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佛山市普通高中2011届高三教学质量检测(一)(文数)


2011 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数 学 (文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.

? 参考公式: 圆台侧面积公式: S ? ? (r ? r )l .
一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1.已知集合 A.

A ? ??1,0,1? , B ? ?1, 2?
B.

,则 A ? B 等于 C.

??1,0,1?

?0,1?

?1?

D.

?1, 2?

2.已知向量 a ? (1,1), 2a ? b ? (4, 2) ,则向量 a , b 的夹角为

? A. 6
3.在等差数列 A. 21 C. 23

? B. 4

? C. 3

? D. 2

?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ,则 k ?
B. 22 D. 24

4.若一个圆台的的正视图如图所示,则其侧面积等于 A.6 B. 6? C. 3 5? D. 6 5? 第 4 题 图

f( )? f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? ) 4 ,则 6 5.函数

?

?

?
A.

3 2

1 B. 2 ?

1 C. 2

3 D. 2

1

6.已知 i 为虚数单位, a 为实数,复数 z ? (1? 2i)(a ? i)在复平面内对应的点为 M ,则

a?


1 2 ”是“点 M 在第四象限”的
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是

A. ?3

1 B. 2 ?

1 C. 3

D. 2

y 8. 设实数 x 和 满足约束条件
则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 A. 26 B. 24

? x ? y ? 10 ? ? x? y ?2 ? x?4 ?

第 7 题图 ,

C. 16

D. 14

9.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 已知双曲线 a 与抛物线

y2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的一个交点
为 P ,若

PF ? 5

,则双曲线的离心率为

A. 2

B. 2 2

5 ?1 C. 2

D. 6
2 2

10. 若点 P 在直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上,过点 P 的直线 l 2 与曲线 C : ( x ? 5) ? y ? 16 相切 于点 M ,则 A. 2

PM

的最小值为 B. 2 C. 2 2 D. 4

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11~13 题) 11. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各 随机抽取了 5 名学生的学分,用茎叶图表示(如右图).

s1 , s 2 分别表示甲、乙两班各自 5 名学生学分的标准差,


第 11 题图

s1

s 2 .(填“ ? ”“ ? ”或“=” 、 ).

2

12. 已知直线 x ? 2 y ? 2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A, B 两点, 若动点 P (a, b) 在线段 AB 上, 则 ab 的最大值为__________.

f ( x) ? log2 x ,则满足不等式 f ( x) ? 0 的 x 13. 已知函数 f ( x ) 为奇函数,且当 x ? 0 时,
的取值范围是________. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角 坐标为 (1, ? 3) .若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,则点 P 的极坐标可以是 . 第 15 题图

15. (几何证明选讲)如图,在 ?ABC 中, DE // BC , EF // CD , 若 BC ? 3, DE ? 2, DF ? 1 ,则 AB 的长为___________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 ,
?

cos B ?

4 5.

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)若 BC ? 10, 求 ?ABC 的面积. 17. (本题满分 12 分) 某班同学利用国庆节进行社会实践,对 [25,55] 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯 是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳 族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、

p 的值;

(Ⅱ) 从年龄段在 [40,50) 的 “低碳族” 中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动, 其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的概率.
3

18. (本题满分 14 分) 已知正项等差数列 (Ⅰ)求

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 12 ,且 2a1, a2 , a3 ?1 成等比数列.

?an ? 的通项公式;
bn ? an 3n 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

(Ⅱ)记

19. (本题满分 14 分) 如图,已知直四棱柱

ABCD ? A1B1C1D1 的底面是直角梯形, AB ? BC , AB // CD , E ,

F 分别是棱 BC , B1C1 上的动点,且 EF // CC1 , CD ? DD1 ? 1 , AB ? 2, BC ? 3 .
(Ⅰ)证明:无论点 E 怎样运动, 四边形

EFD1D 都为矩形;

(Ⅱ)当 EC ? 1 时, 求几何体

A ? EFD1D 的体积.

第 19 题 图

20. (本题满分 14 分)

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 椭圆 a 上任一点 P 到两个焦点的距离的和为 6, 焦距为 4 2 ,A, B 分
别是椭圆的左右顶点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 (Ⅲ) C ( x, y )(0 ? x ? a) 为椭圆上一动点,D 为 C 关于 设

k1 , k2 ,证明: k1 ?k2 为定值;

y 轴的对称点, 四边形 ABCD 的

面积为 S ( x) ,设

f ( x) ?

S 2 ( x) x ? 3 ,求函数 f ( x) 的最大值.

4

21. (本题满分 14 分) 设 a 为非负实数,函数

f ( x) ? x x ? a ? a

.

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数的单调区间; (Ⅱ)讨论函数 y ? f ( x) 的零点个数,并求出零点.

参考答案和评分标准
一、选择题 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B B C A C B D A 二、填空题 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. ? 10 D

1 12. 2

13. (?1,0) ? (1, ??)

(2, 2k? ? )( k ? Z ) 3 14.

?

9 15. 2

三、解答题 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16. (本题满分 12 分)

? cos B ?
解 : ( Ⅰ
2



4 , 5



B? (0? ,180? )





s

B? i

? n

3 B? 1 c o s 5 . -------------------------------2 分

sin C ? sin(180? ? A ? B) ? sin(135? ? B)
------------------------------- 3 分

? sin135? cos B ? cos135? sin B ?
-----------------6 分

2 4 2 3 7 2 ? ? (? )? ? 2 5 2 5 10 .

-------------

5

BC AB ? ( Ⅱ ) 由 正 弦 定 理 得 sin A sin C
AB ? 14 . -----------------------------10 分

, 即

10 AB ? 7 2 2 10 2

, 解 得



?ABC

S?
的 面 积

1 1 3 AB BC sin B ? ?10 ?14 ? ? 42 2 2 5

------------------------------12 分 17. (本题满分 12 分) 解 : Ⅰ ) 第 二 组 的 频 率 为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 , 所 以 高 为 (

0.3 ? 0.06 5 .频率直方图如下:

-------------------------------2 分

120 200 ? 200 n? ? 1000 0.2 第一组的人数为 0.6 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 . p? 195 ? 0.65 300 .

由题可知, 第二组的频率为 0. 所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 , 3, 所以

第 四 组 的 频 率 为 0.03 ? 5 ? 0.15 , 所 以 第 四 组 的 人 数 为 1000 ? 0.15 ? 150 , 所 以
a ? 150 ? 0.4 ? 60 .

-------------------------------5 分 (Ⅱ)因为 [40, 45) 岁年龄段的“低碳族”与 [ 45, 50)岁年龄段的“低碳族”的比值为
60 : 30? 2 : 1 ,所以采

5 中 0 用 分 层 抽 样 法 抽 取 6 人 , [ 4 0 , 4岁 ) 有 4 人 , [ 4 5 , 5 岁 )中 有 2 人 .
6

-------------------------------8 分 设 [40, 45) 岁中的 4 人为 a 、 b 、 c 、 d , [45,50) 岁中的 2 人为 m 、 n ,则选取 2 人作为领 队的有 ( a, b) 、( a, c) 、( a , d ) 、( a , m ) 、( a, n) 、(b, c) 、(b, d ) 、(b, m ) 、(b, n) 、(c, d ) 、(c, m ) 、

(c, n) 、(d , m) 、( d , n) 、( m, n) , 15 种; 共 其中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的有 ( a , m ) 、( a, n) 、 (b , m )


(b , n )



(c, m )



(c, n )



(d , m)



(d , n)

, 共

8

种 .

-------------------------------10 分

5的 所 以 选 取 的 2 名 领 队 中 恰 有 1 人 年 龄 在 [ 4 0 , 4岁 ) 概 率 为
-------------------------------12 分 18 . 解 :( Ⅰ ) ∵

P?

8 15 .

S3 ? 12 , 即 a1 ? a 2? a 3 12 , ∴ 3a2 ? 1 2, 所 以 a2 ? 4 , ?

--------------------------------2 分 又∵ ∴

2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列,
2 a2 ? 2a1 ? (a3 ?1)





2 a2 ? 2

(a2 ?

d) ?

2



(a ?

d ?1

--------------------------------4 分 解得, d ? 3 或 d ? ?4 (舍去) , ∴

a1 ? a2 ? d ? 1





an ? 3n ? 2



---------------------------------------7 分

(Ⅱ)法 1:

bn ?

an 3n ? 2 1 ? ? (3n ? 2) ? n n n 3 3 3 ,

1 1 1 1 Tn ? 1? ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? ? ? (3n ? 2) ? n 3 3 3 3 , ∴
?



1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1? 2 ? 4 ? 3 ? 7 ? 4 ? ? ? (3n ? 5) ? n ? (3n ? 2) ? n ?1 3 3 3 3 3 ① 3 得, 3



2 1 1 1 1 1 1 Tn ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 3 ? n ? (3n ? 2) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 ① ? ②得, 3

1 1 (1 ? n ?1 ) 2 1 1 5 1 1 1 3 ? ? 3? 3 ? (3n ? 2) ? n?1 ? ? ? n?1 ? (3n ? 2) ? n?1 1 3 3 6 2 3 3 1? 3


7

Tn ?

5 1 1 3n ? 2 1 5 6n ? 5 1 ? ? n?2 ? ? n ? ? ? n 4 4 3 2 3 4 4 3 . an 3n ? 2 1 1 ? ? n ? n ?1 ? 2 ? n n n 3 3 3 3 ,

----------------------

-----------------14 分

法 2:

bn ?

1 1 1 1 An ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 3 3 3 3 , 设 1 1 1 1 1 1 An ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? ? ? n ? n 3 3 3 3 3 , 则3 2 1 1 1 1 1 An ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? n 3 3 3 3 3 ① ? ②得, 3





1 3n ? n ? 1 ? 3 ? ( 3 ? n) ? 1 ? 1 3n 2 2 3n 1? 3 1?
∴ ∴

An ?

9 9 3 1 ? ( ? n) ? n 4 4 2 3 ,

1 1 ? (1 ? n ) 3 ? 9 ? ( 9 ? 3 n) ? 1 ? (1 ? 1 ) ? 5 ? 6n ? 5 ? 1 Tn ? An ? 2 ? 3 1 4 4 2 3n 3n 4 4 3n 1? 3 . ---------------------------14 分 19.解: (Ⅰ)在直四棱柱 ∵

ABCD ? A1B1C1D1 中, DD1 // CC1 ,

EF // CC1 ,∴ EF // DD1 , ---------------------------------------2 分 A1B1C1D1 ,

又∵平面 ABCD // 平面 平面 ABCD ? 平面 平面 ∴

EFD1D ? ED ,

A1B1C1D1 ? 平面 EFD1D ? FD1 , ED // FD1
, ∴ 四 边 形

E

F 1

D为 D平











---------------------------------------4 分 ∵侧棱

DD1 ? 底面 ABCD ,又 DE ? 平面 ABCD 内,
8



DD1 ? DE











EFD1D









---------------------------------------6 分 (Ⅱ)证明:连结 AE ,∵四棱柱 ∴侧棱 ∴

ABCD ? A1B1C1D1 为直四棱柱,

DD1 ? 底面 ABCD ,又 AE ? 平面 ABCD 内, DD1 ? AE


---------------------------------------8 分 在

Rt ?ABE





AB ? 2



BE ? 2





AE ? 2 2



---------------------------------------9 分 在

Rt ?CDE





EC ? 1



CD ? 1





DE ? 2



---------------------------------------10 分 在直角梯形中 ABCD ,

AD ? BC 2 ? ( AB ? CD ) 2 ? 10



2 2 2 ∴ AE ? DE ? AD ,即 AE ? ED ,





E ?D

1

?

D



D



D AE ?





E

1

F

D ;

D

---------------------------------------12 分 由(Ⅰ)可知,四边形 ∴矩形 ∴

EFD1D 为矩形,且 DE ? 2 , DD1 ? 1 ,

EFD1D 的面积为 SEFD1D ? DE ? DD1 ? 2 ,
几 何 体

A?

1

E



F

D 体

D 积



1 1 4 VA? EFD1D ? S EFD1D ? AE ? ? 2 ? 2 2 ? 3 3 3 .-----------------------------14 分
20 . 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 得 ,

2a ? 6





a?3



-----------------------1 分 又 2c ? 4 2 ,∴ c ? 2 2 , b ? a ? c ? 1 ,
2 2 2















x2 ? y2 ? 1 9



---------------------------------------3 分
2 x0 x2 2 2 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ? 0 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) , A(?3, 0) , B(3, 0) ,则 9 9 , (Ⅱ)设 ,即

9

k1 ?


y0 x0 ? 3

k2 ?


y0 x0 ? 3



---------------------------------------4 分
2 x0 1 2 1? (9 ? x0 ) 2 y0 1 k1 ? k2 ? 2 ? 2 9 ?9 2 ?? x0 ? 9 x0 ? 9 x0 ? 9 9, 即



k1 ?k2
1 9.







?

---------------------------------------8 分

(Ⅲ)由题意可知,四边形 ABCD 是梯形,则 ------------------9 分

S ( x) ?

1 x2 (6 ? 2 x) ? y y2 ? 1? 2 9 , ,且





x2 ( x ? 3 ?) ( 1 ) 2 3 2 S 2 ( x) 9 ? ( x ? 3)(1 ? x ) ? ? x ? x ? x ? 3(0 ? x ? 3) f ( x) ? ? x?3 x?3 9 9 3
2

-------10 分

f ?( x) ? ?

x2 2 ? x ?1 ? ? 3 3 , 令 f (x )
f ?( x) ? 0

0 解 之 得 x1 ? 1, 或 x ? ?3 ( 舍 去 ) ,

------------------11 分 当

0 ? x ?1









f ( x)











---------------------------------------12 分 当

1? x ? 3



f ?( x) ? 0







f ( x)











---------------------------------------13 分

所 以

f ( x)



x ?1 时 取 得 极 大 值 , 也 是 最 大 值

32 9

.

---------------------------------------14 分

21 . 解 : ( Ⅰ ) 当 a ? 2 时 , --------------1 分

f ( x? )

? x2 ? 2 x ? 2 , x ? 2 ? x ?x 2 ? ? ? 2 2 2 2 ?? x ? x ? , x ? 2 ? ,

① 当 x ? 2 时, f ( x) ? x ? 2x ? 2 ? ( x ?1) ? 3 ,
2 2



f ( x)



(2, ??)













10

--------------2 分 ② 当 x ? 2 时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 2 ? ?( x ? 1) ? 1 ,
2 2

∴ f ( x ) 在 (1, 2) 上单调递减,在 (??,1) 上单调递增; 分

--------------3

综上所述, f ( x ) 的单调递增区间是 (??,1) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 (1, 2) . ------4 分

x ?0; (Ⅱ) (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x | x | ,函数 y ? f ( x) 的零点为 0

-----5 分



2





a?0





? x 2 ? ax ? a, x ? a ? f ( x) ? x x ? a ? a ? ? 2 ?? x ? ax ? a, x ? a ?



--------------6 分

a a 2 a2 x? ?a f ( x) ? ( x ? ) ? ? a 2 2 4 故当 x ? a 时, ,二次函数对称轴 ,
∴ f ( x ) 在 (a, ??) 上单调递增, f (a) ? 0 ; 分 -----------7

a a a2 x? ?a f ( x) ? ?( x ? )2 ? ? a 2 2 4 当 x ? a 时, ,二次函数对称轴 ,
a a (??, ) ( , a) 2 2 上 单 调 递 减 , 在



f ( x) 在

上 单 调 递 增 ;

----------------------------------8 分

a a a a2 f ( ) ? ?( ) 2 ? a ? ? a ? ? a 2 2 4 ∴ f ( x ) 的极大值为 2 ,
a f( )?0 1 当 2 ,即 0 ? a ? 4 时,函数 f ( x ) 与 x 轴只有唯一交点,即唯一零点,
?

由 x ? ax ? a ? 0 解之得
2

函 数 y ? f ( x) 的 零 点 为 -----------------------10 分

x0 ?

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a x0 ? 2 2 或 ( 舍 去 );

a f( )?0 x ?2和 2 当 2 , a ? 4 时, 即 函数 f ( x ) 与 x 轴有两个交点, 即两个零点, 分别为 1
?

x2 ?

a ? a 2 ? 4a ? 2?2 2 2 ;
11

-----------------------11 分

a f( )?0 3 当 2 ,即 a ? 4 时,函数 f ( x ) 与 x 轴有三个交点,即有三个零点,
?

由 ? x ? ax ? a ? 0 解得,
2

x?

a ? a 2 ? 4a 2 , x? a ? a 2 ? 4a 2 x0 ? a ? a 2 ? 4a 2

∴ 函 数

y ? f ( x) 的 零 点 为



.

--------------------12 分 综上可得,当 a ? 0 时,函数的零点为 0 ;

a ? a 2 ? 4a 2 当 0 ? a ? 4 时,函数有一个零点,且零点为 ;
当 a ? 4 时,有两个零点 2 和 2 ? 2 2 ;



a?4 时 , 函 数 有 三 个 零 点

a ? a 2 ? 4a 2



a ? a 2 ? 4a 2

.

--------------------14 分

12


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