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浙江省富阳二中2016届高三上学期第二次质量检测数学(理)试卷

富阳二中 2016 届高三 10 月第二次质量检测

数学(理科)问卷

命题人:林国成

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有

一个选项是符合题目要求的。
? ? ? ? 1.已知集合 A ? x y ? ln(1? 2x) , B ? x x2 ≤ x ,则 CA B ( A B)= ( ▲ )

A. (??, 0)

B. (? 1 ,1] 2

C. (??, 0) [1 ,1] 2

D. (? 1 , 0] 2

2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ▲ )

A. 1 ? 2? 3

B. 13? 6

C. 7? 3

D. 5? 2

3.已知 a,b∈R,下列四个条件中,使“a>b”成立的必要而不充分的条件是( ▲ )

A.a>b 1

B.a>b+1

C.| a |>| b |

D.2a>2b

4.已知点 A 的坐标为 (4 3,1) ,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 ? 至 OB ,则点 B 的纵坐 3
标为( ▲ ).

A. 3 3 2

B. 5 3 2

C. 11 2

D. 13 2

5.等比数列{an}的首项为 2,项数为奇数,其奇数项之和为3825,偶数项之和为1261,这个等比

数列前 n 项的积为 Tn(n≥2),则 Tn 的最大值为(▲)

A.14

B.12

C.1

D.2

6.能够把椭圆 C x2 ? y2 ? 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f (x) 称为椭圆 C 48

的“亲和函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是( ▲ )

A. f (x) ? x3 ? x2

B. f (x) ? 1n 5 ? x 5? x

C. f (x) ? sin x ? cos x

D. f (x) ? ex ? e?x

7.设 a,b ? R ,关于 x, y 的不等式| x | ? | y |? 1和 ax ? 4by ≥ 8 无公共解,则 ab 的取值范围

是( ▲ )

A. ? ?16,16?

B. ? ?8, 8?

C.??4, 4?

D.??2, 2?

8. 抛物线 y2 ? 2x 的内接 ? ABC 的三条边所在直线与抛物线 x2 ? 2 y 均相切,设 A,B 两点

的纵坐标分别是 a,b ,则 C 点的纵坐标为( ▲ )

A. a ? b

B. ?a ? b

C. 2a ? 2b

D. ?2a ? 2b

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。

9.命题 p : ?x0 ? R , 2x0 ≤ 0 ,命题 q : ?x ? (0, ??), x ? sin x ,其中真命题的是 ▲ ;命 题 p 的否定是 ▲ ;

10.

设函数

f (x)

?

???2x2 ? 1(x ≥

? ??log

2(1

-

x)(x

1)
,则
? 1)

f

( f (4)) =



,若 f (a) ? ?1 ,则 a ?

▲;

11.函数 f (x) ? sin2 x ? sin x cos x ?1的最小正周期是 ▲ ,单调递减区间是 ▲ ;

12.若 a ? log4 3 ,则 2a ? 2?a ? ▲ ; 13. 在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中,若 AB=BB1 , D 是 CC1 中点,则 CA1 与 BD 所成角的大
小是 ▲ ;

14 .若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4xy ,且不等式 (x ? 2 y)a2 ? 2a ? 2xy ? 34 ? 0 恒成立,
则实数 a 的取值范围是 ▲ ;
15.已知数列?an? 前 n 项的和为 Sn ,
(1) 若 a1 ? 1, an ? an?1 ? 2n ?1,则 S49 = ▲ ; (2) 若 a1 ? 1,an+1 ? an ? 2n (n ? N?) ,则 S2015 = ▲ ; (3) 若 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 S40 ? ▲ 。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (15 分)在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,

已知 ( 3 sin B ? cos B)( 3 sin C ? cos C) ? 4 cos B cos C . (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 sin B ? p sin C ,且 ?ABC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围.
17.(本题满分 15 分)如图,在四面体 ABCD 中,已知∠ABD=∠CBD=60°,AB=BC=2, (Ⅰ) 求证:AC⊥BD;
(Ⅱ)若平面 ABD⊥平面 CBD,且 BD= 5 ,求二面角 C-AD-B 的余弦值。 2

18.

(本小题满分

14

分)如图所示,椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 与直线

AB :

y

?

1 2

x ?1相

切于点 A .

(I)求 a,b 满足的关系式,并用 a,b 表示点 A 的坐标;

(II)设 F 是椭圆的右焦点,若 ?AFB 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形,求椭圆 C 的

标准方程.

(第 18 题图)

19.(本小题满分 15 分)已知 a ? R ,设函数 f (x) ? x | x ? a | ? x . (Ⅰ) 若 a ? 1时,求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ) 若 a ? 1,对于任意的 x ?[0, t] ,不等式 ?1 ? f (x) ? 6 恒成立,求实数 t 的最大值及 此时 a 的值.

20.(本小题满分

15

分)已知椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0 ),其右顶点为 ? ?2, 0? ,上、

下顶点分别为

?1



?2

.直线

??2

的斜率为

1 2

,过椭圆的右焦点

F

的直线交椭圆于

?



?

两点( ? , ? 均在 y 轴右侧).

??? 求椭圆的方程;

???? 设四边形 ???1?2 面积为 S ,求 S 的取值范围.

富阳二中 2016 届高三数学(理科)参考答案

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案 C

B

A

D

9. q ; ?x ? R,2x ? 0 ;

11. ? ,[3? ? k? , 7? ? k? ] ,( k ? Z .);

8

8

13. 900 ;

15. 1177; 21009 - 3 ;820。
16. 解(Ⅰ) 由题意得

D

B

A

B

10. 5;1 或 1 ; 2
12. 4 3 ; 3
14. a ? ?3或a ? 5 ; 2

3sin B sin C ? cos B cos C ? 3 sin B cos C ? 3 cos B sin C ? 4 cos B cos C

? ? 3 sin(B ? C) ? 3cos(B ? C) ……………………………………(4 分) ? tan(B ? C) ? ? 3 ? B ? C ? 2?
3 ? A ? ? ……………………………………(7 分)
3

(Ⅱ) p ? sin B ? sin(120? ? C) ? 3 ? 1 ……………………………(10 分)

sin C

sin C

2 tan C 2

? ?ABC 为锐角三角形,且 A ? ? 3

? ? ? C ? ? ? tan C ? 3 ……………………………………(14 分)

6

2

3

? 1 ? p ? 2 .……………………………………(15 分) 2
17.(I)证明(方法一):∵ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD .

∴ ?ABD ? ?CBD . ∴ AD ? CD .………………………2 分

取 AC 的中点 E ,连结 BE, DE ,则 BE ? AC , DE ? AC .

………………………………………………………………3 分

又∵ BE ? DE ? E , ……………………………………4 分

BE ? 平面 BED , BD ? 平面 BED ,

∴ AC ? 平面 BED , ……………………………………5 分

∴ AC ? BD ………………………………………………6 分

(方法二):过 C 作 CH ⊥ BD 于点 H .连接 AH .…1 分

∵ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . ∴ ?ABD ? ?CBD .∴ AH ⊥ BD .…………………3 分 又∵ AH ? CH ? H ,……………………………………4 分 AH ? 平面 ACH , CH ? 平面 ACH , ∴ BD ⊥平面 ACH .……………………………………5 分 又∵ AC ? 平面 ACH , ∴ AC ? BD .……………………………………………6 分
(方法三): AC ? BD ? (BC ? BA) ? BD ………………2 分

? BC ? BD ? BA ? BD

………………………………3 分

? BC ? BD cos ?CBD ? BA ? BD cos ?ABD ………4 分

? 2BD cos 60? ? 2BD cos 60? ? 0 ,……………………5 分

∴ AC ? BD .……………………………………………6 分

(II)解(方法一):过 C 作 CH ⊥ BD 于点 H .则 CH ? 平面 BCD , 又∵平面 ABD ⊥平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD =BD ,

∴ CH ⊥平面 ABD . ……………………………………8 分

过 H 做 HK ⊥ AD 于点 K ,连接 CK . ………………9 分

∵ CH ⊥平面 ABD ,∴ CH ⊥ AD ,又 HK ? CH ? H ,

∴ AD ⊥平面 CHK ,∴ CK ⊥ AD .…………………10 分

∴ ?CKH 为二面角 C ? AD ? B 的平面角. …………11 分

连接 AH .∵ ?ABD ? ?CBD ,∴ AH ⊥ BD .

∵ ?ABD ? ?CBD ? 60? , AB ? BC ? 2 ,

∴ AH ? CH ? 3 , BH ? 1.∵ BD ? 5 ,∴ DH ? 3 . ………12 分

2

2

∴ AD ? 21 ∴ HK ? AH ? DH ? 3 7 .…………………………13 分

2

AD

7

∴ tan ?CKH ? CH ? 21 ,…………………………………………14 分 HK 3

∴ cos ?CKH ? 30 . 10

∴二面角 C ? AD ? B 的余弦值为 30 .………………………………15 分 10
(方法二):由(I)过 A 作 AH ⊥ BD 于点 H ,连接 CH

∵ ?ABD ? ?CBD ,∴ CH ⊥ BD . ∵平面 ABD ⊥平面 BCD , ∴ AH ⊥ CH .…………………………7 分 分别以 HC, HD, HA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.………………8 分

∵ ?ABD ? ?CBD ? 60? , AB ? BC ? 2 ,

∴ AH ? CH ? 3 , BH ? 1.

∵ BD ? 5 ,∴ DH ? 3 .………………………………9 分

2

2

? A(0, 0, 3),C( 3, 0, 0), B(0, ?1, 0), D(0, 3 , 0) .…10 分 2

可得 AC ? ( 3,0,? 3) , CD ? (? 3, 3 ,0) .………11 分 2

设平面 ACD 的法向量为 n ? (x, y, z) ,



?? n ? AC ? ???n ? CD ? ?

3x ? 3x ?

3z 3y 2

?0 ?0

,取

y

?

2



得一个 n ? ( 3,2, 3) .……………………………………………………12 分

取平面 ABD 的法向量为 m ? (1,0,0) .……………………………………13 分

cos n, m ? n ? m ? 3 ? 30 .……………………………………14 分 | n || m | 10 10

∴二面角 C ? AD ? B 的余弦值为 30 .…………………………………15 分 10

? x2 y2

18.

解:(I)联立方程组

?? ?

a

2

? b2

?1
消元得:

? ??

y

?

1 2

x

?1

( 1 a2 ? b2 )x2 ? a2 x ? a2 ? a2b2 ? 0 ①…………………………………………2 分 4

Q 相切 ?V? a4 ? 4(1 a2 ? b2 )(a2 ? a2b2 ) ? 0 得: a2 ? b2 ? 1 ② …4 分

4

4

将②代入①式得: x2 ? a2 x ? a4 ? 0 4

解得

xA

?

?

a2 2

yA

?

?

a2 4

?1?

b2

? A(? a2 , b2 ) …………………………………………………………………6 分 2

(II)解法 1:? F 到直线 AB 的距离 d ? | c ? 2 | , ? ?AFB 是等腰直角三角形 5

? | AF |? 2d

? ? ?
?? ?

c

?

a2 2

2
? ? ?

?

b2

2 ? 2(c ? 2)2 5

………………………11 分

由②可得: a2 ? 4 ? 4c2 , b2 ? 4 ? c2 代入上式得:

5

5

? 2c2 ? 5c ? 2 ?2 ? 4 ? c2 ?2 2(c ? 2)2

? ?

5

? ?? ??

5

?? ?

5

得 c2 ? 1 即 c ? 1……………13 分

又? a2 ? 4 ? 4c2 , b2 ? 4 ? c2

5

5

?a2 ? 8 5

b2 ? 3 5

?椭圆的标准方程为: 5x2 ? 5 y2 ? 1…………………………………14 分 83

解法 2:? F (c,0)

? kAF

?

?

b2 a2 ? c

?

?2b2 a2 ? 2c

2

?

AF

? BF ? kBF

1 ??
k AF

?

a2 ? 2c 2b2

?直线

BF

的方程为

y

?

a2 ? 2c 2b2

(x

?

c)

………………………………8



? a2 ? 2c



?? y ? ? ??

?

y

2b2 ?1
2

x

(x ? ?1

c)

?

a2 ? 2c 2b2

(x

? c)

?

1 2

x

?1?

a2

? 2c ? b2 2b2

x

?

2b2

? a2c 2b2

?

2c2

解得:

xB

?

a2 c

?| AF |?| BF |

yB

?

a2 ? 2c 2c

? B( a2 , a2 ? 2c ) ………………11 分 c 2c

?

(?

a2 2

? c)2

? b4

?

a2 (
c

? c)2

?

? ?

?

a2 ? 2c 2c

2
? ? ?

(a2 ? 2c)2 ? 4b4 ? (a2 ? 2c)2 ? 4b4

4

4c2

解得 c ? 1 …………………13 分

又? a2 ? b2 ? 1 4

?a2 ? 8 5

b2 ? 3 5

?椭圆的标准方程为: 5x2 ? 5 y2 ? 1………………………………14 分 83

解法

3:由方法二得

a2 B(

,

a2

?

2c

)

……………………………………………11



c 2c

分别过 A, B 做 x 轴的垂线,垂足分别为 A?, B?

? ?AFB 是等腰直角三角形 ? | AA? |?| FB?|

又Q

|

FB? |?

xB

?c

?

a2 c

?

c

?

b2 c

,|

AA? |?

yA

?

b2

b2 ?

? b2

得 c ? 1………………………………13 分

c

又? a2 ? b2 ? 1 4

?a2 ? 8 5

b2 ? 3 5

?椭圆的标准方程为: 5x2 ? 5 y2 ? 1…………14 分 83

19.

(I)当 a

? 1时,

f

(

x)

?

???x2 ,

? ??

x2

?

2

x x,

? 1, x ? 1,



…………………………………………3 分

函数 f (x) 的单调递增区间为 (??, 0) , (1, ??) ,单调递减区间为 (0,1) . ……6 分

(II)

f

(x)

?

???x2 ? (a ?1)x, x ? a,

? ??

x2

?

(a

? 1) x,

x ? a.

①当 a ? ?1 时, a ?

a ?1 ? 2

a ?1 ? 0 , 2

f (x) 在[0,t] 单调递增,

f (x)min

?

f

(0) ? 0

f (x)max ? f (t) ? t 2 ? (a ?1)t ,由题意得 f (x)max ? 6 ,即 t2 ? (a ?1)t ? 6 ,

解得 0 ? t ? (a ?1) ? (a ?1)2 ? 24 , 2

令 m ? ?(a ?1) ? 0 , h(m) ? m2 ? 24 ? m ?

12

在[0, ??) 单调递减,

2

m2 ? 24 ? m

所以 h(m)max ? h(0) ? 6 ,即当 a ? ?1 时, tmax ? 6 .…………………………9 分

②当 ?1 ? a ? 0 时, a ?1 ? a ? 0 ? a ?1 , f (x) 在[0, a ?1]单调递减,

2

2

2

在[ a ?1, ??) 单调递增, 2

f

( x)min

?

f

( a ?1) 2

?

? (a ?1)2 4

?[? 1 , 0) , 4

满足 f (x)min ? ?1, f (x)max ? f (t) ? t 2 ? (a ?1)t ,由题意得 f (x)max ? 6 ,

即 t2 ? (a ?1)t ? 6 ,解得 0 ? t ? (a ?1) ? (a ?1)2 ? 24 , 2

令 m ? a ?1 ? 0 , h(m) ? m ? m2 ? 24 在 (0,1] 单调递增, 2

所以 h(m)max ? h(1) ? 3 ,即当 a ? 0 时, tmax ? 3 . ……………………………12 分

③当 0 ? a ? 1时, a ?1 ? 0 ? a ? a ?1 , f (x) 在[0, a], [a, a ?1]单调递减,

2

2

2

在[ a ?1, ??) 单调递增, 2

f (x)min

?

f

( a ?1) ? ? (a ?1)2

2

4

?[?1, ? 1) , 4

满足 f (x)min ? ?1, f (x)max ? f (t) ? t 2 ? (a ?1)t ,由题意得 f (x)max ? 6 ,

即 t2 ? (a ?1)t ? 6 ,解得 0 ? t ? (a ?1) ? (a ?1)2 ? 24 , 2

同②得 h(m) ? m ? m2 ? 24 在 (1, 2]单调递增, 2

所以 h(m)max ? h(2) ? 1? 7 ,即当 a ? 1时, tmax ? 1? 7 ,

综上所述, tmax ? 1? 7 ,此时 a ? 1 .……………………………………………15 分

20.



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