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高考数学基础强化训练题


高考数学基础强化训练题

— 《立体几何》

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.给出下列四个命题 ①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线 l1 , l2 与同一平面 所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行.④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线.其中假 . 命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C .3 D.4 2.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个 120°的二面角,点 C 到达点 C1,这时异面直线 AD 与 BC1 所成角 的余弦值是 ( ) A.

2 2

B.

1 2

C.

3 4

D.

3 4


3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,这个长方体对角线的长为( A.2 3 B.3 2 C .6 D. 6

0 4.已知二面角α -l-β 的大小为 60 ,m、n 为异面直线,且 m⊥α ,n⊥β ,则 m、n 所成的角为 ( )

A.30 B.60 C.90 5.如图,在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别为各边的中点, G、H、I、J 分别为 AF、AD、BE、DE 的中点.将△ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度 数为 ( ) A.90° B.60° C.45° D.0° 6.两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长 为 1 的正方体内,使正四棱锥的底面 ABCD 与正方 体的某一个平面平行,且各顶点 均在正方体的面上, ... 则这样的几何体体积的可能值有 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.无穷多个

0

0

0

D.120
A H

0

G

F

C

J D I B

E





7.正方体 A′B′C′D′—ABCD 的棱长为 a,EF 在 AB 上滑动,且|EF|=b(b<a=,Q 点在 D′C′上滑动, 则四面体 A′—EFQ 的体积为 ( ) A.与 E、F 位置有关 B.与 Q 位置有关 C.与 E、F、Q 位置都有关 D.与 E、F、Q 位置均无关,是定值 8. (理)高为 5,底面边长为 4 3 的正三棱柱形容器(下有底) ,可放置最大球的半径是( A. )

3 2 3 B.2 C. D. 2 2 2 (文)三个两两垂直的平面,它们的三条交线交于一点 O,点 P 到三个平面的距离比为 1∶
2∶3,PO=2 14 ,则 P 到这三个平面的距离分别是 A.1,2,3 B.2,4,6
-

( D.3,6,9



C.1,4,6
-

1

9.如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四 面体的内切球(与四个面都相切的球)球心 O, 且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果截面将四 面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 A- BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1, S2,则必有 ( ) A.S1?S2 B.S1?S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定 10. 已知球 o 的半径是 1,ABC 三点都在球面上,AB 两点和 AC 两点的球面距离都是 A.
p 4

A

O

D F

B

E C

p p ,BC 两点的球面距离是 ,则二面角 B-OA-C 的大小是 4 3





B.

p 3

C.

p 2

D.

2p 3

11.条件甲:四棱锥的所有侧面都是全等三角形,条件乙:这个四棱锥是正四棱锥,则条件甲是条件乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知棱锥的顶点为 P,P 在底面上的射影为 O,PO=a,现用平行于底面的平面去截这个棱锥,截面交 PO 于点 M,并使截得的两部分侧面积相等,设 OM=b,则 a 与 b 的关系是 ( ) A.b=( 2 -1)a C.b= B.b=( 2 +1)a

2 ? 2a 2 ? 2a D.b= 2 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)
13.已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等于_______________. 14.若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ? ,则 cos? =______. 15.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为___________. 16.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的, C1 如图,正方体的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶 D1 点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶 A1 点到 ? 的距离分别为 1,2 和 4,P 是正方体的其 C 余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能 D 是: ( ) B ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 ? A 以上结论正确的为______________. (写出所有正 A1 第 16 题图 确结论的编号 ) ..

B1

三、解答题(本大题共 6 小题, 共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 已知 DA ? DC ? 4, DD1 ? 3 , 求异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

-

-

2

18. (本小题满分 12 分)如图, l1 、 l 2 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段。点 A、B 在 l1 上,C 在 l 2 上, AM ? MB ? MN . (1)证明 AC ? BN; (2)若 ?ACB ? 60O ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,p 是侧棱 CC1 上的一点, CP ? m . (1)试确定 m ,使得直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成角的正切值为 3 2 ; (2)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q ,使得对任意的 m , D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP .并 证明你的结论.

20. (本小题满分 12 分) (文)正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别为棱 AB、BC、DD1 的中点. (1)求证:PB⊥平面 MNB1; (2)设二面角 M—B1N—B 为α ,求 cosα 的值.

-

-

3

21. (本小题满分 12 分)已知正方形 ABCD . E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,将 ADE 沿 DE 折起,如图所示, 记二面角 A ? DE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) . (1)证明 BF // 平面 ADE ; (2) 若?A C D 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证明你的结论,并求角 ? 的余弦值. B A B E F C E F A D D

C

22. (本小题满分 14 分)如图,在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中,E、P 分别是 BC、A1D1 的中点,M、N 分别是 AE、 CD1 的中点,AD=AA1=a,AB=2a. (1)求证:MN∥面 ADD1A1; (2)求二面角 P─AE─D 的大小; (3)求三棱锥 P─DEN 的体积.

-

-

4

参考答案
1. D.利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确,故选择答案 D. 2. D.由题意易知∠ABC1 是 AD 与 BC1 所成的角,解△ABC1,得余弦为

3 .答案:D. 4

?ab ? 2 ?a 2 ? 2 ? ? ? ? 3. D.设长宽高为 a、b、c,则 ?bc ? 3 ? ?b 2 ? 1 ? l= 6 ,答案:D. ? ? 2 ac ? 6 ? ? ?c ? 3 ? 0 4. B. 作图可知满足条件的 m、n 所成的角 120 为故应选 B.
5. B.平面图形折叠后为正三棱锥.如图,取 EF 的中点 M,连结 IM、MJ,则 MJ MJ∥GH,∠IJM 为异面直线 GH 与 JI 所成的角.
(A , B, C) I H M J D E

1 FD,GH 2

1 FD,∴ 2

G F

由已知条件易证△MJI 为正三角形.∴∠IJM=60°.答案:B. 6. D. 法一:本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形,显然有无穷多个 法二:通过计算,显然两个正四棱锥的高均为

1 ,考查放入正方体后,面 ABCD 所在的截面,显然其面积 2
?1 1 ? Q6 3 ? ? C'
B'

是不固定的,取值范围是 ? ,1? ,所以该几何体的体积取值范围是 ? , ?
D'

?1 ? ?2 ?

7. D.VA′-EFQ=VQ-A′EF.

A'

D

C B

8.(理)B.过球心作平行于底的截面,R=2 3 tan30°=2.

A

E

F

(文)B.
R

2 3

9. C .连 OA、OB、OC、OD 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故 SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+SEFC 又面 AEF 公共,故选 C 10. 如图,由题可知∠AOB=∠AOC=
p p ,而∠BOC= ,因为 OA=OB=OC=1,所以 BC=1,且分别过 B C 作 OA 的垂线, 4 3
2 p ,从而∠BMC= ,应选 C. 2 2
5

垂足为同一点 M,于是∠BMC 为二面角 B-OA-C 的平面角,所以 S BM=CM= 11. B.乙 ? 甲,但甲 乙,例如四棱锥 S—ABCD
A D C

B

的底面 ABCD 为菱形,但它不是正四棱锥.

12. C.由平行锥体底面的截面性质,知 13. ? ?

1 3V h 底面边长 a ? S , 高h ? , 二面角的余切值 tan? ? . (2 6 ) 2 ? 12 , 3 S 2 a/2 3V / S 6V 6 ? 12 ? 代入数据,得: tan? ? ? ? ? 3 .又 ? 必为锐角,所以 ? ? . 3 S / 2 S S 12 ? 12


?

2 2? 2 2? 2 PM OM 2 ? 2 b = ,∴ = .∴ = .∴b= a.答案:C. 2 2 2 2 a PO PO

底面正方形面积 S ?

14.

6 .不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直 3
的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故 cos ? ?

2 6 ? . 3 3

15. 27? .

d ?3 3?R?

3 3 ? S ? 4?R 2 ? 27? 2

D1

C1 A1 B1

16. ①③④⑤. 如图,B、D、A1 到平面 ? 的距离分别为 1、2、4,则 D、A1 的中点到平面 ? 的距离为 3,所 以 D1 到平面 ? 的距离为 6;B、A1 的中点到平面 ? 的 距离为

D

C

B 5 ? ,所以 B1 到平面 ? 的距离为 5;则 D、B 的 A 2 A1 第 16 题图 3 中点到平面 ? 的距离为 ,所以 C 到平面 ? 的距离 2 7 为 3;C、A1 的中点到平面 ? 的距离为 ,所以 C1 到平面 ? 的距离为 7;而 P 为 C、 2

C1、B1、D1 中的一点,所以填①③④⑤. 17.法一:连接 A1 D ,

? A1 D // B1C, ? ?BA1 D 为异面直线 A1 B 与 B1C 所成的角. 连接 BD ,在△ A1 DB 中,
A1 B ? A1 D ? 5, BD ? 4 2 ,
则 cos ?BA1 D ?

A1 B 2 ? A1 D 2 ? BD 2 2 ? A1 B ? A1 D

?

25 ? 25 ? 32 9 . ? 2?5?5 25

9 . 25 法二:以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DD1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系. 则 A1 (4, 0, 3)、B(4, 4, 0)、B1 (4, 4, 3)、C (0, 4, 0) ,

?异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 arccos

得 A1 B ? (0, 4, ? 3),

B1C ? (?4, 0, ? 3) .

设 A1 B 与 B1C 的夹角为 ? , 则 cos ? ?

A1 B ? B1C A1 B ? B1C

?

9 , 25

? A1 B 与 B1C 的夹角大小为 arccos

9 , 25
6

即异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为

9 . 25 18.(1)AM = MB = MN,说明 NM 是△ANB 的中线且为边 AB 的一半,所以△ANB 是直 角三角形,其中 ? ANB 为直角。所以 BN ? NA。① l1 ? l2 且 MN ? l2 ? l2 ? 面 ABN ? l2 ? BN。② arccos
由①、②可推出 BN ? 面 NAC。所以 AC ? BN。 (2)MN ? AB 且 M 为 AB 中点 ? AN = MN ③ 由(1)知,AN、BN、CN 两两垂直 ④ 由③、④ ? AC = BC,又 ? ACB = 60? ,所以△ABC 是等边三角形。 设 BN 长度为 1,则 AB =

C

2,
A M 图 3 B N

S?ABC ?

1 三棱锥 C ? ABN 的体积为: ; 6 1 三棱锥 N ? ABC 的体积为: S ?ABC h 3
3 3 h 3 ? 记 NB 与平面 ABC 所成角为 ? ,则 sin ? ? 。 NB 3 6 从而 cos? ? 3
由 VC ? ABN ? VA? ABC 可得 点 N 到面 ABC 的距离 h ?

3 4

? 2?

2

?

3 2

实际上,这个题的命题背景是 N ? ABC 是正方体的一个“角” 。如图 3. 19. 法一: (1)连 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面

BDD1 B1 相交于点,,连结 OG,因为 PC∥平面 BDD1 B1 ,
D1

C1 B1
G O P

平面 BDD1 B1 ∩平面 APC=OG, 故 OG∥PC,所以,OG=

A1

1 m PC= . 2 2
A

D

C

又 AO⊥BD,AO⊥BB1,所以 AO⊥平面 BDD1 B1 , 故∠AGO 是 AP 与平面 BDD1 B1 所成的角.
2

B

在 Rt△AOG 中,tan ? AGO= OA ? 2 ? 3 2 ,即 m= . 3
GO m 2

1

所以,当 m=

1 时,直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成的角的正切值为 3 2 . 3
7

(2)可以推测,点 Q 应当是 AICI 的中点 O1,因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面 ACC1A1, 又 AP ? 平面 ACC1A1,故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知,D1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直。 法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)
??? ? ???? ??? ? ???? 所以 BD ? (?1, ?1, 0), BB1 ? (0, 0,1), AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1, 0).

又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0 知, AC 为
D1

???? ??? ?

???? ????

????

z

C1
j

平面 BB1 D1 D 的一个法向量. 设 AP 与 平 面 BB1 D1 D 所 成 的 角 为 ? , 则
A1 D

O1 B1

P

C

y

A
x

B

??? ? ???? AP ? AC 1 2 3 2 2 依题意有 故 sin? ? cos( ? ? ? ) ??? ? , 解得 m ? . ? ???? ? 3 2 AP ? AC 2 ? 2 ? m2 2 ? 2 ? m2 1 ? (3 2)2

?

当m ?

1 时,直线 AP 与平面 BB1 D1 D 所成的角的正切值为 3 2 . 3
???? ?

(2)若在 A1C1 上存在这样的点 Q,设此点的横坐标为 x ,则 Q(x,1- x ,1), D1Q ? ( x,1 ? x, 0) 。依 题 意 , 对 任 意 的 m 要 使 D1Q 在 平 面 APD1 上 的 射 影 垂 直 于 AP , 等 价 于 D1Q ⊥ AP ? AP ? D1Q ? 0 ? ? x ? (1 ? x) ? 0 ? x ?

??? ? ???? ?

1 . 即 Q 为 A1C1 的中点时,满足题设要求. 2

20. (理) (1)证明:以 A 为原点,分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 则 A(0,0,0) ,B(a,0,0) ,M( , MN =(0, AB =(a,0,0)

a a b c ,0,0) ,N( , , ). 2 2 2 2

b c , ). 2 2

AB · MN =0 ? AB⊥MN.
(2)P(0,0,c) ,C(a,b,0) , PC =(a,b,-c) ,若 MN 是 PC、AB 的公垂线段,则 PC · MN =0,

b2 c2 + =0 ? b=c. 2 2 又∵AP⊥面 ABCD ? CD⊥PD,
即-

-

-

8

CD⊥DA ∴∠PDA 是二面角 P—CD—A 的平面角. ∴∠PDA=45°, 即二面角 P—CD—A 是 45°. (文) (1)如图,以 D 为原点,DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,取正方体棱 长为 2,则 P(0,0,1) 、M(2,1,0) 、B(2,2,0) 、B1(2,2,2).
z D1 C1 B1 P D A x N M B C y

A1

∵ PB · MB1 =(2,2,-1) · (0,1,2)=0, ∴MB1⊥PB,同理,知 NB1⊥PB. ∵MB1∩NB1=B1,∴PB⊥平面 MNB1. (2)∵PB⊥平面 MNB1,BA⊥平面 B1BN,∴ PB =(2,2,-1)与 BA =(0,2,0)所夹的角即为α , cosα =

PB ? BA | PB || BA |

=

2 . 3

21. (1)EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,?EB//FD,且 EB=FD, ? 四边形 EBFD 为平行四边形.?BF//ED

? EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED ? BF // 平面 ADE .
(2)法一:如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD.? ? ACD 为正三角形, ? AC=AD?CG=GD ? G 在 CD 的垂直平分线上, ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平面角.即 ?AHG ? ? 设原正方体的边长为 2a,连结 AF 在折后图的 ? AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF ? AG ?

3 a 2

在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD

?A H?

2 a 5

? GH ?

a 2 5

co? s ?

GH 1 ? . AH 4

法二:点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF,在平面 AEF 内过点作 AG? ? EF ,垂足为 G? . ? ? ACD 为正三角形,F 为 CD 的中点, ? AF ? CD
9

又因 EF ? CD ,

所以 CD ? 平面AEF

? ? 平面 A E F ?A G ? AG? ? CD

又 AG? ? EF 且 CD ? EF ? F , CD ? 平面BCDE, EF ? 平面BCDE

? AG? ? 平面BCDE

? G? 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.

即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平面角.即 ?AHG ? ? 设原正方体的边长为 2a,连结 AF 在折后图的 ? AEF 中, AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF ? AG ?

3 a 2

在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD

?A H?

2 a 5

? GH ?

a 2 5

co? s ?

GH 1 ? . AH 4

法三: 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF,在平面 AEF 内过点作 AG? ? EF ,垂足为 G? . ? ? ACD 为正三角形, F 为 CD 的中点,

? AF ? CD

又因 EF ? CD ,

所以 CD ? 平面AEF

?CD ? 平面BCDE

?平面A E F ? 平面B C D E

又? 平面AEF ? 平面BCDE =EF,AG? ? EF

?? EF AG

? AG? ? 平面BCDE

? G? 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.

即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平面角.即 ?AHG ? ? 设原正方体的边长为 2a,连结 AF 在折后图的 ? AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF

? A G?

3 a 2

在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD

?A H?

2 a 5

? GH ?

a 2 5

,

cos ? ?

GH 1 ? . AH 4

22. 法一:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 D─xyz,
10

则 A(a,0,0)、B(a,2a,0)、C(0,2a,0)、A1(a,0,a)、 D1(0,0,a) ∵E、P 分别是 BC、A1D1 的中点,M、 N 分别是 AE、CD1 的中点, ∴E(

a a 3a a ,2a,0 ),P( ,0, a ),M( , a,0 ) ,N( 0, a, ) 2 2 4 2
0 ,∴ MN ? n .又∴MN ? 面 ADD1A1,

???? ? ? ???? ? 3a a (1) MN = (,0, ) ,取 n ? (0,1,0) ,显然 n ⊥面 ADD1A1 而 MN ?n 4 2 ∴MN∥面 ADD1A1;

a (2)过 P 作 PH⊥AE,交 AE 于 H.取 AD 的中点 F,则 F ( ,0,0) ,设 H(x,y,0), 2 ??? ? ???? a a 则 HP = ( - x, - y, a) , HF = ( - x, - y,0) . 2 2
??? ? ??? ? ??? ? a 又 AE = (- , 2a,0) ,由 HP ?AE 2

? a2 a ? x ? 2ay ? 0, ?? 0 以及 H 在直线 AE 上可得: ? 4 2 ?4 x ? y ? 4a. ?

解得 x=

??? ? ???? 33 2 8a 2a 8a 2a a ,y= a .∴ HP = (,, a) HF = (,,0) , 34 17 17 17 17 17
??? ?

所以 HF ? A E0 即 HF ? AE , ∴ HP 与 HF 所 夹 的 角 等 于 二 面 角 P ─ AE ─ D 的 大
??? ? ???? ??? ? ???? HP ×HF 小. cos < HP, HF > = ???? ???? = HP HF 2 21

? ? ? ? ? ? ??

????

,
2 21 . 21

所以二面角 P─AE─D 的大小 arccos
? ? ?

(3)设 n1 = ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 DEN 的法向量, n1 ? DE , n1 ? DN
???? ???? ? a a ??? a 又 DE = ( , 2a, 0) , DN = (0, a, ) , DP = ( ,0, a) 2 2 2

?a x ? 2qy1 ? 0, ? ? x1 ? ?4ay1 , ?2 1 ?? 即? 所以面DEN的一个法向量n1 ? (4,?1,2) ?ay ? a z ? 0. ? z1 ? ?2 y1 . 1 1 ? 2 ?
??? ? ?? ? DP ×n1 ∴P 点到平面 DEN 的距离为 d= ?? ? = n1 2a + 2a 16 + 1 + 4 ???? ???? = 4a 21 ???? ???? DE ×DN DE DN 21 85

∵ cos < DE , DN > = ???? ???? =
DE DN

???? ????

???? ???? DE ×DN

8 85

, sin < DE , DN > = ???? ???? =
21 2 a . 8

,

SD DEN =

???? ???? 1 ???? ???? DE 鬃 DN sin < DE, DN > = 2

所以 VP- DEN =

1 SD DEN ?d 3

a3 . 6

法二: (1)证明:取 CD 的中点 K ,连结 MK , NK ∵ M , N , K 分别为 AK , CD1 , CD 的中点 ∵ MK // AD, NK // DD1
11

∴ MK // 面 ADD1 A1 , NK // 面 ADD1 A1 ∴面 MNK // 面 ADD1 A1 ∴ MN // 面 ADD1 A1 (2)设 F 为 AD 的中点 ∵ P 为 A1 D1 的中点 ∴ PF // DD1 ∴ PF ? 面 ABCD 作 FH ? AE ,交 AE 于 H ,连结 PH ,则由三垂线定理得 AE ? PH 从而 ?PHF 为二面角 P ? AE ? D 的平面角. 在 Rt ?AEF 中, AF ? a , EF ? 2a, AE ? 17 a ,从而
2 2
a ? 2a AF ? EF 2a FH ? ? 2 ? AE 17 17 a 2

.

在 Rt ?PFH 中, tan ?PFH ? PF ? DD1 ? 17
FH FH 2

故:二面角 P ? AE ? D 的大小为 arctan 17
2

1 5 2 a . 4 4 作 DQ ? CD1 ,交 CD1 于 Q ,由 A1 D1 ? 面CDD1C1 ,得 A1 D1 ? DQ ,∴ DQ ? 面BCD1 A1 .

(3) S?NEP ? S矩形ECD P ? BC ? CD1 ? ? a ? a 2 ? 4a 2 ?
1

1 2

1 4

在 Rt ?CDD1 中, DQ ?
1 3

CD ? DD1 2a ? a 2 ? ? a, CD1 5a 5
1 5 2 2 a3 . a ? a? 3 4 6 5

∴ VP ? DEN ? VD ? NEP ? S?NEP ? DQ ? ?

-

-

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