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(Word版)山西省太原市2017届高三年级模拟试题(二)数学(理科)

山西省太原市 2017 届高三年级模拟试题(二)

数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1? i 2 ? ?1 ? i ? ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数为( B ) z 1 1 1 1 1 1 1 1 (A) ? ? i (B) ? ? i (C) ? i (D) ? i 2 2 2 2 2 2 2 2
(1)已知
x (2)已知全集 U ? R ,集合 A ? ?0,1,2,3,4? , B ? y y ? 2 , x ? A ,则 ?CU A? ? B ? ( C )

?

?

(A) ? ??,0? ? ?3, ???

(B) x x ? 3, x ? N

?

?

(C) ?4,8?

(D) ? 4,8?

(3)已知 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1,1? ,则 a 在 b 方向上的投影为( A ) (A) ?

?

?

?

?

2 2

(B)

2 2

(C) ?

5 5

(D)

5 5

(4)已知 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S3 ? 2a1 ,则下列结论错误的是( D ) (A) a4 ? 0 (B) S4 ? S3 (C) S7 ? 0 (D) ?an ? 是递减数列

(5)如图, “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组 成的图形,若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为 为( B ) (A)

1 ,则途中直角三角形中较大锐角的正弦值 5

5 5

(B)

2 5 5

(C)

1 5

(D)

3 3

(6)执行下面的程序框图,则输出 S ? ( A ) (A)

3 2

(B) 3

(C) ?

3 2

(D) 0

(7)函数 f ? x ? ? (A)

ln x ? 1 1? x

的图象大致为( D ) (D)

(B)

(C)

1

(8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D ) (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

1 6

?3 x ? y ? 7 ? 0 ? (9)已知实数 x , y 满足条件 ? x ? 3 y ? 13 ? 0 ,则 z ? 2x ? 3 y ? 4 的最小值为( C ) ?x ? y ?1 ? 0 ?
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 8

(10)已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1的右焦点是抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点,直线 y ? kx ? m 与抛物线相交于 A , 3

B 两个不同的点,点 M ? 2, 2? 是 AB 的中点,则 AOB ( O 为坐标原点)的面积是( D )
(A) 4 3 (B) 3 13
2 x

(C) 14
2

(D) 2 3 D )

(11)已知 f ? x ? ? x ? e ,若函数 g ? x ? ? f (A) ? ??, ?2? ? ? 2, ???

? x? ? kf ? x? ?1 恰有四个零点,则实数 k 的取值范围是(
(C) ?

? 4 e2 ? (B) ? 2, 2 ? ? 4? ? e

?8 ? , 2? 2 ?e ?

(D) ?

? 4 e2 ? ? , ?? ? 2 4 ?e ?

(12)已知函数 f ? x ? ? ? 2a ? 1? x ? ( D ) (A) ?

1 ? ?? cos 2 x ? a ? sin x ? cos x ? 在 ?0, ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 2 ? 2?

? ? 5? ? , ? ? 9 18 ?

(B) ?

?? ? ? , ? ?9 3 ?

(C) ?

? ? 5? ? , ? ? 12 18 ?

(D) ?

? ? 5? ? , ?18 12 ? ?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) (13)已知 sin ?

3 ?? ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ,则 sin 2? ? 5 ?2 ?
5

?

24 25



1 ? ? (14) ? 2 x ? ? 1? 的展开项中常数项是 x ? ?

?161



2

(15) 已知三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BC ? 2 ,BD ? CD ? 2 , 点 E 是 BC 的中点, 点 A 在平面 BCD 射影恰好为 DE 的中点,则该三棱锥外接球的表面积为

60? 11



? ( 16 ) 已 知 点 O 是 ?ABC 的 内 心 , ?BAC ? 30 , BC ? 1 , 则 ?BOC 面 积 的 最 大 值 为

6 ? 3? 2 ?2 4



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
? (17) (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? an ?1 n ? N . ? (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? log 2 an n ? N ,求数列 ?bn ? cn ? 的前 n 项和 Tn . n ?1 n n 【解析】 (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,

?

?

?

?

?

?

又 a1 ? 1 符合上式,? an ? 2n ,?bn ? an ? an?1 ? 2n ? 2n?1 ? 3 ? 2n . (Ⅱ) cn ? log2 an ? log2 2n ? n , bn ? cn ? 3n ? 2n , Tn ? 3 ? 2 ? 6 ? 2 ? 9 ? 2 ? ?? 3? n ?1? ? 2
1 2 3 n?1

? 3n ? 2n ①,

2Tn ? 3? 22 ? 6 ? 23 ? 9 ? 24 ??? 3? n ?1? ? 2n ? 3n ? 2n?1 ②,① ? ②得,
?Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? 3n ? 2
1 2 3 4 n n ?1

? 3?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

? 3n ? 2n?1 ? 3 ?1 ? n ? ? 2n?1 ? 6 ,

?Tn ? 3? n ?1? ? 2n?1 ? 6
(18) (本小题满分 12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖规则如下: 1.抽奖方案有以下两种,方案 a :从装有 2 个红球、3 个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出 2 个球,若是 红球,则获得奖金 30 元;否则,没有奖金,兑奖后将抽出的球放回甲袋中;方案 b ;从装有 3 个红球,2 个白 球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出 2 个球,若是红球,则获得奖金 15 元;否则,没有奖金,兑奖后将抽出的 球放回乙袋中. 2.抽奖的条件是,顾客购买商品的金额满 100 元,可根据方案 a 抽奖一次;满 150 元,可根据方案 b 抽奖一次 (例如某顾客购买商品的金额为 260 元,则该顾客可以根据方案 a 抽奖两次或方案 b 抽奖一次或方案 a 、b 各抽 奖一次) ,已知顾客 A 在该商场购买商品的金额为 350 元. (Ⅰ)若顾客 A 只选择方案 a 进行抽奖,求其所获奖金的期望值; (Ⅱ)要使其所获奖金的期望值最大,顾客 A 应如何抽奖? 【解析】 (Ⅰ)顾客 A 只选择方案 a 进行抽奖,则其抽奖方式为按方案 a 抽奖三次, 按方案 a 一次抽中的概率为 P ? A? ? 设所的奖金为 x ,则 Ex ? 3 ?
2 C2 1 ? 1? ? ,此时满足二项分布 B ? ? 3, ? , 2 C5 10 ? 10 ?

1 ? 30 ? 9 ,故顾客 A 所获奖金的期望值为 9 元. 10

(Ⅱ)按方案 b 一次抽中的概率为 P ? B ? ?

C32 3 ? , C52 10

3

假设①:顾客 A 按方案 a 抽奖两次,按方案 b 抽奖一次,此时方案 a 的抽法满足二项分布 B1 ? ? 2,

? 1? ?, ? 10 ?

方案 b 的抽法满足二项分布 B2 ? ? 2,

1 3 ? 3? ? ,设所的奖金为 x1 ,则 Ex1 ? 2 ? 10 ? 30 ? 1? 10 ?15 ? 10.5 , ? 10 ?

假设②:顾客 A 按方案 b 抽奖两次,此时方案 a 的抽法满足二项分布 B ? ? 2, 设所的奖金为 x3 ,则 Ex3 ? 2 ?

? 3? ?, ? 10 ?

3 ? 15 ? 9 , 10

综上可知, Ex1 ? Ex3 ? Ex2 ,故顾客 A 应该按方案 a 抽奖两次,按方案 b 抽奖一次. (19) (本小题满分 12 分) 如图 (1) , 在平面六边形 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是矩形, 且 AB ? 4 ,BC ? 2 ,

N 分别是 AD , BC 的中点, BC 将 ?ADE , ?BCF 点M , 分别沿直线 AD , AE ? DE ? 2 , BF ? CF ? 5 ,
翻折成如图(2)的空间几何体 ABCDEF . (Ⅰ)利用下列结论 1 或结论 2,证明: E 、 F 、 M 、 N 四点共面; 结论 1:过空间一点作已知直线的垂面,有且仅有一个. 结论 2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且仅有一个. (Ⅱ)若二面角 E ? AD ? B 和二面角 F ? BC ? A 都是 60 ,求二面角 A ? BE ? F 的余弦值.
?

【解析】 (Ⅰ)连结 MN , EM , FN ,则由题意可知: ①: AD ? MN , AD ? EM ,而 MN , EM ? 面 EMN ,? AD ? 面 EMN ; ②: BC ? MN , BC ? FN ,而 MN , FN ? 面 FMN ,? BC ? 面 FMN ; 由结论 1 可知,面 EMN 和面 FMN 都是唯一的,由结论 2 可知,过 MN 垂直于面 ABCD 的面是唯一的, 所以面 EMN 和面 FMN 重合,所以 E 、 F 、 M 、 N 四点共面. (Ⅱ)分别过点 E , F 作面 ABCD 的垂线,分别交 MN 于点 E?, F ? ,则: ?EME? ? ?FNF ? ? 60 ,
?

由题意可知: EM ? 1, FN ? 2 ,? ME? ?

1 3 5 7 , EE? ? , NF ? ? 1, FF ? ? 3, E?F ? ? , E?N ? , 2 2 2 2

如图建立空间直角坐标系,可得: A ?1, ?

? ?

1 ? ? 7 ? ? 3? ? 5 ? , 0 ? , B ?1, , 0 ? , E ? 0, 0, , F ? 0, , 3 ? , ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 1 2

①:在面 ABE 中, AB ? ? 0, 4, 0 ? , EA ? ?1, ? , ?

??? ?

??? ?

? ? ?

?? 3? ,设其法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? 2 ? ?
4

?4 y1 ? 0 ?? ? n 则: ? ,故可取 1 ? 1 3 z1 ? 0 ? x1 ? y1 ? ? 2 2
②:在面 BEF 中, EF ? ? 0, , ?

?

3, 0, 2 .

?

??? ?

? ?

? ? 7 ?? ? 5 3 ? ??? 3? , EB ? 1, , ? ,设其法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? , ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? ? ? ?

?5 3 z2 ? 0 ? y2 ? ?? ? ?2 2 则: ? ,故可取 n2 ? ?6 3, 3, ?5 . ?x ? 7 y ? 3 z ? 0 2 2 2 ? ? 2 2 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 238 238 所以 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ,故二面角 A ? BE ? F 的余弦值 ? . ? ?? 17 17 n1 n2

?

?

( 20 ) ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 曲 线 C 由 左 半 椭 圆 M :
2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0, x ? 0 ? 和 圆 a 2 b2

2 N : ? x? 2? ? y ?5 在 y 轴右侧的部分连接而成, A , B 是 M 与 N 的公共点,点 P , Q (均异于点 A , B )

分别是 M , N 上的动点. (Ⅰ)若 PQ 的最大值为 4 ? 5 ,求半椭圆 M 的方程; (Ⅱ)若直线 PQ 过点 A ,且 AQ ? ?2 AP , BP ? BQ ,求半椭圆 M 的离心率.

????

??? ?

??? ?

??? ?

【解析】 (Ⅰ)由已知得:当 P 为半椭圆与 x 轴的左交点, Q 为圆与 x 轴的右交点时, PQ 会取得最大值,即

x2 5 ? 2 ? a ? 4 ? 5 ,解得 a ? 2 ,由图像可得 A ? 0,1? ,即 b ? 1 ,故半椭圆 M 的方程为 ? y 2 ? 1? x ? 0 ? . 4
(Ⅱ)设直线 PQ 方程为 y ? kx ? 1 , P ? xP , yP ? , Q xQ , yQ ,联立 ?

?

?

? ? y ? kx ? 1 , 2 2 x ? 2 ? y ? 5 ? ? ? ?

2 2 得 k ? 1 x ? ? 2k ? 4 ? x ? 0 ,故 x A ? xQ ?

?

?

???? ??? ? 4 ? 2k 4 ? 2k ? k 2 ? 4k ? 1 ? x ? y ? , , ,又 , AQ ? ? 2 AP Q Q k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

即 xQ , yQ ? 1 ? ?2 ? xP , yP ? 1? ,? xP ?

?

?

? k ? 2 2k 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 4 P , , ? 2 ?, k 2 ?1 ? k 2 ?1 ? k ?1

又 BP ? BQ ,且 BQ ? xQ , yQ ? 1 , BP ? ? xP , yP ? 1? ,? xP xQ ? ? yP ? 1? yQ ? 1 ? 0 ,
5

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

??? ?

?

?

代入点坐标可得 k ?

1 2 ? 3 1? ? 1 1? , P ? ? , ? ,联立直线 PQ 与半左椭圆得 ? 2 ? ? x 2 ? x ? 0 , 3 3 ? 2 2? ?a 9?

? xP ? ?

6a 2 3 c 6 ? ? ? a ? 3 ,故 e ? ? . 2 9?a 2 a 3

2 ?x (21) (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? mx ? x ? m e ? a ? R ? .

?

?

(Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 0 时,证明:不等式 f ? x ? ?
?x 【解析】 (Ⅰ)依题意得 f ? ? x ? ? ? ? ? mx ? ? m ? 1? ? ? ? x ? 1? e

m ? 1? 在 ? 0,1 ? ? 上恒成立. x ? m?

①:当 m ? 0 时, f ? ? x ? ? ? x ?1? e ,令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 ,令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 ,
?x

6

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? , (其中 ? 为参数) .以原点 O 为极点, x 轴的正半轴 ? y ? sin ?

为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? tan ? ? cos? ? sin ? ? ? 1( ? 为常数,0 ? ? ? ? , 且? ? 点 A , B ( A 在 x 轴的下方)是曲线 C1 与 C2 的两个不同交点. (Ⅰ)求曲线 C1 普通方程和 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)求 AB 的最大值及此时点 B 的坐标.

?
2

) ,

7

x ? ? x ? 2cos ? ?cos ? ? x2 2 【解析】 (Ⅰ)由 ? 得? 2 ,平方,相加得 C1 : ? y ? 1, C2 : tan ? ? x ? y ? 1 ? 0 . 4 ? y ? sin ? ? ?sin ? ? y
(Ⅱ)将 C2 化为参数方程: ?

? x ? t cos ? ( t 为参数) ,将 C2 参数方程代入 C1 , ? y ? ?1 ? t sin ?

得?

2sin ? ?1 ? , t1 ? t2 ? 0 , cos2 ? ? sin 2 ? ? t 2 ? 2sin ? ? t ? 0 , t1 ? t2 ? 1 2 2 ?4 ? cos ? ? sin ? 4
2sin ? 1 cos 2 ? ? sin 2 ? 4 ? 8 3sin ? ? 1 sin ?
,? 0 ? ? ? ? ,且 ? ?

? AB ?

?
2

, sin ? ? ? 0,1? ,

? AB min ?

? 4 2 1? 4 3 , ? ,此时点 B 的坐标为 ? ? ? ?. 3 3 3 ? ?

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 已知函数 f ? x ? ? x ? m ? 2x ?1 ? m ? 0? . (Ⅰ)当 m ? 1 时,解不等式 f ? x ? ? 3 ; (Ⅱ)当 x ? ? ? m, 2m ? ? 时,

不等式

1 f ? x ? ? x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

? ??3x, x ? ?1 ? 1 ? 【解析】 (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ?2 ? x, ?1 ? x ? ,由 f ? x ? ? 3 解得 x ? ?1 或 x ? 1 . 2 ? 1 ? 3 x, x ? ? ? 2
(Ⅱ)

1 1 1 m, 2m 2 ? f ? x ? ? x ? 1 ? x ? m ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ,? x ? ? ? ? ,且 m ? 0 , 2 2 2 1 m 1 ? x ? ? x ?1 ? 2x ?1 ? m ? 2 x ?1 ? 2x ?1 ? x , 2 2 2

1 ? 3 x ? 1, 0 ? x ? ? ?m ? 0 1 ? 2 令 t ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2x ?1 ? x ? ? ,由题意得 ? ,解得 m ? , 2 2 ? m ? 2m ?3 ? x, x ? 1 ? ? 2
1 ? t ? x ?min ? t ? 2m 2 ? ? m ? m ? 1 ,? ? m ? 1 . 2

8



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