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高中数学北师大版必修五课件:第一章 数列 章末分层突破_图文

巩 固 层

拓 展 层

章末分层突破
提 升 层 章 末 综 合 测 评

[自我校对] ①an=a1+(n-1)· d n?n-1? ②Sn=na1+ 2 d ③an=a1qn-1(a1≠0,q≠0) na ?q=1? ? ? 1 ④Sn=?a1?1-qn? a1-anq = ?q≠1? ? 1-q ? 1-q

_________________

等差、等比数列的判定
判定一个数列是等差或等比数列的方法: an+1-an=d(常数)?{an}是等差数列 定义法 a + n 1 an =q(非零常数)?{an}是等比数列 中项公 2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列 式法 a2 an+2(an+1、an+2≠0)?{an}是等比数列 n+1=an·

通项公 an=pn+q(p、q 为常数)?{an}是等差数列 式法 前n项 和公式 an=cqn(c、q 均为非零常数)?{an}是等比数列 Sn=An2+Bn(A、B 为常数)?{an}是等差数列 Sn=k· qn-k(k 为常数,且 q≠0,k≠0,q≠1)?{an} 为等比数列

设关于 x 的二次方程 anx2-an+1x+1=0(n∈N+)有两个实根 α 和 β, 且满足 6α-2αβ+6β=3. (1)试用 an 表示 an+1.
? 2? (2)求证:?an-3?是等比数列. ? ?

7 (3)当 a1=6时,求数列{an}的通项公式. 【导学号:67940028】

【精彩点拨】 消去 α, β 得到

? 2? an, an+1 的关系式, 利用定义证明数列?an-3? ? ?

2 为等比数列,然后求出 an-3,从而求得 an.

【规范解答】

an+1 ? ?α+β= an , (1)由根与系数的关系,得? ?αβ= 1 , an ?

1 1 代入 6α-2αβ+6β=3 并化简得 an+1=2an+3. 2? 1 1 2 1? (2)证明:因为 an+1=2an+3,所以 an+1-3=2?an-3?, ? ? 2 an+1-3 ? 2? 1 2 ?an- ?是公比 于是 = ( 由题中方程有两个实根, 可以证明 a 故 n≠ ), 3? 2 2 3 ? an-3 1 为2的等比数列.

? 2? 7 2 1 1 1 ? ? (3)当 a1=6时,a1-3=2,所以 an-3 是首项为2,公比为2的等比数列.于 ? ?

2 1 ?1?n-1 ?1?n 2 ?1?n ? ? ? ? ,故 an= +? ? (n∈N+). 是 an-3=2· = 3 ?2? ?2? ?2?

[再练一题]
?1? 2an 1.已知数列{an}满足 a1=2,an+1= ,证明数列?a ?是等差数列. an+2 ? n?

an+2 1 1 2an 1 【证明】 因为 an+1= ,所以 = =2+a , an+2 an+1 2an n 1 1 1 1 所以 - = ,因为a =2, an+1 an 2 1
?1? 1 1 ? ? 所以数列 a 是以2为首项,2为公差的等差数列. ? n?

1

数列通项公式的求法
求数列通项公式的几种常见类型及方法: 1.定义法求通项公式. 若数列是等差或等比数列,可代入通项公式求解. 2.利用 Sn 与 an 的关系求通项公式. 可根据
? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

求通项公式. 这里在应用 an=Sn-Sn-1 时常常忽略 n≥2 这个条件, 只有当 n =1 时 a1=S1.求解后单独验证 a1 是否符合 an=Sn-Sn-1, 若符合 an 即为通项公式, 否则要用分段函数表示. 3.根据相邻两项的关系求通项公式. (1)累加法:已知 a1,且 an+1-an=f(n)(f(n)为可求和的数列),可用累加法. an+1 (2)累乘法:已知 a1,且 a =f(n)(f(n)为可求积的数列)可用累乘法. n

已知数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,且 n,an,Sn 成等差数列,求 数列{an}的通项公式.

【精彩点拨】 利用 an 与 Sn 的关系求 an.

【规范解答】 ∴2an=n+Sn,

∵n,an,Sn 成等差数列,

∴2an+1=n+1+Sn+1, 两式相减,2an+1-2an=1+an+1, an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1), an+1+1 =2, an+1

∴{an+1}是等比数列,公比为 2. 又 2a1=1+S1,∴a1=1, ∴首项为 a1+1=2, ∴an+1=(a1+1)· 2n-1=2n, an=2n-1.

[再练一题]
2 2.设{an}是首项为 1 的正项数列且(n+1)a2 - na n+1 n+an+1an=0(n∈N+),求

an.

2 【解】 由(n+1)a2 n+1-nan+an+1an=0 得

(an+1+an)(nan+1-nan+an+1)=0,因为 an+1+an>0, an+1 a2 a3 1 n an 所以(n+1)an+1-nan=0,所以 a = ,所以 an=a1· · · …· =1×2 a a n+1 an-1 n 1 2 n-1 1 2 3 ×3×4×…× n =n.

数列求和
数列求和常用的方法: (1)公式法. (2)分组求和法. (3)倒序求和法. (4)错位相减法. (5)裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以 相互抵消,从而求得其和. (6)并项求和法.一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项 求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.

已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式;
? ? an ? ? ? (2)求数列 2n-1?的前 ? ? ? ?

n 项和.

【精彩点拨】 (1)利用 a1 和 d 建立方程组求解. (2)利用错位相减法求和.

【规范解答】

(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得
? ?a1=1, 解得? ? ?d=-1.

? ?a1+d=0, ? ? ?2a1+12d=-10,

故数列{an}的通项公式为 an=2-n.
? ? an ? ? ? (2)设数列 2n-1?的前 ? ? ? ?

n 项和为 Sn, ①

a2 an 即 Sn=a1+ 2 +…+ n-1, 2

Sn a1 a2 an 故 S1=1, 2 = 2 + 4 +…+2n, ② 所以,当 n≥2 时,①-②得:

a2-a1 an-an-1 an Sn 2 =a1+ 2 +…+ 2n-1 -2n
?1 1 1 ? ? ? 2-n =1-?2+4+…+2n-1?- 2n ? ? ? 1 ? n ? ? 2-n =1-?1-2n-1?- 2n =2n. ? ?

所以 Sn=

. 2n-1 n 项和 Sn= n-1. 2 n

n

? ? an ? ? ? 综上,数列 2n-1?的前 ? ? ? ?

[再练一题] 1 2 2 n 3.在数列{an}中,an= + +…+ ,又 bn= ,求数列{bn} n+1 n+1 n+1 anan+1 的前 n 项和.

1 2 2 n n 【解】 an= + +…+ = ,因为 bn= , n+1 n+1 n+1 2 anan+1
?1 1 ? 8 ? 所以 bn= =8?n-n+1? , ? n?n+1? ? ?

所以数列{bn}的前 n 项和为
? 1 ? 8n ? ? =8?1-n+1?= . ? ? n+1

?? ?1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?? ? ? Sn=8? 1-2?+?2-3?+…+?n-n+1?? ? ? ? ? ?? ? ??

转化与化归思想

转化与归纳思想实质是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过 变换使之转化,进而得到解决的一种方法.由递推公式求通项公式,要求掌握 的方法有两种:一种求法是先找出数列的前几项,通过观察、归纳得出,然后 证明;另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列,再采用公式求出.

已知数列{an}中,a1=5 且 an=2an-1+2n-1(n≥2 且 n∈N+). 【导 学号:67940029】 (1)求 a2,a3 的值; (2)是否存在实数
? ?an+λ? ? ? λ,使得数列 n ?为等差数列?若存在,求出 ? ? 2 ? ?

λ 的值;若

不存在,请说明理由. (3)求通项公式 an.

【精彩点拨】

(1)利用递推公式直接代入求解即可.(2)假设存在 λ,利用

条件求解 λ.(3)利用(2)的结论求解.

【规范解答】

(1)∵a1=5,∴a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33.
? ?an+λ? ? ? λ,使得数列 n ?为等差数列.设 ? ? 2 ? ?

(2)假设存在实数

an+λ bn= 2n ,由{bn}为等

差数列,则有 2b2=b1+b3, a2+λ a1+λ a3+λ 13+λ 5+λ 33+λ ∴2× 22 = 2 + 23 , 2 = 2 + 8 , 解得 λ=-1.

an+1-1 an-1 1 事实上,bn+1-bn= n+1 - 2n = n+1[(an+1-2an)+1] 2 2 = 1 2
n+1

[(2n+1-1)+1]=1.
? ?an+λ? ? ?为首项是 λ=-1,使得数列? ? 2 ? ? ?

综上可知,存在实数 数列.

2,公差是 1 的等差

? ?an-1? ? ? (3)由(2)知,数列 n ?为首项是 ? ? 2 ? ?

2,公差为 1 的等差数,

an - 1 ∴ 2n =2+(n-1)×1=n+1, ∴an=(n+1)2n+1.

[再练一题] 4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+ 2n(n∈N+). (1)求 a2,a3 的值; (2)求证:数列{Sn+2}是等比数列. 【导学号:67940029】

【解】 (1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N+), ∴当 n=1 时,a1=2×1=2; 当 n=2 时,a1+2a2=(a1+a2)+4, ∴a2=4; 当 n=3 时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,∴a3=8.

(2)证明:∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N+),① ∴当 n≥2 时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1),② ①-②得 nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan- Sn+2Sn-1+2. ∴-Sn+2Sn-1+2=0,即 Sn=2Sn-1+2, ∴Sn+2=2(Sn-1+2). ∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0, Sn+2 ∴ =2,故{Sn+2}是以 4 为首项, Sn-1+2 2 为公比的等比数列.

1.(2015· 浙江高考)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn, 若 a3,a4,a8 成等比数列,则( A.a1d>0,dS4>0 ) B.a1d<0,dS4<0

C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 2 【解析】 ∵a3,a4,a8 成等比数列,∴a2 = a a , ∴ ( a + 3 d ) =(a1+2d)(a1 4 3 8 1
5 2 +7d),展开整理,得-3a1d=5d ,即 a1d=-3d .∵d≠0,∴a1d<0.∵Sn=na1+
2

n?n-1? 2 2 2 2 d,∴S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d =-3d <0. 【答案】 B

2.(2015· 安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8, 则数列{an}的前 n 项和等于________.

【解析】

设等比数列的公比为 ? ?a1=8, 或? 1 q=2. ? ?

3 ? ?a1+a1q =9, q,则有? 2 3 ? q =8, ?a1·

? ?a1=1, 解得? ? ?q=2,

? ?a1=1, 又{an}为递增数列,∴? ? ?q=2,

1-2n ∴Sn= =2n-1. 1-2

【答案】 2n-1

3.(2015· 全国卷Ⅱ)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1, 则 Sn=________.

【解析】

∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,

∴Sn+1-Sn=SnSn+1. 1 1 1 1 ∵Sn≠0,∴S - =1,即 - =-1. Sn+1 Sn+1 Sn n
?1? 1 又S =-1,∴?S ?是首项为-1,公差为-1 的等差数列. ? n? 1

1 1 ∴S =-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-n. n 1 【答案】 -n

4.(2015· 江苏高考)设数列 an 满足 a1=1,且 an+1-an=n+1(n∈N*),则数
? ? ? ? ? ?

?1? 列?a ?前 ? n?

10 项的和为______.

【解析】

由题意有 a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).以上

?n-1??2+n? n2+n-2 各式相加,得 an-a1=2+3+…+n= = . 2 2 n2+n 又∵a1=1,∴an= 2 (n≥2). n2+n ∵当 n=1 时也满足此式,∴an= 2 (n∈N*).
?1 1 ? 1 2 ? ∴a = 2 =2?n-n+1? ?. n +n n ? ? ?1 1 1 1 ? 1 1? 1 ? 20 ∴S10=2×?1-2+2-3+…+10-11?=2×?1-11?=11. ? ? ? ?

20 【答案】 11

5.(2015· 浙江高考)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零.若 a2,a3,a7 成 等比数列,且 2a1+a2=1,则 a1=________,d=________.

【解析】 ∵a2,a3,a7 成等比数列,∴a2 3=a2a7, ∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),即 2d+3a1=0. ① 又∵2a1+a2=1,∴3a1+d=1. ② 2 由①②解得 a1=3,d=-1.

2 【答案】 3 -1

6. (2015· 全国卷Ⅰ)在数列{an}中, a1=2, an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和. 若 Sn=126,则 n=________.
【解析】 ∵a1=2,an+1=2an,

∴数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 2?1-2n? 又∵Sn=126,∴ =126,∴n=6. 1-2

【答案】 6

1 7.(2015· 安徽高考)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+2(n≥2),则数列{an} 的前 9 项和等于________.

1 【解析】 由 a1=1,an=an-1+2(n≥2),可知数列{an}是首项为 1,公差为 9×?9-1? 1 1 ×2=9+18=27. 2的等差数列,故 S9=9a1+ 2
【答案】 27

8.(2015· 福建高考)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an-2+n,求 b1+b2+b3+…+b10 的值.

【解】

(1)设等差数列{an}的公差为 d,

? ?a1+d=4, 由已知得? ? ??a1+3d?+?a1+6d?=15, ? ?a1=3, 解得? ? ?d=1.

所以 an=a1+(n-1)d=n+2.

(2)由(1)可得 bn=2n+n, 所以 b1+b2+b3+…+b10 =(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) 2?1-210? ?1+10?×10 = + 2 1-2 =(211-2)+55 =211+53=2 101.

9.(2015· 山东高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn=3n+3. (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 anbn=log3an, 求{bn}的前 n 项和 Tn. 【导学号: 67940030】

【解】

(1)因为 2Sn=3n+3,

所以 2a1=3+3,故 a1=3. 当 n≥2 时,2Sn-1=3n 1+3,


此时 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1, 即 an=3n-1, 所以
? ?3, an=? n-1 ? , ?3

n=1, n≥2.

1 (2)因为 anbn=log3an,所以 b1=3, 当 n≥2 时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)· 31-n. 1 所以 T1=b1=3; 当
? ? ? -

n≥2


时 , Tn = b1 + b2 + b3 + … + bn
-n? ? ?

1 = 3 +

1×3 1+2×3 2+…+?n-1?×31



所以 3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],

两式相减,得
1-n 1 - 3 2 2 1 2Tn=3+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=3+ -1 -(n-1)×3 1-3
-n

13 6n+3 =6- , 2×3n 13 6n+3 所以 Tn=12- . 4×3n 经检验,n=1 时也适合. 13 6n+3 综上可得 Tn=12- . 4×3n

10.(2015· 安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列,且 a1+a4=9,a2a3 =8. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. SnSn+1

【解】 (1)由题设知 a1· a4=a2· a3=8, 又
? ?a1=1, a1+a4=9,可解得? ? ?a4=8 ? ?a1=8, 或? ? ?a4=1?舍去?.

由 a4=a1q3 得公比 q=2,故 an=a1qn-1=2n-1.

a1?1-qn? n (2)Sn= =2 -1. 1-q an+1 Sn+1-Sn 1 1 又 bn= = = - , SnSn+1 SnSn+1 Sn Sn+1 所以 1 - n +1 . 2 -1
?1 ?1 1 ? 1? ?1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? Tn=b1+b2+…+bn= S -S + S -S +…+?S -S ?=S - =1 + n Sn+1 ? 1 ? 2 2? 3? n 1? 1 ?



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