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18版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.4.2函数模型及其应用学案苏教版必修1

3.4.2 函数模型及其应用 1.了解数学建模的基本步骤,体会数学建模的基本思想.(难点) 2.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义,并能进行简单应 用(重点). [基础·初探] 教材整理 函数模型及其应用 阅读教材 P98 至 P100,完成下列问题. 1.常见的函数模型 (1)一次函数模型:f (x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0); (2)反比例函数模型:f (x)= +b(k,b 为常数,k≠0); (3)二次函数模型:f (x)=ax +bx+c(a,b,c 为常数,a≠0); (4)指数函数模型:f (x)=ab +c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1); (5)对数函数模型:f (x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,a>0,a≠1); (6)幂函数模型:f (x)=ax +b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠1). (7)分段函数模型. 2.用函数模型解决实际问题的基本步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,用函数刻画实际问题,初步选 择模型; (2)建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中. n x 2 k x 1.某商店每月利润的平均增长率为 2%,若 12 月份的利润是当年 1 月份利润的 k 倍, 则 k=________. 【解析】 设 1 月份利润为 x,则 12 月份的利润 y=x(1+2%) =kx, 11 1 ∴k=1.02 . 【答案】 1.02 11 11 2.在一定范围内,某种产品的购买量 y t 与单价 x 元之间满足一次函数关系,如果购 买 1 000 t,每吨为 800 元;购买 2 000 t,每吨为 700 元,一客户购买 400 t,单价应该 是________元. 【解析】 依题意,可设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b, 由 x=800,y=1 000 及 x=700,y=2 000, 可得 k=-10,b=9 000, 即 y=-10x+9 000, 将 y=400 代入得 x=860(元). 【答案】 860 [小组合作型] 利用已知函数模型解实际问题 1.一次、二次函数模型. 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师 引入概念和描述问题所用的时间. 讲座开始时, 学生的兴趣激增, 中间有一段不太长的时间, 学生的兴趣保持较理想的状态, 随后学生的注意力开始分散, 分析结果和实验表明, 用 f (x) 表示学生掌握和接受概念的能力(f (x)值越大,表示接受的能力越强),x 表示提出和讲授 概念的时间(单位:min),可有以下的公式: -0.1x +2.6x+43,0<x≤10, ? ? f (x)=?59,10<x≤16, ? ?-3x+107,16<x≤30. (1)开始后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)开讲后 5 min 与开讲后 20 min 比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 min 时间,老师能否及时在学生一直达 到所需接受能力的状态下讲授完这个难题? 【精彩点拨】 精读题目,理解题意及分段函数的意义进行求解. 【自主解答】 (1)当 0<x≤10 时, 2 f (x)=-0.1x2+2.6x+43 2 =-0.1(x-13) +59.9. 故 f (x)在(0,10]上单调递增,最大值为 2 f (10)=-0.1×(-3)2+59.9=59; 当 16<x≤30 时,f (x)单调递减, f (x)<-3×16+107=59. 因此,开讲后 10 min,学生达到最强的接受能力(值为 59),并维持 6 min. (2)f (5)=-0.1×(5-13) +59.9 =59.9-6.4=53.5, 2 f (20)=-3×20+107=47<53.5=f (5). 因此,开讲后 5 min 学生的接受能力比开讲后 20 min 强一些. (3)当 0<x≤10 时,令 f (x)=55, 则-0.1×(x-13) =-4.9,(x-13) =49. 所以 x=20 或 x=6,但 0<x≤10, 故 x=6. 当 16<x≤30 时,令 f (x)=55, 则-3x+107=55. 1 所以 x=17 . 3 1 1 因此,学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为 17 -6=11 ≤13(min), 3 3 所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题. [再练一题] 1.某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价 500 元/件,又不高于 800 元/件.经试销调查发现,销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)近似满足一次函数 y=kx +b 的关系(图象如图 3?4?3 所示). (1)根据图象,求一次函数 y=kx+b 的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为 S 元,求该公司可获得的最 大毛利润,并求出此时相应的销售单价. 2 2 图 3?4?3 3 【解】 (1)由题图可知所求函数图象过点(600,400),(700,300), ?400=k×600+b, ? 得? ?300=k×700+b, ? 解得? ?k=-1, ? ?b=1 000, ? 所以 y=-x+1 000(500≤x≤800). (2)由(1)可知 S=xy-500y=(-x+1 000)(x-500) =-x +1 500x-500 000 =-(x-750) +62 500(500≤x≤800), 故当 x=750 时,Smax=62 500. 即销售单价为 750 元/件时,该公司可获得最大毛利润为 62 500 元. 2.利用指数函数、对数函数、


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