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【赢在课堂】高考数学一轮复习 9.9直线与圆锥曲线的位置关系配套课件 理 新人教A版_图文

第 9 讲 直线与圆锥曲线的位置关 系 考纲展示 1.了 解 圆锥 曲 线 的实际背景 , 了解 圆锥曲线在刻画 现实世界和解决 实际问题中的作 用. 2.理 解 数形 结 合 的思想. 3.了 解 圆锥 曲 线 的简单应用. 考纲解读 从近两年的高考试题来看, 直线与圆锥曲线的位置关系、弦 长、中点弦的问题等是高考的热点问题 , 题型既有选择题、 填空题, 又有解答题, 难度属中等偏高. 客观题主要考查直线与 圆锥曲线的位置关系、弦长问题,解答题考查较为全面,在考 查上述问题的同时 , 注重考查函数与方程、转化与化归、分 类讨论等思想方法. 1 .直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 (1)代数法,把圆锥曲线方程与直线方程联立消去 y,整理得出关于 x 的 方程 Ax2+Bx+C=0,若圆锥曲线是双曲线或是抛物线,当 A=0 时,表示直线与 双曲线的渐近线或抛物线的轴平行;当 A≠0 时,记该一元二次方程根的判 别式为 Δ.(ⅰ)若 Δ>0 时,直线与圆锥曲线相交;(ⅱ)若 Δ=0 时,直线与圆锥曲 线相切;(ⅲ)若 Δ<0 时,直线与圆锥曲线相离. (2)几何法,在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线,利用图象和性质 可判断直线与圆锥曲线的位置关系. 2 .直线与圆锥曲线的相交弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线有两个公共点 M(x1,y1),N(x2,y2),可结合 韦达定理,代入弦长公式 |MN|= (2-1)2 + ( 2 -1 )2 = 1 + 2|x1-x2|= (1 + 2 )[(1 + 2 )2 -412 ], 或|MN|= 1 + 1 2 |y1-y2|= 1+ 1 2 [(1 + 2 )2 -41 2 ]求距离. (2)当直线的斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接计算. (3)若涉及直线过圆锥曲线的焦点弦问题,一般利用圆锥曲线的定义去 解决. 3 .点差法:在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被 截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲 线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差 法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直 平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式 Δ 是否 为正数. 4 .圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思 想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围,常用的处理方法有: (1)不等式(组)的知识.根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不 等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围; (2)转化为求函数的值域.把所讨论的参数作为一个变量,另一个适当的 参数作为自变量来表示这个变量,从而建立函数关系,再通过讨论函数的值 域求出参数的变化范围. 2 1 .直线 y=kx-k+1 与椭圆 9 + 2 =1 的位置关系为( 4 ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 【答案】A 【解析】 由于直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1),(1,1)在椭圆内,故直线与 椭圆必相交 . 2 .(2012·福建泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个 公共点”的( ) A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个公共点. 3 .已知抛物线 C 的方程为 x = y,过 A(0,-1),B(t,3)两点的直线与抛物线 C 没 2 2 1 有公共点,则实数 t 的取值范围是 ( A.(-∞,-1)∪ (1,+∞) B. -∞,2 2 2 ,+ 2 ) ∪ ∞ C.(-∞,-2 2)∪ (2 2,+∞) D.(-∞,- 2)∪ ( 2,+∞) 【答案】D 【解析】直线 AB 的方程为 y= x-1,与抛物线方程 x = y 联立得 x - x+ =0, 2 2 4 2 1 2 2 1 由于直线 AB 与抛物线 C 没有公共点 ,所以 Δ= 2 -2<0,解得 t> 2或 t<- 2, 故选 D. 4 4 .斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 交于不同两点 A,B,则|AB| 的最大值为 4 2 ( A.2 ) B. 4 5 5 C. 4 10 5 D. 8 10 5 【答案】C 【解析】设直线 l 的方程为 y=x+t ,代入 +y2=1 消去 y 得 x2+2tx+t2-1=0, 4 4 2 5 由题意得 Δ=(2t ) -5(t -1)>0,即 t <5.故弦长|AB|= 2· 2 2 2 4 · 5-2 5 ≤ 4 10 5 . 5 .若直线 y=a 是 2 与椭圆 3 + 2 =1 恒有两个不同交点,则 a 4 的取值范围 . 【答案】(-2,2) T 题型一直 线与圆锥曲线的位置关系 例 1 已知中心在坐标原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点 为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 · >2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. 2 2 【解】(1)设双曲线方程为 2 ? 2 =1(a>0,b>0), 由已知得 a= 3,c=2.∴ b=1. 2 2 故所求双曲线方程为 -y =1. 3 (2)将 y=kx+ 2 2 2代入 -y =1, 3 可得 (1-3k 2)x2-6 2kx-9=0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3 2 ≠ 0, = (-6 2k)2 + 36(1-3 2 ) = 36(1- 2 ) > 0, 故 k2≠ 且 k 2<1.① 1 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则


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