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椭圆及其标准方程教学设计 全国高中青年数学教师参赛优秀教案

人教版全日制普通高级中学教科书(必修)第二册 椭圆及其标准方程教学设计 椭圆及其标准方程 一、教学目标 1.知识目标:掌握椭圆的定义,能正确推导椭圆的标准方程. 2.能力目标:通过引导学生亲自动手尝试画椭圆,让学生发现椭圆的形成过 程进而归纳出椭圆的定义 , 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学 知识解决实际问题的能力. 3.情感目标 (1)通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. (2)通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁 美”. (3)通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强主动 与他人合作交流的意识. 二、重点、难点 重点:掌握椭圆的定义及标准方程,理解坐标法的基本思想. 难点:椭圆标准方程的推导与化简. 三.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引 导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方 法、提升能力. 四.教具准备:多媒体课件和自制教具:呼啦圈,绘图板、图钉、细绳. 五、教学过程 (一)创设情境,认识椭圆. 材料 1:对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片, 让学生从感性上认识椭圆. 材料 2: “嫦娥一号”模拟轨道图. 2007 年 10 月 24 日,我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”发射成功 , 开始了举 世瞩目的太空之旅,流传了几千年的飞天神话,变成了现实 ,这标志着我国航 天事业又上了一个新台阶,这是中国人的骄傲.请问: “嫦娥一号” 绕地球飞行 的运行轨道是什么?(课件演示轨道图) 引入课题:椭圆及其标准方程. (设计意图:利用多媒体,展示学生常见的椭圆形状的物品,让学生从感性上认 识椭圆:通过“嫦娥一号”的轨道录像,让学生感受现实,激发学生的学习兴趣, 培养爱国思想.) (二)动手实验,亲身体会. 1.教师演示,引出研究思路. 教师将一圆形的呼啦圈朝一方向用力压或拉,变成一椭圆形状的呼啦圈,以 说明圆和椭圆的密切关系,点明可以像学习圆一样来学习椭圆. 思考:在上一章圆的学习中我们知道:平面内到一定点的距离为定长的点的 轨迹是圆.那么,到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢? (设计意图:对于生活中、数学中的圆,学生已经有一定的认识和研究,但 对椭圆,学生只停留在直观感受,基于它俩的关系,引导学生用上一章所学,来 研究椭圆. ) 2.学生分组试验. (1)取一条细绳; (2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点 F1 、 F2 ; (3)用铅笔尖( M )把细绳拉紧,在板上慢慢移动观察画出的图形是什么? (教师巡视指导,展示学生成果) 3.分析实验,得出规律. (1)在画出一个椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的? (2)在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? (3)在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系? (4)改变绳子长度与两定点距离的大小,轨迹又是什么? 学生总结规律: | MF1 | + | MF2 |> | F1F2 | 轨迹为椭圆; 轨迹为线段 ; |MF |1 FF | 1 |+ | M F 2 =| 2 | MF1 | + | MF2 |< | F1F2 | 轨迹不存在. (设计意图:在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义,而是设计一个 实验, 一来是为了给学生一个动手实验的机会, 让学生体会椭圆上点的运动规律; 二是通过实践思考,为进一步上升到理论做准备. ) (三)总结归纳,形成概念. 定义:平面内,到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数(大于 F1F2 )的 点的轨迹叫做椭圆. (在归纳椭圆定义的过程中,教师根据学生回答的情况,不断引导他们逐步 加深理解并完善椭圆的定义,在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关 键词与相应的特征.) 问:椭圆定义还可以用集合语言如何表示? MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c) . (设计意图:通过学生观察、思考、讨论,概括出椭圆的定义,让学生全程 参与概念的探究过程,加深理解,提高概括能力和数学语言的表达能力.) (四)合理建系,推导方程. 1.复习求曲线的方程的基本步骤:⑴建系;⑵设点;⑶列式;⑷化简; (5)证明(可省略) (由学生回答,不正确的教师给予纠正. ) 2.如何选取坐标系? 【学情预设】学生可能会建系如下几种情况: 方案一:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 的中点为原点; 方案二:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1 为原点; 方案三:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 与 x 轴的左交点为原点; 方案四:把 F1、F2 建在 y 轴上,以 F1F2 的中点为原点; 教师折椭圆,学生观察椭圆的几何特征(对称性) ,如何建系能使方程更简 洁?学生讨论,经过比较确定方案一. (设计意图:积极鼓励学生用不同建系方法,让他们充分暴露自然思维,通 过比较,得出最简洁的方案,而不是被动地接受教材或老师强加给的方法. ) 3.推导标准方程. 选取建系方案,让学生动手,尝试推导. 按方案一:以过 F1 、 F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分或线为 y 轴,建 立平面直角坐标系.设 F1 F2 ? 2c(c ? 0) ,点 M ( x, y) 为椭圆上任意一点, 则 P ? ?M MF1 ? MF2 ? 2a?(称此式为几何条件) , ∴ 得 ?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2 ? 2a (实现集合条件代数化) , (想一想:下面怎样化简?) (1)教师为突破难点,进行引导设问: 我们怎么化简带根式的式子?对于本式是直接平方好还是整理后再平方 好呢?化简,得 (2) b 的引入. 由椭圆的定义可知, 2a ? 2c , ∴ a2 ? c2 ? 0 . F1 b 0 ( a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a


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