? c 2 ? 1745 ? 1830 ,故所求椭圆轨道Ⅱ的标准方程为

3575

?

1745 ? 1830

? 1 .???12 分

19.解:⑴设动点 A( x, y ), 由 | AB | , | BC | , | AC | 成等差数列,得 | AC | ? | AB |? 2 | BC |? 8 .依定义,知点 A 的 轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆(不含长轴上两顶点),且长轴长 2a ? 8 ,∴ a ? 4 , c ? 2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 12 . 故顶点 A 的轨迹 L 的方程为
x
2

16

?

y

2

12

? 1( y ? 0) .

???5 分

⑵假设曲线 L 上存在两点 P 、 Q 满足题意.则直线 PQ 与直线 y ? ? x ? 1垂直,设其方程为 y ? x ? m ,代 入 椭 圆 方 程 并 化 简 , 得 7 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 48 ? 0 . ∵ 直 线 y ? x ? m 与 椭 圆 相 交 于 P 、 Q 两 点 , ∴

? ? 64m2 ? 28(4m2 ? 48) ? 0 ,解得 ?2 7 ? m ? 2 7 .设 P( x1 , y1 ) 、Q( x2 , y2 ) 、 PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ,由根与
系数的关系及中点坐标公式,得 x0 ?
x1 ? x2 2

? ? m , y0 ? x0 ? m ? m .若 P 、 Q 两点关于直线 y ? ? x ? 1对
7 7

4

3

称, 则中点 M 必在直线 y ? ? x ? 1上,将其坐标代入,得 m ? 7 ? (?2 7 ,2 7 ) 矛盾,因此满足题给条件的点 P 、

Q 不存在.

???12 分
p 2

20.⑴解:当 AB 不垂直于 x 轴时,可设过焦点 F 的直线方程为 y ? k ( x ? ) ,联立方程 y 2 ? 2 px ,消去 x 得

y ? k(

y

2

2p

? ) ,即 ky 2 ? 2 py ? kp 2 ? 0 ,∴ y1 y2 ? ? p 2 ;当 AB 垂直于 x 轴时, A( , p) , B( , ? p) ,
2

p

p

p

2

2

有 y1 y2 ? ? p 2 .∵ y1 y2 ? ?4 ,∴ ? p 2 ? ?4 ,∴ p ? 2 .故抛物线的方程为 y 2 ? 4 x . ⑵证明:设 A(
y1
2

???6 分

2p

, y1 ) , B(

y2

2

2p

, y2 ) , M (? , t ) , F ( ,0) .则 kMA ?
2 2
y1 ? t p x1 ? 2
2

p

p

y1 ? t p , k MF x1 ? 2

?

?t p

, kMB ?

y2 ? t p ,且 x2 ? 2

x1 ?

y1

2

2p

, x2 ?

y2

2

2p

,又 y1 y2 ? ?4 ,∴ kMA ? kMB ?

?

y2 ? t p x2 ? 2
2

? y21 1

y ?t p 2p ? 2

? y22 2

y ?t p 2p ? 2

? 2p?

( y1 ? t )( y2 ? p ) ? ( y2 ? t )( y1 ? p )
2 2 2 2

( y1 ? p )( y2 ? p )
2 2 2 2

? 2p?

?t ( y1 ? y2 ? p )
2

p ( y1 ? y2 ? p )
2 2 2 2

??

2t p

? 2kMF ? 4 .
???13 分
c a

故 kMA ? kMB 为定值. 21.解:⑴∵抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 (0,1) 在椭圆的顶点上,∴ b ? 1 .又 e ?

?

3 2

, a 2 ? b 2 ? c 2 ,∴ a ? 2 ,故

49

椭圆 C1 的方程

x

2

4

? y2 ? 1 .

???4 分

⑵设 ?ABF2 的内切圆半径为 r ,则 ? r 2 ? ? ,∴ r ?1 .∵ ?ABF2 的周长为 4a ? 8 , ∴ S?ABF2 ? | AB | ?r ? | AF2 | ?r ? | BF2 | ?r ? (| AB | ? | AF2 | ? | BF2 |)r ? ? 4a ? r ? 4 .
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1

又 S?ABF2 ? | F1F2 | ? | y1 ? y2 |? ? 2c? | y1 ? y2 |? 3 | y1 ? y2 | ,∴ 3 | y1 ? y2 |? 4 ,故 | y1 ? y2 |?
2 2

1

1

4 3 3

. ??9 分

⑶设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y4 ) ,∵ y ? x2 ,∴ y? ? x ,∴切线 l1 、 l2 的斜率分
4 2

1

1

? y ? k ( x ? 1) 1 1 1 1 别为 x3 、 x4 .当 l1 ? l2 时, x3 ? x4 ? ?1 ,∴ x3 x4 ? ?4 .由 ? 2 ,得 x 2 ? 4kx ? 4k ? 0 , 2 2 2 2 ?x ? 4 y
? ? (?4k )2 ? 4 ? (?4k ) ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? 0 .∴ x3 x4 ? ?4k ? ?4 ,得 k ? 1 ,满足 ? ? 0 .
故所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . ???14 分

50



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