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2.1空间点、直线、平面之间的位置关系(异面直线)


2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系

(1)空间直线的三种位置关系. (2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角.

两条直线的位置关系
思考1:平面内两条直线有几种位置关系?空间 中的两条直线呢?

b
C

a

两条直线的位置关系
观察

如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中,线段 A′B分别与线段CD′、BC、CD的位置关系如何?
D' A' B' C'

D A
B

C

异面直线
定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.

a
b

a

b

异面直线的图示

异面直线
问题 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适?

1. 2. 3. 4. 5.

空间中既不平行又不相交的两条直线; 平面内的一条直线和这平面外的一条直线; 分别在不同平面内的两条直线; a 不在同一个平面内的两条直线; 不同在任何一个平面内的两条直线. b

异面直线的判定
图示

a
b
A

判断直线MB与A’N的位置关系

一条直线与平面相交,则平面 内不经过线面交点的直线与这 条直线异面。

2009年宁夏卷

两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系:
相交直线: 同一平面内,有且只有一 个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

共面直线

探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原

为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对?
C G D
H E F 答:3对 A

B

CD和AB

AB 和HG

HG和EF

平行直线
观察

如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中, BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行 吗 ? D'
C'

A'
D A 答:平行

B'

C B

平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b,b//c,那么a//c 空间中的平行线具有传递性 C F D F

D
A C

B

E

A

B

三条平行线共面

E 三条平行线不共面

平行直线
问题

已知三条直线两两平行,任取两条直线能确 定一个平面,问这三条直线能确定几个平面?
D C

F

D
A C E
三条平行线不共面

F

B

E

A

B

三条平行线共面

平行直线
例2 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分 别是AB,BC,CD,DA的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接BD,

因为
所以 同理

EH是 ?ABD 的中位线,
1 EH // BD ,且 EH ? BD 2 1 FG // BD ,且 FG ? BD 2

A E H

D
F

G C

因为 EH // FG ,且 EH ? FG B 所以 四边形EFGH 是平行四边形.

探究 在上例中,如果再加上条件AC=BD,那么四 边形EFGH 是什么图形? 答:四边形EFGH是菱形
1 1 因为EF ? AC, ? BD EH 2 2 且AC ? BD 所以EF ? EH 所以平行四边形EFGH 是菱形

A H

E
D B F G C

等角定理 思考1 在平面上,我们有等角定理“如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两 个角相等或互补”.空间中,结论是否仍然成 立?

思考2: 如图,长方体ABCD--A′B′C′D′中,∠ADC与 ∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应 平行,这两组角的大小关系如何 ? C' C' B' B' A' A' D' D' C C B B

D

A
∠ADC=∠A′D′C′

D

A

∠ADC+∠B′A′D′=1800

等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // A?C?, ? B // A?B? A
C
C

? A
C?

B

? A

B

?

A?

B?

?

B?

A?

C?

等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同,那么这两个角相等.

异面直线所成的角
思考 平面内两条相交直线形成4个角,其中较小的 角叫做两条直线的夹角. 空间中两条异面直线所成的角呢?

a a b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线


b

已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直 线 a? // a, ?b? // b ,把 a? 与 b? 所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a与b所成的角.
b
b?

b
a?

?

a

O

?

O

a? a

探究

异面直线所成的角

规定:平行直线的夹角为0° 那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么? b
? ?? ? 0, ? ? 2?

?

a

如果两条异面直线所成角为900,那么这两 条直线垂直. 记直线a垂直于b为:a?b

异面直线所成的角
探究

(1)教室中有没有两条棱所在的直线是相互垂直 的异面直线?
(2)两条平行线中的一条与某一条直线垂直,那 么,另一条直线是否也与这条直线垂直? (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

异面直线所成的角
例3 已知正方体 ABCD ? A?B?C ?D? . (1)哪些棱所在直线与直线 BA? 是异面直线? (2)直线 BA? 和 CC ?的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线 AA? 垂直?

异面直线所成的角
例3 已知正方体 ABCD ? A?B?C ?D? . (1)哪些棱所在直线与直线 BA? 是异面直线? (2)直线 BA? 和 CC ?的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线 AA? 垂直? 解:(1)由异面直线的定义可知, 棱 AD, ? C , ? C?, ? D?, D?C?, ?B?C? 所在 D C D 的直线分别与直线 BA?是异面直线. ? (2)由 BB? // CC ? 可知,B?BA? 为 ? 异面直线 BA?与 CC ?的夹角, B?BA? ? 45?, 所以 BA? 与 CC ? 的夹角为 45? . B C D (3)直线 AB, ? C , ? D , ? A , ?A?B?, ?B?C?, ?C?D?, ?D?A? 分别与直线 AA? 垂直.

练习1 在如图所示的长方体中,AB= 3 ,且 AA1=1,求直线BA1和CD所成角的度数.

D1

C1

A1
1 2

B1

D
3

C

A

B

30

O

练习2
如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD, BC上的点,且 EF ? 3 , 求异面直线AB和CD所成的角. A E
AE BF 1 ? ? ,已知AB=CD=3, ED FC 2

D
B F C

本节小结
基本知识 (1)空间直线的三种位置关系.
(2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角.

基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.

作业
P48 练习:2 P51 习题2.1: A组 3,5,6, B组1


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