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1.1.2余弦定理2(2)


1.1.2余弦定理(二)

复习引入
余弦定理及基本作用 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角 就可以求出第三边.

复习引入
余弦定理及基本作用 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角 就可以求出第三边.

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

复习引入
余弦定理及基本作用

②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

复习引入
余弦定理及基本作用

②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

b ?c ?a cos A ? 2bc
2 2

2

a ?c ?b cos B ? 2ac
2 2 2 2

2

a ?b ?c cos C ? 2ab

2

练习:
1. 教材P. 8练习第2题. 2. 在△ABC中,若a2=b2 +c2 +bc, 求角A.

思考:
解三角形问题可以分为几种类型? 分别怎样求解的?

思考:
解三角形问题可以分为几种类型? 分别怎样求解的? (1)已知三角形的任意两边与其中一边的 o 对角,例如a=12, b=5, A=120 ;

思考:
解三角形问题可以分为几种类型? 分别怎样求解的? (1)已知三角形的任意两边与其中一边的 o 对角,例如a=12, b=5, A=120 ; (2)已知三角形的任意两角及其一边, o o 例如A=70 ,B=50 ,a=10;

思考:
解三角形问题可以分为几种类型? 分别怎样求解的? (3)已知三角形的任意两边及它们的夹 o 角,例如a=12, b=13, C=50 ;

思考:
解三角形问题可以分为几种类型? 分别怎样求解的? (3)已知三角形的任意两边及它们的夹 o 角,例如a=12, b=13, C=50 ; (4)已知三角形的三条边,例如a=10, b=12,c=9.

思考:
解三角形问题可以分为几种类型? 分别怎样求解的?求解三角形一定要 知道一边吗? (3)已知三角形的任意两边及它们的夹 o 角,例如a=12, b=13, C=50 ; (4)已知三角形的三条边,例如a=10, b=12,c=9.

讲解范例:
例1.在△ABC中,已知下列条件解三角形.

(1) A=30 ,a=10,b=20; o (2) A=30 ,a=10,b=6; o (3) A=30 ,a=10,b=15; o (4) A=120 ,a=10,b=5; o (5) A=120 ,a=10,b=15.

o

讲解范例:
例1.在△ABC中,已知下列条件解三角形.

(1) A=30 ,a=10,b=20; o (2) A=30 ,a=10,b=6; o (3) A=30 ,a=10,b=15; o (4) A=120 ,a=10,b=5; o (5) A=120 ,a=10,b=15.

o

一解

讲解范例:
例1.在△ABC中,已知下列条件解三角形.

(1) A=30 ,a=10,b=20; o (2) A=30 ,a=10,b=6; o (3) A=30 ,a=10,b=15; o (4) A=120 ,a=10,b=5; o (5) A=120 ,a=10,b=15.

o

一解 一解

讲解范例:
例1.在△ABC中,已知下列条件解三角形.

(1) A=30 ,a=10,b=20; o (2) A=30 ,a=10,b=6; o (3) A=30 ,a=10,b=15; o (4) A=120 ,a=10,b=5; o (5) A=120 ,a=10,b=15.

o

一解 一解 二解

讲解范例:
例1.在△ABC中,已知下列条件解三角形.

(1) A=30 ,a=10,b=20; o (2) A=30 ,a=10,b=6; o (3) A=30 ,a=10,b=15; o (4) A=120 ,a=10,b=5; o (5) A=120 ,a=10,b=15.

o

一解 一解 二解 一解

讲解范例:
例1.在△ABC中,已知下列条件解三角形.

(1) A=30 ,a=10,b=20; o (2) A=30 ,a=10,b=6; o (3) A=30 ,a=10,b=15; o (4) A=120 ,a=10,b=5; o (5) A=120 ,a=10,b=15.

o

一解 一解 二解 一解 无解

归纳:
1. 如果已知的A是直角或钝角,a>b, 只有一解;

归纳:
1. 如果已知的A是直角或钝角,a>b, 只有一解; 2. 如果已知的A是锐角,a>b,或a=b, 只有一解;

归纳:
1. 如果已知的A是直角或钝角,a>b, 只有一解; 2. 如果已知的A是锐角,a>b,或a=b, 只有一解; 3. 如果已知的A是锐角,a<b,

(1) a>bsinA,有二解; (2) a=bsinA,只有一解; (3) a<bsinA,无解.

练习:
(1) 在△ABC中, a=80, b=100, ∠A=45 , 试判断此三角形的解的情况. (2) 在△ABC中, 若a=1, c= ∠C=40 , 则符合题意的b的值有_____个. (3) 在△ABC中, a=xcm,b=2cm,∠B=45 , 如果利用正弦定理解三角形有两解, 求x的 取值范围.
o o

1 , 2

o

讲解范例:
例2.在△ABC中,已知a=7,b=5,c=3,
判断△ABC的类型.

练习:
(1)在△ABC中, 已知sinA:sinB:sinC=1:2:3, 判断此△ABC的类型. (2)已知△ABC满足条件acosA=bcosB, 判 断△ABC的类型.

讲解范例:
例3.在△ABC中,A=60 ,b=1,面积
o

3 a?b?c 为 ,求 的值. 2 sin A ? sin B ? sin C

练习:
(1) 在△ABC中,若a=55,b=16,且此三

角形的面积为S= 220 3 , 求角C.

(2) 在△ABC中,其三边分别为a、b、c, 2 2 2 a ? b ? c 求角C. 且三角形的面积形S= , 4

课堂小结
1. 在已知三角形的两边及其中一边的对 角解三角形时,有两解或一解或无解 等情形; 2. 三角形各种类型的判定方法; 3. 三角形面积定理的应用.

课后作业:
1. 在△ABC中, 已知b=4, c=10, B=30 , 试判断此三角形的解的情况. 2. 设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边 长,求实数x的取值范围. o 3. 在△ABC中, A=60 , a=1, b+c=2, 判 断△ABC的形状. 4. 三角形的两边分别为3cm,5cm,它们所 夹的角的余弦为方程5x2-7x-6=0的根, 求这个三角形的面积.
o


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