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【新】2019高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第节排序不等式创新应用教学案选修45356

第 3 节 排序不等式

[核心必知] 1.三维形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是实数,则 (a1+a2+a3)(b1+b2+b3)≥(a1b1+a2b2+a3b3) ,当且仅当 bi=0(i=1,2,3)或存在一个 数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立. 2.一般形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则 (a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥(a1b1+…+anbn) ,当且仅当 bi=0(i=1,2,…,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
[问题思考] 1.在一般形式的柯西不等式的右端中,表达式写成 ai·bi(i=1,2,3,…,n),可以 吗? 提示:不可以,ai·bi 的顺序要与左侧 ai,bi 的顺序一致. 2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为 ai=kbi(i=1,2,3,…,n), 可以吗? 提示:不可以.若 bi=0 而 ai≠0,则 k 不存在.

1

设 a,b,c 为正数,且不全相等. 求证: 2 2 2 9 + + > . a+b b+c c+a a+b+c 本题考查三维形式的柯西不等式的应用.解答本题需要构造两组数据 1

[ 精讲详析 ]

a+b, b+c, c+a;

a+b



1

b+c



1

c+a

,然后利用柯西不等式解决.

构造两组数 a+b, b+c,

c+a;

1

a+b



1

b+c



1

c+a



则由柯西不等式得 (a+b+b+c+c+a)? 即 2(a+b+c)? 于是 2 + 2

? 1 + 1 + 1 ?≥(1+1+1)2,① ? ?a+b b+c c+a?

? 1 + 1 + 1 ?≥9, ? ?a+b b+c c+a?
+ 2 ≥ 9 .

a+b b+c c+a a+b+c

由柯西不等式知, ①中有等号成立?

a+b
1



b+c
1



c+a
1

?a+b=b+c=c+a?a=b=c.

a+b

b+c

c+a

因题设,a,b,c 不全相等,故①中等号不成立,

于是

2

a+b b+c c+a a+b+c



2



2

>

9

.

—————

—————————————

柯西不等式的结构特征可以记为 (a1+ a2+…+ an)·(b1+ b2+…+ bn)≥( a1b1+ a2b2 +…+ anbn) ,其中 ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),在使用柯西不等式时(要注意从整体上 把握柯西不等式的结构特征),准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键.
2

2

1.设 a,b,c 为正数,求证: + + ≥a+b+c.

a2 b2 c2 b c a

?a b c ? 证明:∵? + + ?(a+b+c) ?b c a?
=?? ?

2

2

2

? a ?2 ? b ?2 ? c ?2? 2 2 2 ? +? ? +? ? ?·[( b) +( c) +( a) ] ?? b? ? c? ? a? ? ? a · b+ b · c+ c · a?2 ? c a ? b ?
2

≥?

=(a+b+c) ,

?a b c ? 2 即? + + ?(a+b+c)≥(a+b+c) , ?b c a?
又 a,b,c∈R+, ∴a+b+c>0, ∴ + + ≥a+b+c,当且仅当 a=b=c 时等号成立。

2

2

2

a2 b2 c2 b c a

设 2x+3y+5z=29,求函数 u= 2x+1+ 3y+4+ 5z+6 的最大值. [精讲详析] 本题考查三维柯西不等式的应用, 解答本题需要利用好特定条件, 设法去 掉根号. 根据柯西不等式 120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)] ≥(1× 2x+1+1× 3y+4+1× 5z+6) , 故 2x+1+ 3y+4+ 5z+6≤2 30. 当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6, 37 28 22 即 x= ,y= ,z= 时,等号成立,此时 umax=2 30. 6 9 15 ————— —————————————
2

利用柯西不等式求最值时, 关键是对原目标函数进行配凑, 以保证出现常数结果. 同时, 要注意等号成立的条件.

3

2.已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,求 4a+1+ 4b+1+ 4c+1 的最大值. 解:由柯西不等式,得 ( 4a+1+ 4b+1+ 4c+1)
2

=(1× 4a+1+1× 4b+1+1× 4c+1) ≤(1 +1 +1 )(4a+1+4b+1+4c+1) =3[4(a+b+c)+3]=21. 1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3
2 2 2

2

故 4a+1+ 4b+1+ 4c+1的最大值为 21.

1 +2 +…+(n-1) +a·n 设 f(x)=lg ,若 0≤a≤1,n∈N+且 n≥2,求证:

x

x

x

x

n

f(2x)≥2f(x).
[精讲详析] 本题考查柯西不等式、综合法、分析法在证明不等式中的应用,解答本题 的关键是将 f(2x)≥2f(x)具体化,然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法. 1 +2 +…+(n-1) +a·n ∵f(2x)=lg ,
2x 2x 2x 2x

n

∴要证 f(2x)≥2f(x), 只要证 lg 1 +2 +…+(n-1) +a·n
2x 2x 2x 2x

n
x x x x



1 +2 +…+(n-1) +a·n 2lg ,

n

1 +2 +…+(n-1) +a·n 即证

2x

2x

2x

2x

n

≥?

?1 +2 +…+(n-1) +a·n ? (*) ? n ? ?
2x 2x 2x 2x

x

x

x

x

2

也即证 n[1 +2 +…+(n-1) +a·n ] ≥[1 +2 +…+(n-1) +a·n ] ,
x x x x 2

4

∵ 0≤a≤1,∴a≥a ,根据柯西不等式得

2

n[12x+22x+…+(n-1)2x+a·n2x]
≥ (1 + 1 +…+ 1 ),\s\do4(n 个 )){(1 ) + (2 ) +…+ [(n - 1) ] + (a·n ) } ≥ [1 + 2 +…+(n-1) +a·n ] , 即(*)式显然成立,故原不等式成立.
x x 2
2 2 2

x 2

x 2

x 2

x 2

x

x

—————

—————————————

对于较复杂的证明问题,可采用“分析法”进行“抽丝剥茧” ,从而找到柯西不等式的 结构特征.

3.已知 a1,a2,…,an 都是正实数,且 a1+a2+…+an=1. 求证:

a2 1

a1+a2 a2+a3



a2 2

+…+

a2 n-1

an-1+an



1 ≥ . an+a1 2

a2 n

证明:根据柯西不等式,得 左边=

a2 1

a1+a2 a2+a3



a2 2

+…+

a2 n-1

an-1+an an+a1
- 1



a2 n
+ an) + (an +

= [(a1 + a2) + (a2 + a3) + (a3 + a4) + … + (an

a1)]×?? ?

? a1 ?2 ? a2 ?2 ? a3 ?2 ? +? ? +? ? + ?? a1+a2? ? a2+a3? ? a3+a4?
…+? 1 ? an-1 ?2 ? an ?2? ? +? ? ?×2 ? an-1+an? ? an+a1? ?
2 2 2

=[( a1+a2) +( a2+a3) +…+( an-1+an) +(

an+a1)2]×?? ?

? a1 ?2 ? a2 ?2 ? an-1 ?2 ? +? ? +…+? ? ?? a1+a2? ? a2+a3? ? an-1+an?



1 ? an ?2? ? ? ?×2 a + a ? n 1? ?

?? ≥?? a1+a2× ??

a1 ? ? a2 ? ?+? a2+a3× ?+…+ a1+a2? ? a2+a3?

5

1 1 ? an-1+an× an-1 ? ? an+a1× an ??2 1 2 ? ?+? ?? ×2= (a1+a2+…+an) ×2 =2 =右 an-1+an? ? an+a1?? ? 边. ∴原不等式成立.

本课时经常考查柯西不等式在证明不等式中的应用. 福建高考以解答题的形式考查了柯 西不等式在证明不等式中的应用,是高考命题的一个新亮点. [考题印证] (福建高考)已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 (2)若 a,b,c∈R+,且 + + =m,求证:a+2b+3c≥9. a 2b 3c [命题立意] 本题考查一般形式的柯西不等式在证明中的应用. [解] (1)因为 f(x+2)=m-|x|, 所以 f(x+2)≥0 等价于|x|≤m, 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2)证明:由(1)知 + + =1 又 a,b,c∈R+,由柯西不等式得 a 2b 3c

? ? ? ? + 3c· a+2b+3c=(a+2b+3c)? + + ?≥? a· + 2b· ? =9. ?a 2b 3c? ? a 2b 3c ?
1 1 1 1 1 1

2

6

一、选择题 1.已知 a,b,∈R+,且 a+2b=10,则 a +b 的最小值为( A.5 B.10 C.20 D.30
2 2 2 2 2 2

)

解析:选 C 根据柯西不等式有(a +b )(1+2 )≥(a+2b) =100. ∴a +b ≥20,当且仅当 a= =2 时取等号. 2 2.设 a1,a2,…,an 为实数,P= 大小关系为( ) C.P<Q D.不确定
2 2 a2 a1+a2+…+an 1+a2+…+an ,Q= ,则 P 与 Q 的 n n 2 2

b

A.P>Q B.P≥Q

解析:选 B 由柯西不等式知 1 1 2 2 2 (a1+a2+…+an)2·(1+1+…+1),\s\do4(n 个))2 ≥a1+a2+…+an, ∴ 即得
2 2 a2 n≥a1+a2+…+an. 1+a2+…+an· 2 2 a2 a1+a2+…+an 1+a2+…+an ≥ ,∴P≥Q. n n 2 2 2

3.已知 x,y,z∈R+且 x+y+z=1,则 x +y +z 的最小值是( 1 A.1 B. 3 2 C. 3 D.2

)

1 1 解析: 选 B 根据柯西不等式, x2+y2+z2= (12+12+12)·(x2+y2+z2)≥ (1×x+1×y 3 3 1 1 2 2 +1×z) = (x+y+z) = . 3 3 4 4.若 2a>b>0,则 a+ 的最小值为( (2a-b)·b A.1 B.3 C.8 D.12 解析:选 B ∵2a>b>0,∴2a-b>0. 8 4 1? ? ∴a+ = ?(2a-b)+b+ (2a-b)·b? (2a-b)·b 2? ? 3 1 8 ≥ ·3 (2a-b)·b· =3. 2 (2a-b)·b 8 当且仅当 2a-b=b= , (2a-b)·b )

7

4 即 a=b=2 时等号成立.∴当 a=b=2 时,a+ 有最小值 3. (2a-b)·b 二、填空题 5.已知 a1+a2+…+an=1,x1+x2+…+xn=1,则 a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值为 ________. 解析:(a1x1+a2x2+…+anxn)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

≤(a1+a2+…+an)(x1+x2+…+xn)=1. 答案:1

2

?a b c? ?b c a? 6.若 a,b,c 为正数,则? + + ?·? + + ?的最小值为________. ?b c a? ?a b c?
解析:由柯西不等式可知,

?a+b+c?·?b+c+a? ?b c a? ?a b c? ? ? ? ?
≥?
2

? ?

a · b

b + a

b · c

c + b

c · a

a ?2 ? c?

=3 =9. 答案:9 1 4 9 7.已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则 + + 的最小值为________.

x y z

解析:利用柯西不等式.

?1 4 9? 由于(x+y+z)? + + ? ?x y z?
2

? ≥? x· ?

1

x

+ y·

y





3 ?2

z?

? =36,

1 4 9 所以 + + ≥36.

x y z

1 2 1 2 1 1 1 2 当且仅当 x = y = z ,即 x= ,y= ,z= 时,等号成立. 4 9 6 3 2 1 4 9 ∴ + + 的最小值为 36.

x y z

答案:36 8.(湖南高考)已知 a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则 a +4b +9c 的最小值为________. 解析:由柯西不等式,得(a +4b +9c )·(1 +1 +1 )≥(a·1+2b·1+3c·1) =36,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8

故 a +4b +9c ≥12,从而 a +4b +9c 的最小值为 12. 答案:12 三、解答题 9.设 a,b,c,x,y,z 都是正数,且 a +b +c =25,x +y +z =36,ax+by+cz =30,求
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

a+b+c 的值. x+y+z

解:由柯西不等式知: 25×36=(a +b +c )(x +y +z )≥(ax+by+cz) =30 =25×36, 当且仅当 = = =k 时取“=”. 5 2 2 2 2 2 所以 k (x +y +z ) =25×36,解得 k= . 6 所以
2 2 2 2 2 2 2 2

a b c x y z

a+b+c 5 =k= . x+y+z 6
2 2

10.在直线 5x+3y=2 上求一点,使(x+2y-1) +(3x-y+3) 取得小值. 解:由柯西不等式得(2 +1 )[(x+2y-1) +(3x-y+3) ]≥[2(x+2y-1)+(3x-y+ 9 2 2 2 2 3)] =(5x+3y+1) =9.∴(x+2y-1) +(3x-y+3) ≥ . 5 当且仅当 x+2y-1=2(3x-y+3) 即 5x-4y+7=0 时取等号.
2 2 2 2

13 x=- , ? ? 35 ?5x+3y=2, ? 解方程组? 得? ? 9 ?5x-4y=-7, y= . ? ? 7

? 13 9? 故所求点的坐标为?- , ?. ? 35 7?
11.已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式 求 λ 的取值范围. 解 : 1 x+y + 1 y+z + 1 z+x ≤ 1 2 xy + 1 2 yz + 1 2 zx = 1 2 1

x+y y+z z+x



1



1

≤λ 恒成立,

? ?1× ?

z +1× x+y+z

x +1× x+y+z

y ? ? x+y+z?

9

z x y ??1 1? ? 2 2 2 + + ≤ ?(1 +1 +1 )? ??2 2? ?x+y+z x+y+z x+y+z??
= 3 , 2

故 λ 的取值范围是?

? 3 ? ,+∞?.欢迎下载! ?2 ?

组织 季 夏 门 部 们 我 第一 。 游 日 驾 自 滩 海 涌 西 去 起 一 敛地 收 很 是 始 开 刚 , 去 出 事 同 和 次 伙畅 大 怀 心 开 敞 是 后 最 , 玩 事 同 和 着浪 冲 阳 太 晒 边 海 起 一 , 谈 感情 的 间 事 同 进 增 … 笑 傻 叫 尖 花 心的 开 做 去 起 是 就 一 之 式 方 的 好 最 感情 方 对 解 了 易 容 更 会 样 这 , 事 。 温 升 快 很 会 也 2了 织 组 司 .公 :圣 是 的 深 较 响 影 , 动 活 日 节 次 几 的 诞 都说 , 茶 午 下 旦 元 Party,和 ,一 法 方 大 一 的 心 人 获 虏 是 事 没 利好 福 的 工 员 待 对 司 公 。 错 没 也 点 言 而 工 员 对 , 话 的 上心 会 就 作 围是 氛 的 作 工 当 。 乐 快 种 是 也 出 付 , 相信 率 效 作 工 候 时 的 乐 快 , 松 轻 小活 日 假 , 以 所 。 的 高 对 相 会 是 也 司工 公 是 言 而 工 员 对 利 福 小 , 动 。 式 方 种 一 视 重 的 : 来 未 望 展 束的 结 经 已 在 多会 许 有 还 作 工 我 , 里 x年 作 工 真 认 并 习 学 力 努 一年 的 新 , 遇挑 机 、 点 起 的 新 着 味 意 层楼 一 上 更 厉 接 再 心 决 我 , 战 的 来 到 经 已 在 。 公司 与 将 我 , x年 。 务 任 成 完 作 工 的 力 努 起 一 事 同 有新 年 一 的 新 务 任 对 面 , 象 气 的 我也 战, 挑 接 迎 去 貌 面 的 新 以 该 应 用 作 的 大 更 挥 发 上 位 岗 在 身有 自 。 步 进 的 大 更 总结 终 年 务 业 代 货 文 范 x-在 , 讲 来 人 个 我 对 的 波 宁 到颇 得 和 出 付 12是 , 4年 是是 更 , 中 辣 苦 甜 酸 。 的 多 满完 圆 作 工 。 获 收 和 诚 真 , 心 开 。 公 老 了 获 收 也 , 成 港物 波 宁 x年 势, 形 杂 复 的 乱 、 散 对 相 于 处 业 流 货不 做 司 公 船 合 联 强 队 车 代 贷 参与 也 头 码 有 至 甚 , 户 客 型 小 大 论 况下 情 的 劣 恶 常 非 争 竞 价 运 。 来 进 劲往 想 处 一 往 心 “ 承 秉 工 员 体 全 , 难, 困 服 克 , 风 作 良 优 的 ” 使 处 一 本确 成 外 内 控 严 道 渠 户 客 开 广 。 化 大 最 润 利 、 量 柜 保 总额 量 柜 1、 润 利 及 办共 我 , 12年 量 柜 成 完 25%完 长 增 比 同 7936T, 14%。实 760T的 标 目 期 预 初 年 成 63%。 长 增 比 同 , 元 万 润 利 毛 现 展及 拓 务 业 2、 种 货 增 新 塑料 废 、 属 金 的 办 我 占 各 , 粒 塑 品 成 及 20%在 慈溪 、 酒 老 兴 绍 了 拓 开 继 相 , 12年 的氯 团 集 巨 州 衢 、 瓶 钢 化 液 电 家 。 等 厂 纤 家 几 山 萧 、 钙 化 面 方 度 制 3、 的例 次 一 月 每 头处 源 从 由 原 的 生 产 题 问 析 分 , 会 都在 定 规 息 信 的 新 。 免 避 和 决 解 任何 。 象 印 强 加 , 申 重 或 明 说 上 会 布公 诚 开 以 可 都 法 想 和 见 意 任 有 人 决包 解 法 办 想 起 一 家 大 , 讲 明 地 效、 绩 高 提 而 从 。 的 上 活 生 工 员 括 同事 强 加 氛 气 了 跃 活 , 平 水 业 专 与 调 协 及 以 , 力 聚 凝 的 间 。 通 沟 面 方 务 商 4、 笔烂 一 无 12年 在 率 收 回 月 每 , 账 目前 到 上 75%以 约 户 客 带 钢 家 两 了 除 , 止 为 15万运 收回 前 假 年 在 能 均 户 客 它 其 , 外 费 。 络化 网 息 信 5、 动建 主 有 办 我 队近 车 小 大 港 波 宁 将 , 体 群 络 网 立 利用 , 群 络 网 成 合 整 司 公 船 及 20家 到了 做 源 资 套 箱 装 找 寻 , 化 息 信 润化 利 升 提 大 , 率 箱 套 85%的 宁波 到 现 , 助 帮 大 当 相 有 也 货 送 对 。 体 货 送 办 宁波 , 柜 单 途 长 30%为 过网 通 , 送 拼 两 为 实 格 价 柜 单 的 柜从 拼 到 找 的 效 高 以 可 , 息 信 络 应创 相 也 , 度 速 货 送 柜 单 了 高 提 而 。 润 利 了 造

在的 不 处 无 是 明 文 养, 修 德 道 人 个 一 出 现 表 以 可 它 , 可 它 谊它 友 的 间 之 与 人 进 增 以 才能 样 怎 么 那 。 了 多 太 用 作 的 生 学 小 使 的校 丽 美 在 活 习 地 明 文 我们 , 先 ?Haoreyu首 呢 里 园 份, 身 合 符 , 体 得 装 着 要 生 学 小 风采 的 上 向 勃 蓬 生 学 纪 世 新 出 现 体 让人 以 可 态 容 、 表 仪 为 因 , 正来 香 芳 些 这 。 养 修 的 你 道 知 便 看 一 你 , 朵 花 种 各 于 自 们中 他 是 便 我 、 定能 们 我 己 自 信 相 , 子 份 一 的 行 现出 表 以 可 它 , 的 在 不 处 无 是 明 文 进人 增 以 可 它 , 养 修 德 道 的 人 个 一 多太 太 用 作 它 , 谊 友 的 间 之 与 明地 文 生 学 小 使 能 才 样 怎 么 那 。 了 多 呢 里 园 校 的 丽 美 在 活 生 习 学 ?Hao首 装 着 要 生 学 小 们 我 , 先 areyou得 世纪 新 出 现 份 身 生 学 合 符 , 体 表、 仪 为 因 , 采 风 的 上 向 勃 蓬 生 学 你的 道 知 便 看 一 人 让 以 可 态 容 仪 花朵 种 各 于 自 来 正 香 芳 些 这 。 养 修 相信 子 份 一 的 中 们 他 是 便 我 、 你 , 行 能 定 一 们 我 , 己 自

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