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2012塘沽一中高二上学期文


一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 直线 y ? kx ? 1 垂直于直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 k 的值是 B. ? 3

A. 3

C.

3 3

D. ?

3 3

2. 已知命题 P : 若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? 。 Q : 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? 。下列命题为真 的是 A. P ? Q B. ??P ? ? Q C. P ? Q D. ??P ? ? ??Q ?

3. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 3 4
3 x 4
B. y ? ?

A. y ? ?

4 x 3

C. y ? ?

3 x 2

D. y ? ?

2 3 x 3

4. 已知直线 l,m 和平面 ? A.若 l // m, m ? ? ,则 l // ? C.若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m 5.函数 y ? ? x ? 3 x 的单调递减区间是
3

B.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m D.若 l ? m, l ? ? ,则 m ? ?

A.( ?? ,? )

1 3

B. ( , ? ? )

1 3

C.( ?? , ? ) U ( ,? ?)

1 3

1 3

D.(?

1 1 , ) 3 3

2 6. 抛物线 y ? 4 x 上的点 ( x 0 , y 0 ) 到抛物线焦点的距离为 3,则 y0 =

A. 2

B.2 2

C.2

D.4

7. 设 F1 F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3 ?1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? a 上一点, 2 2 a b

?F2 PF1 是底角为 150 的等腰三角形,则 E 的离心率为
A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

-1-

8. 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是 该三棱锥的三视图是 ..

3

3

3

3

A. 1
正视图 2 俯视图 侧视图

B.

2 正视图 1 俯视图

C.
侧视图

1 正视图 2 俯视图

D.
侧视图

2 正视图 1 俯视图

侧视图

9. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线均和圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切, 2 a b

且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 5 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 3 6
'

D.

x2 y 2 ? ?1 6 3

10. 已知 f ? x ? 为定义在 (??,??) 上的可导函数,且 f ( x) ? f ( x) 对于任意 x ? R 恒成立,则 A. f (?2012)e 2012 ? f (0), B. f (?2012)e 2012 ? f (0), C. f (?2012)e 2012 ? f (0), D. f (?2012)e 2012 ? f (0),

f (2013) ? e 2013 ? f (0) f (2013) ? e 2013 ? f (0) f (2013) ? e 2013 ? f (0) f (2013) ? e 2013 ? f (0)

二.填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.请把答案填写在答题纸相应的位 置上) 11. 曲线 y ? 2e
x

在 x ? 1 处的切线斜率为
* 2

; ; ;

12. 已知命题 p : ?x ? N , x ? 1 ,则 ?p 为
2 2 2
2 2

13. 若圆 x ? y ? t 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 外切,则正数 t 的值为 14. 一个几何体的三视图如右图所示(单位长度: cm ) , 则此几何体的体积是

cm 3 ;

-2-

15. 已知条件“ p : x ? 1 ? 2 ” ;条件“ q : x ? a ” , p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取 值范围_____________; 16. 已知 a ? 0 ,若关于 x 的方程

a ? x 2 ? 2 ? x 有解, 则 a 的取值范围



三.解答题:(本大题 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 8 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 ,点 A?4,3? ,求: (1)过点 A 的圆的切线方程; (2)O 点是坐标原点,连结 OA,OC,求△AOC 的面积 S.

18 . (本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,

AD // BC , ?ADC ? 90 0 , BC ?

1 AD , PA ? PD , Q 为 AD 的 2

P

中点. (1)求证:直线 AD ? 平面 PBQ ; (2)若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA// 平面 MBQ ; (3)若 PQ ? BQ ? BC , PB ? 正切值.

2 BC ,求二面角 A - PB - Q 的
Q

D

C

B

A

-3-

19.(本小题满分 10 分)已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点为 B (0, 4) ,离心率

e?

5 ,直线 l 交椭圆于 M、N 两点. 5
(1)求椭圆的方程. (2)若直线 l 的方程为 y ? x ? 4 ,求弦 MN 的长; (3)如果Δ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 的方程.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a x - 2 a ? R, x ? R .
3 2 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 只有一个零点,试求实数 a 的取值范围; (3)是否存在实数 a 使直线 y ? ax ? 2 与曲线 f ( x) ? x ? 2ax ? a x - 2 相切,若存在
3 2 2

求出所有的 a 的值,若不存在,请说明理由.

-4-

2012 年塘沽一中、汉沽一中、大港一中期末联合考试 高二 数学(文)试卷答案

一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. ) BCDCD BADAA 二.填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 11. 2e . 14. 12. ?x ? N , x ? 1 .
* 2

13.4. . 16. 1, 2

224 . 3

15. a ? 1

?

?.

三.解答题:本大题 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2 2

17. (本小题满分 10 分)已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 ,点 A?4,3? ,求: (1)过点 A 的圆的切线方程; (2)O 点是坐标原点,连结 OA,OC,求△AOC 的面积 S. 解答:(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1. 设直线方程为 y-3=k(x-4), 即 kx-y+3-4k=0,由直线与圆相切得, |-k+2| 3 =1,∴k= ? 2 k +1 3 ∴直线方程为 ------------------------------3 ------------------------------2

3x ? 3 y ? 9 ? 4 3 ? 0 或
------------------------------5 -----------------------------6

3x ? 3 y ? 9 ? 4 3 ? 0 .
(2) AO ?

9 ? 16 ? 5 OA:3x-4y=0,

-5-

点 C 到直线 OA 的距离 d= 1 S= · d· |AO|=3. 2

6 , 5
-----------------------------8

18. (本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,

AD // BC , ?ADC ? 90 0 , BC ?

1 AD , PA ? PD , Q 为 AD 的中点. 2 (1)求证:直线 AD ? 平面 PBQ ; (2)若点 M 是棱 PC 的中点,求证 PA// 平面 MBQ ;
(3)若 PQ ? BQ ? BC , PB ?

2 BC ,求二面角 A - PB - Q 的大小。

1 解答:(1)证明:AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形, 2 ∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90° ,∴∠AQB=90° ,即 QB⊥AD. ∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. ∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ---------------------------3 分 (2)解:连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. 1 ∵BC= AD, 2 ∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点. ∵点 M 是线段 PC 的中点,∴MN∥PA. ∵MN ? 平面 BMQ,PA ? 平面 BMQ,∴PA∥平面 BMQ.-------- -------------------6 分

19. (本小题满分 10 分)已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点为

B (0, 4) ,离心率 e ? (1)求椭圆的方程。

5 ,直线 l 交椭圆于 M、N 两点. 5

(2)若直线 l 的方程为 y ? x ? 4 ,求弦 MN 的长; (3)如果Δ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 的方程.

-6-

∴ 所求弦长 | MN |? 1 ? 12 | x2 ? x1 |? (2)椭圆右焦点 F 的坐标为 (2, 0) , 设线段 MN 的中点为 Q ( x0 , y0 ) , 由三角形重心的性质知 BF ? 2 FQ ,又 B (0, 4) , ∴ (2. ? 4) ? 2( x0 ? 2, y0 ) ,故得 x0 ? 3, y0 ? ?2 , 求得 Q 的坐标为 (3, ?2) ; 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6, y1 ? y2 ? ?4 ,
2 x1 y2 x2 y 2 ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 , 20 16 20 16

40 2 ; 9

????????6 分

??? ?

??? ?

????????8 分



????????9 分

以上两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, 20 16

∴ kMN ?

y1 ? y2 4 x ?x 4 6 6 ?? ? 1 2 ?? ? ? , x1 ? x2 5 y1 ? y2 5 ?4 5

故直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 3) ,即 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 .
3 2 2

6 5

????????10 分

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a x - 2 a ? R, x ? R . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 在只有一个零点,试求实数 a 的取值范围; (3)是否存在实数 a 使直线 y ? ax ? 2 成为 f ( x) ? x ? 2ax ? a x - 2 的切线,若存在
3 2 2

求出所有的 a 的值,若不存在,请说明理由;
-7-

解答: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 2 x ? x - 1 ,∴ f ( x) ? 3 x ? 4 x ? 1 ,
3 2 ' 2

令 f ( x) ? 0 ,则 x1 ? - , x2 ? ?1 ,
/

1 3

………………1 分

x 、 f / ( x) 和 f ( x) 的变化情况如下表 x
f / ( x)
(??, ?1)
?1
0

1? ? ? - 1,- ? 3? ?

-

1 3
0

? 1 ? ? - ,?? ? ? 3 ?
+

+

?

极小值 极大值

f ( x)



f (-1) ? 0



58 ? 1? f ?- ? ? 27 ? 3?



即函数的极大值为 0,极小值为 ' 2 2

58 ; 27

………………4 分

(2) f ( x) ? 3 x ? 4ax ? a ? ? x ? a ??3 x ? a ? , 若 a ? 0 , f (x) 在 ?- ?,-a ? 上 单 增 , 在 ? - a,-

? ?

a? ? a ? ? 上 单 减 , 在 ? - ,?? ? 单 增 , 由 于 3? ? 3 ?

f (-a ) ? -2 ? 0 ,可知 a ? 0 显然成立;
若 a ? 0 , f ( x) ? x - 1 在定义域内单增,且 f (3 2 ) ? 0 ,满足题意。
3

若 a ? 0 , f (x) 在 ? - ?,-

? ?

a? ? a ? ? 上 单 增 , 在 ? - ,-a ? 上 单 减 , 在 ?- a,?? ? 单 增 , 令 3? ? 3 ?

33 4 a 4a 3 f (- ) ? ? -2 ? 0得a ? ? 2 3 27
? ? ? 33 4 ? 综上 a ? ? ? ,?? ? 2 ? ? ? ?
----------------------8 分

-8-

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