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教案--函数值域的求题方法


例析求函数值域的方法
01.方法总结
函数的值域是函数三要素之一, 求函数的值域是深入学习函数的基础, 它常涉及多种知识的综合应用, 下面通过例题讲解,多方探寻值域的途径。

△一 直接法:
( 利用常见函数的值域来求 ) 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }. 4a 4a

例 1-1.求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 ? x ? 1) ③ y ? x?

1 (记住图像) x

解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3, ∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5] ③ 当 x>0,∴ y ? x ?

1 2 1 ) ? 2 ? 2, =( x ? x x
f?x? = x+
王新敞
奎屯 新疆

4

3

1 2 1 ) =- ( ? x ? ) ? 2 ? ?2 当 x<0 时, y ? ?( ? x ? ?x ?x
∴值域是 (??,?2] ? [2,+ ? ).(此法也称为配方法) 函数 y ? x ?

-6

-4

-2

1 2 x -1 o
2 1 -1 -2 -3

y=x 1 -2
2 4 6

-4

1 的图像为 x

例 1-2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① y ? x 2 ? 4x ? 1 ; ②; y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [3,4]

③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ; ④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ; 解:∵ y ? x 2 ? 4x ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 3 ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为 2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域 R, ∴x=2 时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ? -3 }.
y 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 x

②∵顶点横坐标 2 ? [3,4], 当 x=3 时,y= -2;x=4 时,y=1; ∴在[3,4]上, y min =-2, y max =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标 2 ? [0,1],当 x=0 时,y=1;x=1 时,y=-2, ∴在[0,1]上, y min =-2, y max =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标 2 ? [0,5],当 x=0 时,y=1;x=2 时,y=-3, x=5 时,y=6, ∴在[0,1]上, y min =-3, y max =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ⑴若定义域为 R 时, ①当 a>0 时,则当 x ? ? ②当 a<0 时,则当 x ? ?
2 b 时,其最小值 y min ? (4ac ? b ) ; 2a 4a 2 b 时,其最大值 y max ? (4ac ? b ) . 2a 4a

⑵若定义域为 x ? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标 x0 是否属于区间[a,b]. ①若 x0 ? [a,b],则 f ( x0 ) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较 f (a), f (b) 的大小决定函数的最大(小)值. ②若 x0 ? [a,b],则[a,b]是在 f ( x) 的单调区间内, 只需比较 f (a), f (b) 的大小即可决定函数的最大 (小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

△二、配方法
(是求二次函数值域的基本方法, 如 F ( x) ? af ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值域问题, 均可使用配方法)
2

例 2.求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。 解: y ? ? x2 ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 6 , 因为 x ?[?1,1] ,所以 x ? 2 ?[?3, ?1] ,所以 1 ? ( x ? 2) ? 9
2

所以 ?3 ? ?( x ? 2) ? 6 ? 5 ,即 ?3 ? y ? 5
2

所以函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域为 [?3,5] 。

△三、分离常数法 (分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)

1? x 的值域。 2x ? 5 1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1? x 2 ??1? 2 , 解:因为 y ? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5 7 1 所以 2 ? 0 ,所以 y ? ? , 2 2x ? 5 1? x 1 所以函数 y ? 的值域为 { y | y ? ? } 。 2x ? 5 2 x ?1 例 3-2 求函数 y ? 的值域 x?2
例 3-1.求函数 y ? 解法一: (逆求法) 解出 x , x ? 解法二: (分离常数法)由 y ?

1? 2y ?y y ? 1? 观察得 原函数值域为 1? y

x?2?3 3 ? 1? ? 1 ,可得值域 ?y y ? 1? x?2 x?2 ax ? b (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内, 小结:已知分式函数 y ? cx ? d
值域为 ? y y ?

? ?

a? ,采用部分分式法将原函数 ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) c?

ad a c (ad ? bc) ,用复合函数法来求值域。 化为 y ? ? c cx ? d b?

△四、换元法 (运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,如

y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用此法求解。
例 4-1.求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 解:令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ) ,则 x ?
2 2 所以 y ? ?t ? t ? 1 ? ?(t ? ) ?

1? t2 , 2

1 2

5 4

因为当 t ?

1 3 5 ,即 x ? 时, ymax ? ,无最小值。 2 8 4

所以函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 例 4-2 求函数 y ? 9 x ? 3 x ? 2 ( x ? ?0,1? ) 的值域
x 解: (换元法)设 3 ? t ,则 1 ? t ? 3 原函数可化为

5 4

y ? t 2 ? t ? 2 , ? 对称轴 t ? ? t ? 1 时 , y min ? 值域为 ?2,8?

1 ? ?1,3? 2 ? 2 ; t ? 3 时 , y max ? 8

点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数 的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 △五、函数的单调性法 (确定函数在定义域 (或某个定义域的子集) 上的单调性, 求出函数的值域, 形如求函数 y ? x ? 的值域( 0 ? x ? ) k 时为减函数; x ? k 时为增函数)

k ?k ? 0? x

例 5-1.求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 解:因为当 x 增大时, 1 ? 2 x 随 x 的增大而减少, ? 1 ? 2 x 随 x 的增大而增大, 所以函数 y ? x ? 1 ? 2x 在定义域 (??, ] 上是增函数。 所以 y ?

1 2

1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? ? ,所以函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 2 2 2 2

例 5-2 求函数 y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。 解: (单调性法)设 f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而 y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x 在定义域为 x≤1/3 上也为增函数,而且 y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此, 所求的函数值域为{y|y≤4/3} 。 小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减 性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 △六、利用有界性 (利用某些函数有界性求得原函数的值域) 例 6 求函数 y ?

x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ?1) x2 ? ?( y ? 1) ,
因为 y ? 1 ,所以 x ? ?
2

y ?1 ( x ? R , y ? 1) , y ?1

所以 ?

y ?1 ? 0 ,所以 ?1 ? y ? 1 , y ?1
x2 ?1 的值域为 { y | ?1 ? y ? 1} x2 ? 1

所以函数 y ?

△七、数型结合法 (函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值 域的重要方法) 例 7.求函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的值域。 y

? ? 2 x , x ? ?1 ? 解: y ? x ? 1 ? x ? 1 , y ? ?2,?1 ? x ? 1 , ?2 x, x ? 1 ?
图像如右图所示,故原函数的值域为 ?2,??? -1 o

2

1

x

△八,判别式法 例 8-1 求函数 y ?

5 的值域 2x ? 4x ? 3
2

解法一: (判别式法)化为 2 yx2 ? 4 yx ? (3 y ? 5) ? 0 1) y ? 0 时,不成立 2) y ? 0 时, ? ? 0 得

5 t
5

0

1

t

(4 y) ? 8 y(3 y ? 5) ? 0 ? 0 ? y ? 5 ?0 ? y ? 5
综合 1) 、2)值域 { y | 0 ? y ? 5}
2 解法二: (复合函数法)令 2 x ? 4 x ? 3 ? t ,则 y ?

5 t

? t ? 2( x ? 1) 2 ? 1 ? 1
?0 ? y ? 5
例 8-2 函数 y ? x ? 所以,值域 { y | 0 ? y ? 5}

1 ? 1 的值域 x

(判别式法)原式可化为

x 2 ? (1 ? y) x ? 1 ? 0

?? ? 0

? 原函数值域为 ?? ? ,?1? ? ?3 , ? ? ?
例 8-3 求函数 y ?

? (1 ? y ) 2 ? 4 ? 0

? y ? 3 或 y ? ?1

x 2 ? 2x ? 2 ( x ? ?1) 的值域 x ?1

(判别式法)原式可化为 x 2 ? (2 ? y) x ? 2 ? y ? 0

? ? ? 0 ? (2 ? y ) 2 ? 4(2 ? y ) ? 0 ? x ? ?1 ? y ? ?2 舍去

? y ? 2 或y ? ?2

?2 , ? ? ? ? 原函数值域为
除此之外,还有反函数法(即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系,通过求反函数的定义域 而得到原函数的值域) 。

02.例题详解
例 1 求函数 y ?

x ? 3 ? 5 ? x 的值域

解: (平方法)函数定义域为: x ? ?3,5?

y 2 ? ( x ? 3) ? (5 ? x) ? 2 ? x 2 ? 8 x ? 15 由 x ? ?3,5? , 得 ? x 2 ? 8 x ? 15 ? ?0,1? ? y 2 ? ?2,4? ? 原函数值域为 2 ,2

?

?
?1 ? x ? 1

例 2 求函数 y ? x ? 1 ? x 2 的值域 解: (三角换元法) ?

? 设 x ? cos? ? ? ?0, ? ?

y ? cos? ? sin ? ? cos? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? ? 1, 2 4 ? 原函数的值域为? 1 , 2

?

?

?

?

?

小结: (1)若题目中含有 a ? 1 ,则可设

a ? sin ? ,?

?
2

?? ?
2

?
2

(或设 a ? cos ? ,0 ? ? ? ? )
2

(2)若题目中含有 a ? b ? 1 则可设 a ? cos? , b ? sin ? (3)若题目中含有 1 ? x 2 ,则可设 x ? cos ? ,其中 0 ? ? ? ?

,其中 0 ? ? ? 2?

(4)若题目中含有 1 ? x 2 ,则可设 x ? tan ? ,其中 ?

?
2

?? ?

?
2

(5)若题目中含有 x ? y ? r ( x ? 0, y ? 0, r ? 0) ,则可设 x ? 其中 ? ? ? 0 , 例3

r cos2 ? , y ? r sin 2 ?

? ?

??
? 2?
的值域

求 y ? x ? 3 ? x ?1

, x ? ?1 ?4 ? 解法一: (图象法)可化为 y ? ?2 ? 2 x , ? 1 ? x ? 3 ?? 4 , x?3 ?
观察得值域 y ? 4 ? y ? 4 解法二: (零点法)画数轴

如图,

?

?

利用 a ? b 表示实数a, b在数轴上的距离 可得。

-1

x

0

3


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