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上海市华东师范大学第二附属中学沪科版高中数学复习 函数定义域的类型和求法 练习

上海市华东师范大学第二附属中学沪科版高中数学复习 函数定义域的类型和求法 练习

函数定义域的类型和求法 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

例 1 求函数

的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足

由①解得

或 。③

由②解得





③和④求交集得



或 x>5。

故所求函数的定义域为



例 2 求函数

的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足

由①解得



由②解得



由③和④求公共部分,得

故函数的定义域为
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评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。

(1)已知 的定义域,求

的定义域。

其解法是:已知 的定义域。

的定义域是[a,b]求

例 3 已知 的定义域为[-2,2],求

的定义域是解 的定义域。

,即为所求

解:令

,得

,即

,因此

,从而



故函数的定义域是



(2)已知

的定义域,求 f(x)的定义域。

其解法是:已知

的定义域是[a,b],求 f(x)定义域的方法是:由

g(x)的值域,即所求 f(x)的定义域。

例 4 已知

的定义域为[1,2],求 f(x)的定义域。

解:因为



,求

即函数 f(x)的定义域是



三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例 5 已知函数

的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。

分析:函数的定义域为 R,表明

系数是 m,所以应分 m=0 或

进行讨论。

,使一切 x∈R 都成立,由 项的

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解:当 m=0 时,函数的定义域为 R;



时,

是二次不等式,其对一切实数 x 都成立的充要条件是

综上可知



评注:不少学生容易忽略 m=0 的情况,希望通过此例解决问题。

例 6 已知函数

的定义域是 R,求实数 k 的取值范围。

解:要使函数有意义,则必须 无实数

≠0 恒成立,因为 的定义域为 R,即

①当 k≠0 时,

恒成立,解得



②当 k=0 时,方程左边=3≠0 恒成立。

综上 k 的取值范围是



四、实际问题型 这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要 加倍注意,并形成意识。 例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形,求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数的解析式,并求函数 的定义域。

解:设矩形一边为 x,则另一边长为

于是可得矩形面积。

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。 由问题的实际意义,知函数的定义域应满足



故所求函数的解析式为

,定义域为(0, )。

例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为 2x, 求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并求定义域。

解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。

因为 CD=AB=2x,所以

,所以





根据实际问题的意义知

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故函数的解析式为

,定义域(0, )。

五、参数型

对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。

例 9 已知 的定义域为[0,1],求函数

的定义域。

解:因为 的解集:

的定义域为[0,1],即

。故函数 的定义域为下列不等式组

,即 即两个区间[-a,1-a]与[a,1+a]的交集,比较两个区间左、右端点,知

(1)当

时,F(x)的定义域为



(2)当

时,F(x)的定义域为



(3)当 或

时,上述两区间的交集为空集,此时 F(x)不能构成函数。

六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域 隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必 须先求定义域。

例 10 求函数

的单调区间。

解:由 3)。

,即

,解得

。即函数 y 的定义域为(-1,

函数

是由函数

复合而成的。

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上是增函数;在区间

,对称轴 x=1,由二次函数的单调性,可知 t 在区间

上是减函数,而

在其定义域上单调增;

,所以函数 上是增函数,在区间 上是减函数。

在区间

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