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高中数学第二章推理与证明章末复习课课件新人教B版选修2_22_图文

第二章 推理与证明 章末复习课 学习目标 1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系,会利用归纳与 类比推理进行简单的推理. 2.加深直接证明和间接证明的认识,会应用其解决一些简 单的问题. 3.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤,掌握用数学归纳 法证明等式与不等式问题. 内容索引 知识梳理 题型探究 当堂训练 知识梳理 1.合情推理 (1)归纳推理:由 部分 到 整体 、由 个别 到 一般 的推理. (2)类比推理:由 到 的推理. 特殊 特殊 (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想 的推理,我们把它们统称为合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理:由 一般 到 特殊 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ① ——已知的一般原理; 大前提 ② ——所研究的特殊情况; 小前提 ③ ——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 结论 3.直接证明和间接证明 (1)直接证明的两类基本方法是 和 综合法 分析法 ① 综合法 是从已知条件推出结论的证明方法; ② 分析法 (2)间接证明的一种方法是 反证法 出矛盾的方法. 是从结论追溯到条件的证明方法. ,是从结论反面成立出发,推 . 4.数学归纳法 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题 . 证明时, 它的两个步骤缺一不可,它的第一步 ( 归纳奠基 ) 是证当 n = n 时结论成立;第二步 ( 归纳递推 ) 是假设当 n = k k≥n0)时结论成立,推得当n= k+1 时结论也成立. 0 (k∈N + ,且 题型探究 类型一 合情推理的应用 例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一 组 含 一 个 数 {1} ; 第 二 组 含 两 个 数 {3,5} ; 第 三 组 含 三 个 数 {7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…,试观察每组内各 数之和并猜想f(n)(n∈N+) 与组的编号数n的关系式为________. 3 f(n)=n 解析 由于1=13,3+5=8=23,7+9+11=27=33, 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43 , … ,猜想第 n 组内各数之和 f(n) 与组的编号数n的关系式为f(n)=n3. 解析 答案 (2)在平面几何中,对于Rt△ABC,AC⊥BC,设AB=c,AC=b, BC=a,则 ①a2+b2=c2; ②cos2A+cos2B=1; a2+b2 ③Rt△ABC的外接圆半径为r= 2 进行证明. . 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论;试对其中一个猜想 解答 反思与感 悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容,通过观察给定的 规律,得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力,题目一般情况下较为 新颖,也有一定的探索性. 跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数,则第n个 图形中有 2 __________个小正方形. n +3n+2 2 解析 答案 (2)若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,则有性质“若Sm =Sn(m,n∈N+且 m≠n),则Sm+n=0.”类比上述性质,相应 地 , 当 数 列 {bn} 为 等 比 数 列 时 , 写数列 出一 个 确的性质: {b }正 为等比数列, n ____________________________ Tm表示其前m项的积,若Tm=Tn(m,n∈N+,m≠n),则Tm+ ___________________________________________________. n=1 答案 类型二 综合法与分析法 例2 已知x,y>0,x+y=1,试分别用综合法与分析法证明: log2(x2y2+1)-log2x-log2y≥log217-2. 证明 反思与感 悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯, 综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与 表述合一,缺点是表述易错;综合法条件清晰,易于表述, 因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合 法,其逻辑基础是充分条件与必要条件. 跟踪训练2 设a>0,b>0,a+b=1, 1 1 求证: 1 试用综合法和分析法分别证明. + + ≥ 8. a b ab 证明 类型三 反证法 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; 解 当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1. 又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2, 1 两式相减得 an+1=2an, 1 所以{an}是首项为 1,公比为2的等比数列, 所以 an= 2 n-1. 1 解答 (2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列. 证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列, 记为ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且p,q,r∈N+), 1 1 1 r-q r-p 则 2· 2 = 2 +1. q= p+ r,所以 2· 2 2 2 又因为p<q<r,所以r-q,r-p∈N+. 所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命题得证. (*) 证明 反思与感 悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及 “都是 ……”“ 都不是 ……”“ 至少 ……”“ 至多 ……” 等 形式的命题时,也常用反证法. 1+x 1+y 跟踪训练 3 若 x,y 都是正实数,且 x+y>2,求证: y <2 或 x <2 中 至少有一个成立. 证明 类型四 数学归纳法 例4 观察下列四个等式: 第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子 1=1, 2+


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