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与三角函数有关的零点问题


与三角函数有关的零点问题
x π 1、 【2015 湖北】 函数 f ( x) ? 4cos2 cos( ? x) ? 2sin x? | ln( x ? 1) | 的零点个数为______. 2 2

【答案】2 【 解
2









f (x ?

x 2

) ?x ? 2

?

x? 4 x ?

? 2(1 ? cc

x) s

x ? 2o so x? i | l x ?1 ) is | = nn s

n c

(

sin 2 x? | ln( x ? 1) | , 所以函数 f ( x) 的零点个数为函数 y ? sin 2 x 与 y ?| ln(x ? 1) | 图象的交
点的个数, 函数 y ? sin 2 x 与 y ?| ln(x ? 1) | 图象如图, 由图知, 两函数图象有 2 个交点, 所以函数 f ( x) 有 2 个零点.

【方法技巧归纳】利用函数图象处理函数的零点(方程根)主要有两种策略: (1)确定 函数零点的个数: 利用图象研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判 断;(2)已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围:通常也转化为两个新函数的交点, 即在同一坐标系中作出两个函数的图象, 通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等 式来求解. 2、函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ( A. )

? ?

2π ? 3 ? ? 11π 19π ? ? 2 x ? ?? , ? + 4cos x ? 2 ? ? ? 所有零点之和为 3 ? 3x ? π ? ? 12 12 ? ??

2π 3

B.

4π 3

C. 2 π

D.

8π 3

【答案】B

3.若函数 y ? sin A. ?1,14

?
2

x ? log a x 的图象至少有 12 个零点点,则 a 的取值范围是(
B. 14, ???



?

?

C. ?1,7

?

D. 7, ???

?

【答案】D 【解析】? y ? sin

?
2

x 与 y ? loga

x

都是偶函数,所以 y ? sin

?
2

x ? log a x 是偶函

数,只需 x ? 0 时,有至少 6 个零点,即可画出 x ? 0 时,函数 y ? sin

?
2

x 的图象与

y ? loga x 的图象,如图,由图可知, loga7 ? 1, a ? 7 ,即 a 的取值范围是 ?7, ??? ,故
选 D.

4 .【 黑 龙 江 省 大 庆 实 验 中 学 2017 届 高 三 考 前 得 分 训 练 ( 一 )】 设 函 数

? ?? ? ? 9? ? ? 若方程 f ? x ? ? a 恰好有三个根, 分别为 x1 , x2 , f ? x? ? s i n 2? ?? x ? ? 0 , ? ? , ? x 4 ?? ? ? 8 ??
x3
( x1 ? x2 ? x3 ) ,则 x1 ? 2x2 ? x3 的值为( B. ) D.

A. ? 【答案】C

3? 4

C.

3? 2

5? 4

【解析】画出该函数的图象如图,当

2 ? a ? 1 时方程 f ? x ? ? a 恰好有三个根,且点 2
5? 对称,所 8

? x1,0? 和 ? x2 ,0? 关于直线 x ? 8 对称,点 ? x2 ,0? 和 ? x3 ,0? 关于直线 x ?
以 x1 ? x2 ?

?

?

4

, x2 ? x3 ?

5? 3? ,从而 x1 ? 2 x2 ? x3 ? .故选 C. 4 2

5 .【 湖 南 省 衡 阳 市

2017

届 高 三 下 学 期 第 三 次 联 考 】 函 数 )

f

x? 2 ? ?

1 s ?i? n ? x? 1? x
B.4

? , ? 2 , 4 ?x ? 的所有零点之和为(
C.6 D.8

A.2 【答案】D

6. 【2017 届 吉林省实验中学高三上学期二模】已知 y ? f ( x) 的定义域为 R 的偶函数,当

? ?5 sin x, 0 ? x ? 2, ? 2 ? 4 x ? 0 时, f ( x) ? ? 4 若关于 x 的方程 ? f ( x) ? ? af ( x ) ? b ? 0 ( a , ?( 1 ) x ? 1, x ? 2, ? ? 2
b ? R )有且仅有 6 个不同的实数根,在实数 a 的取值范围是______.

(? , ? )( ? ? , ? 1) 【答案】
【 解 析 】 如 图 所 示 , 因 为 f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 , 则

5 2

9 4

9 4

? 1 ?x ?( 2 ) ? 1, x ? ?2, ? ?? 5 sin ? x, ?2 ? x ? 0, ? 4 ( ? ?, ? 2) (0, 2) , 依 题 意 f ( x) 在 和 上递增,在 f ( x) ? ? 4 5 ? ? sin x, 0 ? x ? 2, ?4 4 ? 1 ?( ) x ? 1, x ? 2, ? 2
( ? 2, 0) (2, ? ?) 和 上递减,当 x ? ?2 时,函数取得极大值
2

5 ;当 x ? 0 时,取得极小 4

值 0.要使关于 x 的方程 ? f ( x) ? ? af ( x ) ? b ? 0 ( a , b ? R )有且仅有 6 个不同的实

f x), 数根.设 t ? ( 则 t ? at ? b ? 0 必有两个根 t1、t2, 则有两种情况符合题意: ( 1)
2

t1 ?

5 5 9 ? 5? (? , ? );( 2 ) , ? ), 此 时 ?a ? t1 ? t2,则 a ? , 且 t2 ? ? 1 4 2 4 ? 4?

5 9 t1 ? (0,, 1] t2 ? ( 1, ), (? , ? 1), 此 时 同 理 可 得 a? 综上可得 a 的范围是 4 4

5 9 9 (? , ? )( ? ? , ? 1) . 2 4 4


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