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(经典)讲义:等比数列及其前n项和


(经典)讲义:等比数列及其前 n 项和
1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1·qn-1. 3.等比中项 若 G =a·b(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am·qn-m,(n,m∈N+). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则 ak·al=am·an. (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an}(λ ≠0),?
?an? ? ? ? ?仍是等比数列. ? ?bn? ? ?1? ? ? ?,{a2 {an·bn}, n}, a ? n ? ? ?
2

(4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等 比数列,其公比为 qn. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn= 【注意】 6.利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和:

a1 1-qn a1-anq = . 1-q 1-q

Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1,
同乘 q 得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn,

a1 1-qn 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1q ,∴Sn= (q≠1). 1-q
n

7.1 由 an+1=qan,q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. 7.2 在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,
1

防止因忽略 q=1 这一特殊情形导致解题失误. 8.等比数列的判断方法有: (1)定义法:若

an+1 an =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N*), an an-1

则{an}是等比数列.
* (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 a2 n+1=an〃an+2(n∈N ),则数列{an}是等

比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c〃qn(c,q 均是不为 0 的常数,n ∈N*),则{an}是等比数列.

一、知识梳理
1.等比数列前 n 项和公式 ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? (q ? 1) ? (1) Sn ? ? 1 ? q 1? q ?na (q ? 1) ? 1 探索导引: 求和 S ? 1? 2 ? 4 ?

? 263

说明:对于等比数列的前 n 项和公式: 从方程观点看:由等比数列的前 n 项和公式及通项公式可知,若已 知 a1 , q, n, an , Sn 中的三个即可建立方程组求其余两个,即“知三求二”. 在运用等比数列的前 n 项和公式时,一定要注意讨论公比 q 是否为 1. 2. 与前 n 项和有关的等比数列的性质 探索导引: (1)若等比数列 {an } 中,公比为 q ? ?1 ,依次 k 项和 k 等比数列 {an } 中,已 S , S ? S , S ? S , 成公比为 q 的等比数列.
k 2k k 3k 2k

(2)若等比数列 {an } 的公比为 q ,且项数为 2n(n ? N ? ) ,则

S偶 S奇

?q.

知, S2 ? 20, S4 ? 60 , 求 S6 ,并考虑等式
S2 (S6 ? S4 ) ? (S4 ? S2 )2 是否成立?

说明:利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注 意是 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k , 成等比数列,而不是 Sm , S2m , S3m , 成等比 数列.

二、方法
(一)等差数列前 n 项和公式的应用

2

理解例题 1:在等比数列中, (1)已知 a1 ? 3, q ? 2, 求 a6 , S6 ; 1 1 (2)已知 a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? , 求 n ; 3 90 (3)已知 a1 ? ?1, a4 ? 64, 求 q 和 S4 ; 3 9 (4)已知 a3 ? , S3 ? 求 a1 , q ; 2 2 分析:在等比数列中有五个重要量 a1 , an , q, n, Sn , 只要已知任意 三个,就可以求出其他两个.其中 a1 和 q 两个最重要的量,通常 要先求出 a1 和 q . 解:(1)
a6 ? a1q5 ? 3 ? 25 ? 96 .
S6 ? a1 (1 ? q 6 ) 3(1 ? 26 ) ? ? 189 . 1? q 1? 2 1 1 (2) an ? a1qn?1 ,? ? ?2.7 ? (? )n?1 ? n ? 6 90 3 (3) a4 ? a1q3 ,? 64 ? ?q3 ,? q ? ?4 a ? a4 q ?1 ? 64 ? (?4) S4 ? 1 ? ? 51 1? q 1 ? (?4)

知识体验:已知等比数列的 五个量 a1 , an , q, n, Sn 中的任 意三个求其他两个时,要用 等比数列的通项公式以其 及前 n 项和公式.

3 ? a ? a1q 2 ? (1) ? ? 3 2 (4) ? ? S ? a (1 ? q ? q 2 ) ? 9 (2) 3 1 ? ? 2 1 ? q ? q2 ?3 (2)÷(1)得 q2

? 2q2 ? q ? 1 ? 0 ? q ? 1 或 q ? ?

1 2

3 1 ,当 q ? ? 时, a1 ? 6 2 2 (二)与等差数列前 n 项和有关的性质的应用 理解例题 2:等比数列 {an } 中 Sm ? 12 , S2m ? 36, 求 S3m .
当 q ? 1 时, a1 ? 分析: 在有关等比数列的问题中, 均可化成有关 a1 、 q 的关系 列方程求解.本题中注意下标的关系,可考虑用等差数列前 n 项 和的有关性质来简化运算. 解法一: 由 Sm ? 12 , S2m ? 36, 可知 q ? 1 (若 q ? 1, S2 m ? 2Sm )
? a1 (1 ? q m ) S ? ? 12 ? m 1? q ? ?? 2m ? S ? a1 (1 ? q ) ? 36, 2m ? 1? q ? a ? q m ? 2, 1 ? ?12 1? q
? S3 m ? a1 (1 ? q 3m ) ? 84 1? q

知识体验 : 在学习了等比 数列前 n 项和的有关性质 后,我们用其来求解有关 等差数列的前 n 项和问题.

解得 1 ? q m ? 3 ,

方法提炼:求解该类问题一 般有两种方法: ①可化成有关 a1 、q 的关系 列方程组求解. ②可利用等比数列中连续 等段和成等比的性质即性 质(1)求解.

解法二:

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 成等比数列

? Sm (S3m ? S2m ) ? (S2m ? Sm )2 S3m ? 36 ? 242 ? 12 ? 48
3

? S3m ? 84

三、 例题
(一) 题型分类全析
1.等比数列前 n 项和公式的基本运算 本题有关等 例 1:在等比数列的 {an } 中: a3 ? a1 ? 8, a6 ? a4 ? 216, Sn ? 40, 求公比 q , a1 比数列前 n 及n. 思路直现:由已知两个条件,可建立关于 a1 , q 的方程组,分别解出 a1 , q 的值, 项 和 的 基 本 运算的考查. 代入 Sn 即可求出 n . 转化为关于 解:由已知可得 a1 , q 的 方 程 2 ? ?a1 ? 1, ?a3 ? a1 ? a1 (q ? 1) ? 8, 组求解. ?? ? 3 2 q ? 3, a ? a ? a q ( q ? 1) ? 216, ? ? 4 1 ? 6 a1 (1 ? q n ) 1 ? 3n ? Sn ? ? ? 40 ? n ? 4 1? q 1? 3 总结: 在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题 的基本方法. 例 2 已知数列 {an } 是等比数列,其前 n 项和 Sn ,若 S3 ? S6 ? 2S9 ,求该数列的 本 题 考 查 了 等比数列前 公比 q . n 项和公式 思路直现:由已知两个条件,可建立关于 a1 , q 的方程组,分别解出 a1 , q 的值, 的 运 用 和 分 代入 Sn 即可求出 n . 类讨论的思 想. 解: 若 q ? 1 ,则 Sn ? na1 , 因不知 q 的 ? S3 ? S6 ? 3a1 ? 6a1 ? 9a1 , 2S9 ? 18a1 ,此时 S3 ? S6 ? 2S9 值 , 故对 q 进 ?q ? 1 3 6 9 行讨论. a (1 ? q ) a1 (1 ? q ) a (1 ? q ) ? 1 ? ? 2? 1 ? 2 ? q3 ? q 6 ? 2(1 ? q9 ) 1? q 1? q 1? q

? 2q9 ? q6 ? q3 ? 0 ,
即 2q6 ? q3 ? 1 ? 0 , 即 (q3 ? 1)(2q3 ? 1) ? 0
3 1 4 故 2q 3 ? 1 ? 0 ? q 3 ? ? ? q ? ? . 2 2 笔记:在使用等比数列的前 n 项和公式时,一定要注意公式的条件.若题目中 不明确,应对 q 进行讨论. 2.利用等差数列的性质求和 例 3:等比数列 {an } 中, S2 ? 7, S6 ? 91 ,求 S4 ?

思路直现:注意到,下标的关系,可考虑利用等比数列的性质解决. 解: {an } 是等比数列,
S2 , S4 ? S2 , S6 ? S4 成等比

? S2 (S6 ? S4 ) ? (S4 ? S2 )2
2 ? 7(91 ? S4 ) ? (S4 ? 7)2 ,故 S4 ? 7S4 ? 588 ? 0

故 S4 ? 28 或 S4 ? ?21 注意到
S4 a1 ? a2 ? a3 ? a4 a1 ? a2 ? q 2 (a1 ? a2 ) ? ? ? 1 ? q2 ? 0 , S2 a1 ? a2 a1 ? a2

? S4 , S2 同号,? S4 ? 28

笔记: 遇到类似下标成倍数关系的前 n 项和问题,一般可考虑用等比数列中依 次 k 项和 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k , 成等比数列来解决,可简化计算量.在已知
4

本题考查了 等比数列连 续等段和成 等比的性质. 利用等比数 列分段和成 等比. 考虑是否两 解都满足条 件. 建议:已知 Sn , S3n 求 S2 n 时, 尽量列方 程求解, 若用

Sn , S3n ,利用这一性质求 S2 n 时,要考虑是否会出现增根的问题. 例 4 已知一个项数为偶数,首项为 1 的等比数列,其奇数项的和为 85,偶数项 的和为 170,求这个数列的公比及项数. 思路: 本题涉及到项数为偶数的等比数列 ,且奇数项和与偶数项和都已知,由 此利用等比数列的性质即可求出公比,进而求其通项. 解: 该数列是一项数为偶数的等比数列 S 170 ?q ? 偶 ? ? 2 ,又 Sn ? S奇 ? S偶 ? 85 ? 170 ? 255 S奇 85

性质应考虑 是否会出现 增根. 本题考查了 等比数列的 性质. 注意
S偶 S奇 ?q

a1 (1 ? q ) 1 ? (1 ? 2 ) ? ? 2n ? 1 ? 255 1? q 1? 2 故n ?8 阅题笔记:利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了,运算量较低. Sn ?
n n

这个性质是 在项数为偶 数这一前提 下成立的. 建议: 巧用特 例, 熟记等差 等比数列奇 偶项的一些 性质. 考查数列的 分组求和问 题.

3.某些特殊数列的求和 例 5: (1)已知数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? n ,求该数列的前 n 项和 Sn ; (2)已知数列 {an } 的通项公式 an ? 2 ? 3 ,求该数列的前 n 项和 Sn .
n n

解:(1) Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?
2

? an

? (2 ? 1) ? (2 ? 2) ? (23 ? 3) ?

? (2n ? n)

? (2 ? 22 ? 23 ?

? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ?

n)

(2)

2(1 ? 2 ) (1 ? n)n ? 1? 2 2 (n ? 1)n n?1 ? 2 ?2? 2 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ?
n

等差等比数 列各自分组 求和.

? (2 ? 3) ? (22 ? 32 ) ? (23 ? 33 ) ? ? (2 ? 22 ? 23 ?

? (2n ? 3n ) ? 3n )

? 2n ) ? (3 ? 32 ? 33 ?

2(1 ? 2n ) 3(1 ? 3n ) ? 1? 2 1? 3 3 ? 2n?1 ? 2 ? (3n ? 1) 2 n ?1 3 7 = 2n?1 ? ? 2 2 笔记:分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项是可写成 几个等比数列或等差数列的和的形式. 例 6:已知数列 {an } 的通项公式 an ? n ? 2n ,求该数列的前 n 项和 Sn ; 思路:写出数列的前 n 项和注意其与等比数列形式类似, 考虑用推导等比数列 求和的方法来求其前 n 项和. 解: Sn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? n ? 2n ?
2Sn ? 22 ? 2 ? 23 ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n )
5

不同公比的 等比数列按 公比各自分 组求和 建议: 熟记几 种常见的数 列求和类型 及其对应方 法.

考查数列的 错位相减法 求和的问题。

?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ?

? 2n ? n ? 2n?1

Sn ? n ? 2n?1 ? (2 ? 22 ? 23 ?

2(1 ? 2n ) 1? 2 n?1 ? n ? 2 ? (2n?1 ? 2) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 笔记:错位相减法适用与求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列 的前 n 项和. ? n ? 2n?1 ?

建议: 错位相 减法是高考 的一个常考 点, 平时训练 给予重视. 本小题考查 等比数列的 概念、 等比数 列的通项公 式及前 n 项 和公式、 不等 式的证明 利用递推关 系式证明数 列成等比.

(二)重点突破
例 7:(2007 天津)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1 , n ? N* . (Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ;

(Ⅲ)证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N ? 皆成立. 思路直现: (1)由递推关系式构造出数列 an ? n ,并证明其是等比数列. (2)利用分组求和法求出 {an } 的前 n 项和. (3)考虑用作差法证明. (Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1 ,得 所以数列 ?an ? n? 是首项为 a1 ? 1 ? 1 ,且公比为 4 的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,
? an ? 4n?1 ? n .
an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N ? .

? Sn ? (1 ? 1) ? (4 ? 2) ? ? (1 ? 4 ? 42 ?

? (4n?1 ? n) ? n)

利用分组求 和法求和

? 4n?1 ) ? (1 ? 2 ? 3 ?

4 ? 1 n(n ? 1) ? 3 2 ? (Ⅲ)证明:对任意的 n ? N , ? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) Sn?1 ? 4Sn ? ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3 ?
n

1 ? ? (3n2 ? n ? 4) ≤ 0 . 2 ? 所以不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立. 笔记: 本题实际上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发 构造出 an ? n 的形式,并证明其为等比数列.
例 8: (2007 辽宁)已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 2 , b1 ? 1 ,且
3 1 ? a ? a ? b ?1 ? ? n 4 n ?1 4 n ?1 ,n≥ 2 ? ?b ? 1 a ? 3 b ? 1 n n ?1 n ?1 ? ? 4 4 (I)令 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的通项公式;

利用作差比 较法证明不 等式. 建议: 学会解 题的技巧, 有 时候题目的 提示往往在 问题当中. 本小题主要 考查等差数 列、 等比数列 等基础知识, 考查基本运 算能力

(II)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式 Sn . 思路:(1)由于要构造 c n ,故把已知两式相加,即可得出规律. (2)由(I)提示,可考虑两式相减. (I)解:由题设可得 an ? bn ? (an?1 ? bn?1 ) ? 2(n ≥ 2) , 即 cn ? cn?1 ? 2 ( n ≥ 2 ) 易知 {cn } 是首项为 a1 ? b1 ? 3 ,公差为2的等差数列 两式相加构 造 an ? bn

? cn ? 2n ? 1 .
6

1 (II)解:由题设得 an ? bn ? (an?1 ? bn?1 )(n ≥ 2) ,令 d n ? an ? bn ,则 2 1 dn ? dn?1 (n ≥ 2) . 2 1 易知 {dn } 是首项为 a1 ? b1 ? 1 ,公比为 的等比数列 2 1 dn ? n ?1 . 2 a ? n ? bn ? 2n ? 1, ? 由? 解得 1 ?an ? bn ? n ?1 ? 2 1 1 an ? n ? n ? 2 2 1 3 1 5 1 2n ? 1 ? Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( n ? ) 2 2 4 2 2 2 1 1 1 3 5 2n ? 1 ?( ? ? ? n)?( ? ? ? ) 2 4 2 2 2 2 1 n2 ?? n ? ? n ?1 2 2 阅题: 这是一道创新题,题目较为新颖,遇见题目不要慌乱,其实(1)问已经提示 解答本题的方法,应整体考虑.

两式相减构 造 an ? bn

列方程组求 an

分组求和求 Sn 建议: 在学习 中重视整体 思想的训练.

四、习题
一、选择题 1.(2008 福建) 设 {an } 是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 1, a5 ? 16 ,则数列 {an } 前 7 项的和为 C.127 1 2.(2008 浙江)已知 ?an ? 是等比数列, a2 ? 2,a5 ? ,则 a1a2 ? a2a3 ? 4 ?n ?n A. 16(1 ? 4 ) B. 16(1 ? 2 ) 32 32 C. (1 ? 4? n ) D. (1 ? 2? n ) 3 3 S 3.(2008 海南)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? a2 A. 2 B. 4 C. A.63 B.64 D.128
? an an ?1 =

15 17 D. 2 2 4.(2007 陕西) 各项均为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2, S3n ? 14
则 S4 n 等于 A.80 B.30 C. 26 D.16 5. (2006 辽宁) 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ? 1? 也是等比数列,则 Sn 等于 A. 2n?1 ? 2 B. 3n C. 2 n D. 3n ? 1 1 1 1 1 6.数列 1 , 2 ,3 , 4 , 的前 n 项和为( ) 2 4 8 16 1 2 1 1 1 1 1 1 1 A. (n ? n ? 2) ? n B. n(n ? 1) ? 1 ? n?1 C. (n2 ? n ? 2) ? n D. n(n ? 1) ? 2(1 ? n ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 4 n 7. ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? 2 2 2 2 2
7

1 n ? n 2 ?1 2 二、填空题
A.
n

B. ?

1 n ? n n?1 2 2

C.

n 1 ? n n?1 2 2

D. ?

1 n ? n?1 n 2 2

8.等比数列 ?an ? 共 2 n 项,其和为 ?240 ,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q ? 9.(2007 全国Ⅰ) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数列, 则 ?an ? 的公比为 .
S10 31 ? ,则此数列的公比 q 为 S5 32

10.若等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 满足

三、解答题 11. (2007 全国Ⅱ)设等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn .已知 a3 ? 2,S4 ? 5S2 , 求 {an } 的通项公式. (Ⅰ)设 bn ? 12.(2008 全国Ⅰ). 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n .

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2n?1 (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .
?3an?1 ? 7 an ? bn , n?2 13.已知数列 {an },{bn } 满足: a1 ? 1, b1 ? 8, 且 ? ?3bn?1 ? 2an ? 8bn , (1)令 cn ? an ? bn ,求 {cn } 的通项公式;

(2)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (3)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

8

习题答案
1. C. 分析:由 a1 ? 1, a5 ? 16 及 {an } 是公比为正数得公比 q ? 2 ,所以 S7 ?

1 ? 27 ? 127 1? 2

1 1 2. C. 分析: {an } 为等比数列,? a5 ? a2 q3 ,? ? 2 ? q3 ? q ? 4 2 1 设 bn ? an an?1 ,?{bn } 是首项为 8,公比为 的等比数列. 4 1 8[1 ? (n) ] 4 ? 32 (1 ? 4? n ) , a1a 2? a a ? an an? ?1 b ? b 2 ? 3 1 ? 2 ? bn ? 1 3 1? 4 a1 (1 ? q4 ) S 1 ? 24 15 1? q 3. C 分析: 4 ? ? ? a2 a1q ?2 2 4. B 分析: {an } 为等比数列,? Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , S4n ? S3n 成等比
Sn ( S )? ( S 3 n? S 2 n 2? n
2 即 2(14 ? S2n ) ? (S2n ? 2)2 ? S2n ? 6 或 S2n ? ?4 S ) n

{an } 各项均为正数,故 S2 n ? Sn ,故 S2 n ? 6 , ? 2, 4,8, S4n ? S3n 成等比,所以 S4n ? S3n ? 16 ,? S4 n ? 30

5. D 分析: 解:依题意, f (n) 为首项为 2,公比为 23 ? 8 的前 n ? 4 项和,根据等比数列的求 和公式可得 D 6.C 分 析 : 因 数 列 ?an ? 为 等 比 , 则 an ? 2q n?1 , 因 数 列 ?an ? 1? 也 是 等 比 数 列 , 则
(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an (1 ? q2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1 ,即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C。 1 1 1 1 1 1 1 1 7.A 分析: Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? (n ? n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? n) ? ( ? ? ? 2 4 8 16 2 2 4 8 1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? 1 (n2 ? n ? 2) ? 1 ? ? 1 2 2 2n 1? 2 1 2 3 n 1 1 2 n ?1 n 8.B 分析: 设 S ? ? 2 ? 3 ? ? n , 则 S ? 2 ? 3 ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?

1 ) 2n

1 1 1 两式相减得 S ? ? 2 ? 2 2 2

1 1 (1 ? n ) 1 n 2 ? n ? n ? n?1 ? 2 1 2 2 2n?1 1? 2

S ?? 2 ?

1 n ? n n?1 2 2

? 原式= S- 2= 9. ?2
q? S偶 S奇

1 2
n- 1

?

n 2n

? ? S奇 ? S偶 ? ?240, ? ? S奇 ? ?80, 分析:由题意可知 ? 因 为 等 比 数 列 共 2n 项 , ?? ? ? ? S奇 ? S偶 ? 80, ? S偶 ? ?160,
? ? 2

10. 3 分析: 假设塔每层有 a n 盏, 塔尖有 a1 盏, 由题意知道数列 {an } 为公比为 2 的等比数列,
9

S7 ?
11.

a1 (1 ? 27 ) ? 127a1 ? 381 , a1 ? 3 1? 2

1 分析: 4S2 ? S1 ? 3S3 ,即 4(a1 ? a2 ) ? a1 ? 3(a1 ? a2 ? a3 ) ? a2 ? 3a3 . 3 a 1 解得 {an } 的公比 q ? 3 ? . a2 3 1 12. ? 分析 数列 {an } 为等比数列,故 S5 , S10 ? S5 , S15 ? S10 成公比为 q5 的等比数列, 2 故有 S ? S5 31 1 1 q 5 ? 10 ? ? 1 ? ? ,? q ? ? S5 32 32 2 13. ① ④ 分析:① a1 ? S1 , a2 ? S2 ? S1 ,? q 确定,? 等比数列 {an } 唯一确定. S a 1 S ② 由 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? a2 ? a2 q ,得 q ? 1 ? ? 3 ? 0 即 q 2 ? (1 ? 3 )q ? 1 ? 0 q q a2 a2 不能唯一确定 q ,从而该数列不能唯一确定. a ③q n?1 ? n , n 为奇数时, n ? 1 为偶数, q 不唯一,而该数列不能唯一确定. a1 a ④a1 ? nn 唯一确定,? 等比数列 {an } 唯一确定 q ?1 故① ④ 满足题意. 14.分析:由条件列出关于 a1 , q 的方程组求解 a1 , q 进而得出结论.
, ? Sn ? 解:由题设知 a1 ? 0, q ? 1 a1 (1 ? q n ) , 1? q

?a1q 2 ? 2, ? 则 ? a1 (1 ? q 4 ) a1 (1 ? q 2 ) ? 5 ? ? 1? q 1? q ?



由②得 1 ? q4 ? 5(1 ? q2 ) , (q2 ? 4)(q2 ? 1) ? 0 , (q ? 2)(q ? 2)(q ? 1)(q ? 1) ? 0 , 因为 q ? 1 ,解得 q ? ?1 或 q ? ?2 . 当 q ? ?1 时,代入①得 a1 ? 2 ,通项公式 an ? 2 ? (?1)n?1 ; 1 1 当 q ? ?2 时,代入①得 a1 ? ,通项公式 an ? ? (?2)n?1 . 2 2 点拨:等比数列求基本量的题目都可转化为关于 a1 , q 的方程组解题.当然,应在解题过程 中注意有关性质的应用,可简化计算量. 15.分析:利用递归关系式构造等差数列,进而求出数列 a n 的通项公式,利用错位相减法求其 前 n 项和. 解: (1) an?1 ? 2an ? 2n , an?1 an ? n?1 ? 1 , 2n 2 bn?1 ? bn ? 1 , 则 {bn } 为等差数列, b1 ? 1 ,
bn ? n , an ? n2n?1 .

(2) Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ?

? (n ? 1) ? 2n ? 2 ? n ? 2n ?1 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n

2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 两式相减,得

10

Sn ? n ? 2n ? 1? 20 ? 21 ? 22 ? ? 2n ?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1 点拨:在求解题目的过程中,不应把思路集中在题目的条件上,有时考虑一下题目的问题上, a 往往会有“暮然回首,那人却在灯火阑珊处”的感觉.例如本题充分考虑如何构造 nn . 2 ?1 16 分析:(1)构造题目要求的 an ? bn ,即可得到结果.

(2)利用(1)的条件,即可求得 an , an?1 的递推关系式,利用递推关系求 a n 进而求 bn (3)利用分组求和法,求 Sn 解: (1)由题意可得, 3(an?1 ? bn?1 ) ? 9(an ? bn ) ,即 an?1 ? bn?1 ? 3(an ? bn ) 即 cn?1 ? 3cn ,所以 {cn } 为首项为 c1 ? 9, 公比为 3 的等比数列
?cn ? 9 ? 3n?1 ? 3n?1

(2)由(1)可知 an ? bn ? 3n?1 ,故 bn ? 3n?1 ? an
3an?1 ? 6an ? 3n?1 ,故 an?1 ? 2an ? 3n

故 an?1 ? 3n?1 ? 2(an ? 3n ) 即 {an ? 3n } 为首项为 ?2 公比为 2 的等比数列, 故 an ? 3n ? ?2 ? 2n?1 即 an ? 3n ? 2n 故 bn ? 3n?1 ? (3n ? 2n ) ? 2 ? 3n ? 2n (3) Sn ? (3 ? 2) ? (32 ? 22 ) ? (33 ? 23 ) ?
? (3 ? 32 ? 33 ? ? (3n ? 2n ) ? 2n ) ? 3n ) ? (2 ? 22 ? 23 ?

3(1 ? 3n ) 2(1 ? 2n ) 3n?1 1 ? ? ? 2n?1 ? 1? 3 1? 2 2 2 点拨:本题较为新颖,所给方程组的未知元过多,因此,如何消元是本题的关键,应注意到题目系 数的关系以及问题(1)的中的提示,构建出数列 an ? bn . ?

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