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2011年高考数学试题分类汇编3——三角函数[1]


2011 年高考数学试题分类汇编 3——三角函数 三、三角函数
一、选择题
2 2 ( 1. 重庆理 6) ( 若△ABC 的内角 A、 C 所对的边 a、 c 满足 a ? b) ? c ? 4 , C=60°, B、 b、 且

则 ab 的值为

4 A. 3
【答案】A

B. 8 ? 4 3

C. 1

2 D. 3

0<?<
2.(浙江理 6)若

?

? ? 3 ? ? 1 cos( ? ) ? - <?<0 cos( ? ? ) ? 4 2 3 ,则 2, 2 4 3, ,

cos( ? ?
3 A. 3
【答案】C

?
2

)?
?
B.

3 3

5 3 C. 9

?
D.

6 9

3.(天津理 6)如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且

AB ? CD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2 BD ,则 sin C 的值为

3 A. 3 6 C. 3
【答案】D

3 B. 6 6 D. 6

4.(四川理 6)在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是
2 2 2

? A. (0, 6 ]

? B.[ 6 , ? )

? C. (0, 3 ]

? D.[ 3 , ? )

【答案】C 【解析】由题意正弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? 1 ? cos A ? ? 0 ? A ? bc 2 3

第 1 页 共 16 页

? ?? ?? ? ? , ?0, 3 ? ? 上单调递增,在区间 ? 3 2 ? 上单 ? ? 5.(山东理 6)若函数 f ( x) ? sin ? x (ω>0)在区间 ?
调递减,则 ω=

A.3 【答案】C

B.2

3 C. 2

2 D. 3

y?
6.(山东理 9)函数

x ? 2sin x 2 的图象大致是

【答案】C 7.(全国新课标理 5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线

y ? 2 x 上,则 cos2? =

?
(A) 【答案】B

4 5

3 (B) 5 ?

3 (C) 5

4 (D) 5

? 8.(全国大纲理 5)设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长
度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于

1 A. 3
【答案】C

B. 3

C. 6

D. 9

9.(湖北理 3)已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围为

? ? ? ? x | k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ? A. ?
{ x | k? ?
C. 【答案】B

? ? ? ? x | 2 k? ? ? x ? 2 k ? ? ? , k ? Z ? 3 ? B. ?
{ x | 2 k? ?
D.

?
6

? x ? k? ?

5? , k ? Z} 6

?
6

? x ? 2 k? ?

5? , k ? Z} 6

第 2 页 共 16 页

10. 辽宁理 4) ( △ABC 的三个内角 A, C 所对的边分别为 a, c, B, b, asinAsinB+bcos2A= 2 a ,

b ? 则a
(A) 2 3 【答案】D (B) 2 2 (C) 3 (D) 2

? 1 ( +?) = 3 ,则 sin 2? ? 11.(辽宁理 7)设 sin 4
7 (A) 9 ?
【答案】A

1 (B) 9 ?

1 (C) 9

7 (D) 9

sin 2? 2 12.(福建理 3)若 tan ? =3,则 cos a 的值等于
A.2 【答案】D B.3 C.4 D.6

13. 全国新课标理 11) ( 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) 周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) 则

(? ? 0,| ? |?

?

) 2 的最小正

(0, ) 2 单调递减 (A) y ? f ( x) 在 (0, ) 2 单调递增 (C) y ? f ( x) 在
【答案】A

?

? 3? ( , ) (B) y ? f ( x) 在 4 4 单调递减 ? 3? ( , ) (D) y ? f ( x) 在 4 4 单调递增
?

?

f ( x) ? f ( ) 6 对 x?R恒 14.(安徽理 9)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若

成立,且

f ( ) ? f (? ) 2 ,则 f ( x) 的单调递增区间是

?

? ?? ? ? k? ? , k ? ? ? ( k ? Z ) 3 6? (A) ?
? 2? ? ? ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) 6 3 ? (C) ?

?? ? ? k? , k? ? ? ( k ? Z ) 2? (B) ?
? ? ? ? k? ? , k? ? ( k ? Z ) 2 ? (D) ?

第 3 页 共 16 页

【答案】C 二、填空题 15.(上海理 6)在相距 2 千米的 A . B 两点处测量目标 C ,若 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 60 ,
0 0

则 A . C 两点之间的距离是 【答案】 6

千米。

y ? sin( ? x) cos( ? x) 2 6 16.(上海理 8)函数 的最大值为
2? 3 【答案】 4

?

?



17. ( 辽 宁 理 16 ) 已 知 函 数 f (x) =Atan (

?

x+ ? )



? ? 0, | ? |?
?
24

?
2 ), y= f (x) 的 部 分 图 像 如 下 图 , 则

f(

)?



【答案】 3 18.(全国新课标理 16) ?ABC 中, B ? 60?, AC ? 3, ,则 AB+2BC 的最大值为_________. 【答案】 2 7

c2 ? o s ?? ? ?? ? 1 ? ? ? 0, ? n ?? ? ? s i sin ? ? ? cos ? 4 ? 的值为__________ ? ? 2 ?, 2 19. (重庆理 14) 已知 , 且 则
?
【答案】

14 2

20.(福建理 14)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°, 则 AD 的长度等于______。 2

第 4 页 共 16 页

【答案】 21. ( 北 京 理 9 ) 在 ?ABC 中 。 若 b=5 , a=_______________。

?B ?

?
4 , tanA=2 , 则 sinA=____________ ;

2 5 【答案】 5

2 10

5 ? 22.(全国大纲理 14)已知 a∈( 2 , ? ) ,sinα= 5 ,则 tan2α=

4 【答案】 3 ?
23.(安徽理 14)已知 ?ABC 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的 等差数列,则 ?ABC 的面积为_______________. 【答案】 15 3

tan(x ?
24.(江苏 7)已知

?
4

) ? 2,

tan x 则 tan 2 x 的值为__________

4 【答案】 9
三、解答题 25.(江苏 9)函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所

示,则 f(0)=

6 【答案】 2

26.(北京理 15)

f ( x) ? 4cos x sin( x ? ) ? 1 6 已知函数 。

?

第 5 页 共 16 页

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期:

? ? ?? ?? , ? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? 6 4 ? 上的最大值和最小值。

f ( x) ? 4 cos x sin(x ?
解: (Ⅰ)因为

?
6

) ?1

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1

? 3 sin 2 x ? cos 2 x
? 2 sin(2 x ?

?
6

)

所以 f (x) 的最小正周期为 ?

?
(Ⅱ)因为

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? . 3

2x ?
于是,当

?
6

?

?
2

,即x ?

?
6 时, f (x) 取得最大值 2;

2x ?


?
6

??

?

,即x ? ? 时, f ( x) 6 6 取得最小值—1.

?

27.(江苏 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin(A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,
求 A 的值;

1 cos A ? , b ? 3c 3 (2)若 ,求 sin C 的值.
本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求解能 力。 解: (1)由题设知

sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A, 从而 sin A ? 3 cos A, 所以cos A ? 0


tan A ? 3,因为0 ? a ? ? , 所以A ?

?
3

.

第 6 页 共 16 页

1 cos A ? , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 (2)由 B?
故△ABC 是直角三角形,且 28.(安徽理 18) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个 数的乘积记作 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

?
2

, 所以sin C ? cos A ?

1 3.

Tn

,再令

an ? lg Tn, n≥1 .

{an }

的通项公式; 求数列

bn ? tan an ?tan an?1 ,

{bn }

的前 n 项和

Sn

.

本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查 灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 解: (I)设

l1 , l 2 ,?, l n ? 2

构成等比数列,其中 ① ②

t1 ? 1, t n? 2 ? 100,



Tn ? t1 ? t 2 ? ? ? t n?1 ? t n? 2 , Tn ? t n?1 ? t n? 2 ? ? ? t 2 ? t1 ,
①×②并利用

t1t n?3?i ? t1t n? 2 ? 10 2 (1 ? i ? n ? 2), 得

Tn2 ? (t1t n? 2 ) ? (t 2 t n?1 ) ? ? ? (t n?1t 2 ) ? (t n? 2 t1 ) ? 10 2( n? 2) ,? a n ? lg Tn ? n ? 2, n ? 1.
(II)由题意和(I)中计算结果,知

bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1.

tan1 ? tan((k ? 1) ? k ) ?
另一方面,利用

tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

tan(k ? 1) ? tan k ?

n n?2 k ?3

tan(k ? 1) ? tan k ? 1. tan1

所以

S n ? ? bk ?? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1

tan(k ? 1) ? tan k ? 1) tan1 k ?3 tan(n ? 3) ? tan 3 ? ? n. tan1 ? ?(
n?2

29. (福建理 16)

第 7 页 共 16 页

13 已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= 3 。
(I)求数列{an}的通项公式; (II)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? p ? ? ) 在 为 a3,求函数 f(x)的解析式。 本小题主要考查等比数列、 三角函数等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想, 满分 13 分。

x?

?
6 处取得最大值,且最大值

解: (I)由

q ? 3, S3 ?

13 a1 (1 ? 33 ) 13 得 ? , 3 1? 3 3

1 a1 ? . 3 解得

1 an ? ? 3n?1 ? 3n?2. 3 所以
(II)由(I)可知

an ? 3n ?2 , 所以a3 ? 3.

因为函数 f ( x) 的最大值为 3,所以 A=3。

x?
因为当

?
6 时 f ( x) 取得最大值,

sin(2 ?
所以

?
6

? ? ) ? 1.

0 ? ? ? ? , 故? ?


?
6

.

所以函数 f ( x) 的解析式为 30.(广东理 16)

f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 6

?

1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R. 3 6 已知函数
f(
(1)求

5? ) 4 的值;

第 8 页 共 16 页

(2)设

? 10 6 ? ?? ? , ? ? ?0, ? , f (3a ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 2 13 5 ? 2?
f( 5? 1 5 ? ) ? 2sin( ? ? ? ) 4 3 4 6

求 cos(? ? ? ) 的值.

解: (1)

? ?2sin

?
4

? 2


10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ? (2) ?
6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 cos ? , 5 6? 2? ?3 ?

? sin ? ?

5 3 , cos ? ? , 13 5
2 2

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ? 4 ?3? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2 2

3 12 5 4 56 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? . 5 13 13 5 65 故
31.(湖北理 16)

1 a ? 1.b ? 2.cos C ? . 4 设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知
(Ⅰ)求 ?ABC 的周长 (Ⅱ)求

cos ? A ? C ?

的值

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识, 同时考查基本运算能力。 (满分 10 分)

? c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
解: (Ⅰ)

1 ?4 4

? c ? 2. ??ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.

第 9 页 共 16 页

? cos C ?
(Ⅱ)

1 1 15 ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4

15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
? a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

32.(湖南理 17) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小;

? (Ⅱ)求 3 sinA-cos(B+ 4 )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。
解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以

sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? B?
(II)由(I)知

?
4

3? ? A. 4 于是

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2sin( A ? ) 6 取最大值 2.

?

?

?

? ? 5? 3 sin A ? cos( B ? ) A? ,B ? . 4 的最大值为 2,此时 3 12 综上所述,
33.(全国大纲理 17)

第 10 页 共 16 页

△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°,a+c= 2 b,求 解:由 a ? c ?

C.

2b 及正弦定理可得 2 sin B . …………3 分

s i n ? s iC? A n

又由于 A ? C ? 90?, B ? 180? ? ( A ? C ), 故

c o s ? s iC ? C n

2 sA n (C i?

)

? 2 sin(90 C 2 ) ??

? 2 c o sC . 2

…………7 分

2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , 2 2
c o s ( 4? C ? ) ?5 cC s 2 . o

因为 0? ? C ? 90? , 所以 2C ? 45? ? C,

C ? 15?
34.(山东理 17)

cos A-2 cos C 2c-a = cos B b . 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin C (I)求 sin A 的值; 1 (II)若 cosB= 4 ,b=2, ?ABC 的面积 S。
解:

a b c ? ? ? k, (I)由正弦定理,设 sin A sin B sin C

2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , k sin B sin B 则 b cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . cos B sin B 所以

第 11 页 共 16 页

即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A? B ?C ? ? , 所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. 因此 sin A sin C ?2 (II)由 sin A 得 c ? 2a.
由余弦定理

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4
解得 a=1。 因此 c=2

1 cos B ? , 且G ? B ? ? . 4 又因为
sin B ?
所以

15 . 4

S?
因此

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4

35.(陕西理 18) 叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦 之积的两倍。或:在 ? ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法一 如图

??? ??? ? ? a 2 ? BC ? BC

第 12 页 共 16 页

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? AC ? 2 AC ? AB ? AB ???? 2 ???? ??? ? ??? 2 ? ? AC ? 2 AC ? AB COSA ? AB

? b2 ? 2bc cos A ? c 2
2 2 2 即 a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 同理可证 b ? a ? c ? 2ac cos B

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法二 已知 ? ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点, 所在直线为 x 轴,建立直角 AB 坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) ,

? a 2 ? BC 2 ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2

? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
同理可证

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C.
36.(四川理 17)

7 3 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ), x ? R 4 4 已知函数
(1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值;

cos( ? ? a) ?
(2)已知

4 4 ? , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) 2 5 5 2 ,求证: [ f ( ? )] ? 2 ? 0

7? 7? 3? 3? ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin 4 4 4 4 ? 2 sin x ? 2 cos x f ( x) ? sin x cos ? 2sin( x ? ) 4 解析:

?

第 13 页 共 16 页

?T ? 2? , f ( x)max ? 2

4 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?? (1) 5 4 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ?? (2) 5 cos ? cos ? ? 0 ?0 ? ? ? ? ?
(2)

?
2

? cos ? ? 0 ? ? ?

?
2

? f ( ? ) ? 2 ? ( f ( ? )) 2 ? 2 ? 0
37.(天津理 15)

f ( x) ? tan(2 x ? ), 4 已知函数
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域与最小正周期;

?

(II)设

? ?? ? ? ? 0, ? 4 ?

f ( ) ? 2 cos 2? , ? ,若 2 求 ? 的大小.

?

本小题主要考查两角和的正弦、 余弦、 正切公式, 同角三角函数的基本关系, 二倍角的正弦、 余弦公式,正切函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 13 分.

2x ?
(I)解:由

?
4

?

?
2

? k? , k ? Z


x?


?
8

?

k? ,k ?Z 2 . {x ? R | x ?

?
8

所以 f ( x) 的定义域为

?

k? , k ? Z} 2

?
f ( x) 的最小正周期为 2

.

a f ( ) ? 2cos 2a, (II)解:由 2 tan(a ? ) ? 2cos 2a, 4 得

?

第 14 页 共 16 页

sin(a ? ) 4 ? 2(cos 2 a ? sin 2 a), ? cos(a ? ) 4
sin a ? cos a ? 2(cos a ? sin a)(cos a ? sin a). 整理得 cos a ? sin a a ? (0, ) 4 ,所以 sin a ? cos a ? 0. 因为
1 1 (cos a ? sin a) 2 ? , 即sin 2a ? . 2 2 因此

?

?

a ? (0, ) 2a ? (0, ) 4 ,得 2 . 由 2a ?
所以

?

?

?
6

,即a ?

?
12

.

38.(浙江理 18)在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.

已知

sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? ,

1 ac ? b 2 4 . 且

5 p ? ,b ?1 4 (Ⅰ)当 时,求 a, c 的值;
(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。 满分 14 分。

5 ? ?a ? c ? 4 , ? ? ? ac ? 1 , ? 4 (I)解:由题设并利用正弦定理,得 ?

1 ?a ? 1, ? ? ?a ? , 4 ? 1 或? ?c ? 4 , ?c ? 1. ? 解得 ?
2 2 2 (II)解:由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B

第 15 页 共 16 页

? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B 1 1 ? p 2b 2 ? b 2 ? b 2 cos B, 2 2 3 1 即p 2 ? ? cos B, 2 2
3 0 ? cos B ? 1, 得p 2 ? ( , 2) 2 因为 ,
p ? 0, 所以
由题设知 39.(重庆理 16)

6 ? p ? 2. 2

?? ? ? ?? f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos 2 ? ? x ? f ? ? ? ? f ? 0? ?2 ? 满足 ? 3 ? 设 a?R , ,求函数

? 11? [ , ] f ( x) 在 4 24 上的最大值和最小值.
解: f ( x) ? a sin x cos x ? cos x ? sin x
2 2

?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2

? 3 a 1 f (? ) ? f (0)得 ? ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 3 2 2 2 由
f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). 6 因此
x ? [ , ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 4 3 6 3 2 当 为增函数,

?

? ?

?

? ?

? 11? ? ? 3? x ?[ , ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 3 24 6 2 4 当 为减函数,

? 11? ? f ( x)在[ , ]上的最大值为f ( ) ? 2. 4 4 3 所以

? 11? f ( ) ? 3, f ( ) ? 2, 4 24 又因为
? 11? 11? f ( x)在[ , ] f( ) ? 2. 4 24 上的最小值为 24 故

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