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高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和二学案新人教A版必修


2.5 等比数列的前 n 项和(二) [学习目标] 1.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想解决与 等比数列前 n 项和有关的问题. 知识点一 等比数列前 n 项和的变式 1. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 当公比 q≠1 时, Sn= a1(1-qn) a1(qn-1) a1-anq = = = 1-q q-1 1-q a1qn a1 - ; q-1 q-1 当 q=1 时,Sn=na1. a1(1-qn) a1 2. 当公比 q≠1 时, 等比数列的前 n 项和公式是 Sn= , 它可以变形为 Sn=- · qn 1-q 1-q + a1 1-q ,设 A= ,上式可写成 Sn=-Aq +A.由此可见,非常数列的等比数列的前 n 项 1-q a1 n 和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的, 而指数式的系数与常数项互为相反数. 当公比 q=1 时,因为 a1≠0,所以 Sn=na1 是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数). 思考 在数列{an}中, an+ 1= can(c 为非零常数)且前 n 项和 Sn= 3 n -1 + k,则实数 k 等于 ________. 1 答案 - 3 解析 由题{an}是等比数列, ∴3 的系数与常数项互为相反数, 1 n 而 3 的系数为 , 3 1 ∴k=- . 3 知识点二 等比数列前 n 项和的性质 1.连续 m 项的和(如 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m)仍构成等比数列.(注意:q≠-1 或 m 为奇数) 2.Sm+n=Sm+q Sn(q 为数列{an}的公比). 3.若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列,则 m n S偶 =q. S奇 ) 思考 在等比数列{an}中,若 a1+a2=20,a3+a4=40,则 S6 等于( A.140 B.120 C.210 D.520 答案 A 1 解析 S2=20,S4-S2=40,∴S6-S4=80, ∴S6=S4+80=S2+40+80=140. 题型一 等比数列前 n 项和的性质 例 1 (1)等比数列{an}中,S2=7,S6=91,则 S4=______. (2)等比数列{an}共有 2n 项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80, 则公比 q=____. 答案 (1)28 (2)2 解析 (1)∵数列{an}是等比数列, ∴S2,S4-S2,S6-S4 也是等比数列, 即 7,S4-7,91-S4 也是等比数列, ∴(S4-7) =7(91-S4), 解得 S4=28 或 S4=-21. 又∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q +a2q =(a1+a2)(1+q )=S2·(1+q )>0, ∴S4=28. (2)由题 S 奇+S 偶=-240,S 奇-S 偶=80, ∴S 奇=-80,S 偶=-160, ∴q= 2 2 2 2 2 S偶 =2. S奇 反思与感悟 解决有关等比数列前 n 项和的问题时,若能恰当地使用等比数列前 n 项和的相 关性质,常常可以避繁就简.不仅可以减少解题步骤,而且可以使运算简便,同时还可以避 免对公比 q 的讨论.解题中把握好等比数列前 n 项和性质的使用条件,并结合题设条件寻找 使用性质的切入点,方可使“英雄”有用武之地. 跟踪训练 1 (1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 等于( 7 A.2 B. 3 C.

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