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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第3章 2.2(一)_图文

2.2(一) 2.2 【学习要求】 本 课 时 栏 目 开 关 最大值、最小值问题(一) 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.会用导数求某定义域上函数的最值. 【学法指导】 弄清极值与最值的区别是学好本节的关键. 函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是在局部上对函数 值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数在整个定 义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较. 填一填·知识要点、记下疑难点 2.2(一) 1.函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 本 课 时 栏 目 开 关 如图,函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像 是一条连续不断的曲线,则该函数在[a, b]上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在 端点 处或 极值点 处取得. 2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 , (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处 的函数值f(a),f(b)比较, 其中最大的一个是 最大值 ,最小的一个是 最小值 . 研一研·问题探究、课堂更高效 2.2(一) 探究点一 求函数的最值 本 问题1 如图,观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图像,你能找 课 时 出它的极大值、极小值吗? 栏 目 开 关 答 f(x1),f(x3),f(x5)是函数y=f(x)的极小值; f(x2),f(x4),f(x6)是函数y=f(x)的极大值. 研一研·问题探究、课堂更高效 2.2(一) 问题2 观察问题1的函数y=f(x),你能找出函数f(x)在区间[a,b] 上的最大值、最小值吗?若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b) 上还有最值吗?由此你得到什么结论? 本 课 时 栏 目 开 关 答 函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(a),最小值是 f(x3).若区间改为(a,b),则f(x)有最小值f(x3),无最大值. 结论 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一 条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,且最值必 在端点处或极值点处取得. 研一研·问题探究、课堂更高效 2.2(一) 问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系? 答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得 出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数 本 课 时 栏 目 开 关 的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内 取得,最值则可以在端点处取得;有极值的未必有最值,有 最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端 点处取得必定是极值. 问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值? 答 只要求出函数的各个极值和端点处的函数值,进行比较 即可. 研一研·问题探究、课堂更高效 例1 求下列函数的最值: 3 2.2(一) 1 (1)f(x)=2x -12x,x∈[-1,3];(2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π ]. 2 解 (1)f(x)=2x3-12x, 本 课 时 栏 目 开 关 ∴f′(x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2), 令f′(x)=0,解得x=- 2或x= 2. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞, - 2) + ? - 2 0 极大值 (- 2, 2) - ? 2 0 极小值 ( 2,+∞) + ? 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2),( 2,+∞). 研一研·问题探究、课堂更高效 2.2(一) 因为f(-1)=10,f(3)=18,f( 2)=-8 2,f(- 2)=8 2; 所以当x= 2时,f(x)取得最小值-8 2; 当x=3时,f(x)取得最大值18. 1 2 4 (2)f′(x)=2+cos x,令f′(x)=0,又x∈[0,2π],解得x=3π或x=3π. 本 课 时 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 栏 目 开 关 x f′(x) f(x) 0 0 ? 2 ? ?0 , π ? 3 ? ? 2 π 3 0 ?2 4 ? ? π, π ? 3 ? ?3 4 π 3 0 ?4 ? ? π,2π? ?3 ? 2π + ? - + π 极大值 π 3 + 3 2 极小值 2 3 π- 3 2 ∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0; 当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π. 研一研·问题探究、课堂更高效 2.2(一) 小结 (1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是 求最值,可用下面简化的方法求得. 本 ①求出导数为零的点. 课 时 ②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值 栏 目 开 和最小值. 关 (2)若函数在闭区间[a,b]上连续单调,则最大、最小值在端点 处取得. 研一研·问题探究、课堂更高效 2.2(一) 跟踪训练1 求下列函数的最值: (1)f(x)=x3+2x2-4x+5,x∈[-3,1]; (2)f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5]. 本 2 课 ∴f′(x)=3x +4x-4. 时 栏 令f′(x)=0,得x =-2,x =2. 1 2 3 目 开 ?2? 95 关 ∵f(-2)=13,f? ?= ,f(-3)=8,f(1)=4, ?3? 解 (1)∵f(x)=x3+2x2-4x+5, 27 95 ∴函数f(x)在[ -3,1] 上的最大值为13,最小值为 . 27 (2)∵f(x)=3ex-exx2, ∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3) =-ex(x+3)(x-1), 研一研·问题探究、课堂更高效 2.2(一) ∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0, 即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减, 本 课 ∴x=2时,函数


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