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2014高考调研理科数学课本讲解


高考调研

新课标版 · 数学(理)

第 6 课时 三 函 的 质 角数性

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2013?考纲下载

1.了解周期函数与最小正周期的意义,会求一些简单三角 函数的周期. 2.了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性,并会运用这些 性质解决问题.

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请注意!
近两年的新课标高考对三角变换的考查要求有所降低,而 对三角函数的图像与性质考查有所加强,但以选择填空为主.

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1.
函数 周期性 奇偶性 y=s x n i T=2π 奇函数 y=c x o s T=2π 偶函数 [2kπ-π,2kπ] y=t x a n T=π 奇函数 π (kπ-2,kπ+ π 2)(k∈Z)

单 调 区

增 [2kπ-π,2kπ+ 2 区 π 间 2](k∈Z) 减 [2kπ+π,2kπ+ 2 区 3π 间 2 ](k∈Z)
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(k∈Z) [2kπ,2kπ+π] (k∈Z)

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函数

对称性

y=s x n i 对称轴 π x= +kπ 2 对称中心(kπ,0)

y=c x o s x=kπ π ( +kπ,0) 2

y=t x a n 无 kπ ( ,0) 2

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2.y=As n ( i y=At a n (

2π ωx+φ)的最小正周期 T= . |ω| π ωx+φ)的最小正周期 T= . |ω|

3. 求三角函数的最小正周期, 1 ( ) 应先化简为只含一个三角 函数一次式的形式. 2 形如 y=As ( ) n ( i 数单调性研究. 3 注意各性质应从图像上去认识,充分利用数形结合解决 ( ) 问题.
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ωx+φ)形式的函数单调性,应利用复合函

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1.若函数 y=c o ( s ________.
答案 10

π π ωx- )(w> 的最小正周期为 ,则 w= 0 ) 6 5

2π π 解析 T= =5?ω=10. ω

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2.比较下列两数的大小. n___2 1°n° i2___ s __s (5 1 ) i5 2 c (s o ) a n 3 ( t ) π -5___s )__c ___ o 3π - 5 ___ )__ __ a _ n t ; 3π 5; 2π 5.

答案 1 > 2 > 3 = ( ) ( ) ( )

解析 11°1° 921<0 (<558 )°2 0 <° ∵y=s x 在(° ,1) n i 9 0 8 0 ° ∴s>2 n° 1n. i21° 5s i5
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, 上为减函数,

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2 ∵c ( ) o ( s

π π - )=c , o s 5 5

π 3 又 y=c x 在(0,π)上为减函数,0<5<5π , o s < π ∴c o ( s a n 3 ( t ) π -5> )o c s 3π 5. 3 2 - π)=t π. a n 5 5

3 - π)=t a n π ( 5

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3.( 函数 y=s 1 ) n ( i 2 函数 y=t ( ) a n ( 答案 2 1 [ ( ) 2 ( )

π x+ )的单调递增区间是________; 4

1 π x- )的单调递增区间是________. 2 4

3π π kπ- ,2kπ+ ](k∈Z); 4 4

π 3 kπ- ,2kπ+ π k∈Z) ( ) 2 2

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解 析

π π π 1 由 2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z), ( ) 2 4 2

3 π 得 2kπ- π≤x≤2kπ+ . 4 4 π 1 π π 2 由 kπ- < x- <kπ+ , ( ) 2 2 4 2 π 1 3 得 kπ- < x<kπ+ π. 4 2 4 π 3 ∴2kπ- <x<2kπ+ π(k∈Z). 2 2

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4.(1 22 0· 福建)函数 f(x)=s n ( i

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π x- )的图像的一条对称轴是 4 ( )

π A.x= 4 π C.x=- 4
答案 C

π B.x= 2 π D.x=- 2
π π π x- )的图像的对称轴为 x- =kπ+ ,k∈ 4 4 2

解析 f(x)=s n ( i

3π π Z,即 x=kπ+ ,k∈Z,当 k=-1 时,x=- . 4 4
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5.(1 22 0· ∈R)为 函 偶数

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天 )设 φ∈R, “φ=0”是“f(x)=c 津 则 o ( s ”的 (

x+φ)(x )

A. 分 不 要 件 充而必条 B. 要 不 分 件 必而充条 C. 分 要 件 充必条 D. 不 分 不 要 件 既充也必条
答案 A 解析 先求出 f(x)是偶函数的等价条件, 再从充分性、 必要

性两个方面判断.因为 f(x)是偶函数?φ=kπ,k∈Z,所以“φ =0”是“f(x)是偶函数”的充分而不必要条件.
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例 1 求下列函数的周期: 1 y=| ( ) n 2 i s x|;
2

2 y=2 3s xc x+2 ( ) n o i s c o s

x-2.

π 【解析】 1 画图知 T= . ( ) 2 2 y=2 ( ) n 2 ( i s ∴T=π. π x+ )-1. 6

π 【答案】 1 2 2 ( ) π ( )
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探究 1 求 角 数 小 周 的 本 法 两 : 是 三函最正期基方有种一 将所给函数化为 y=As n ( i ωx+φ)的 式 二 利 图 的 本 形;是用像根

特征,作出图像,观察得出.

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思考题 1 ________.
【答案】 T=π

1 f(x) =n| ( ) i s

x - c x| 的 最 小 正 周 期 为 o s

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2 若 f(x)=s ωx(ω> 在[ ( ) n i 0 ) 1 0 ] , 则 ω 的取值范围是________.

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上至少存在 50 个最小值点,

【解析】 由 f(x)=s ωx(ω> 的图像知 n i 0 )

在[ 1 0 ] ,

上至少存在 50 个最小值点,

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∵一个周期内有一个最小值点, 3T 199T 199 2π ∴1≥49T+ 4 = 4 = 4 · . ω 199 ∴ω≥ π. 2 199 【答案】 ω≥ 2 π 【讲评】 ω 的值与周期有关,熟练掌握一个周期内的单
调性、最值性、对称性等性质.

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例 2 判断下列函数的奇偶性: 1 f(x)=s ( ) n ( i 2 f(x)=xs ( ) n 5 ( i π 3x 3π 4 + 2 ); -x).

【解析】 1 ∵x∈R,f(x)=s ( ) n ( i

3x 3π 3x o s 4 + 2 )=-c 4 ,

3?-x? 3x ∴f(-x)=-c o s o s 4 =-c 4 =f(x). ∴函数 f(x)=s n ( i 3x 3π 4 + 2 )为偶函数.
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2 f(x)=xs ( ) n π ( i f(-x)=(-x) n ( i s

-x)=xs x, n i -x)=xs x=f(x). n i

∴f(x)为偶函数.
【答案】 1 偶函数 2 偶函数 ( ) ( )

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探究 2 三 函 型 偶 判 可 借 定 外 还 以 角数奇性断以助义,可 借助其图像的性质,对 y=As n ( i ωx+φ), 入 代 x=0,若 y=0 为

奇函数,若 y 为最大或最小则为偶函数.

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思考题 2 1 y=s ( ) n ( i 2 y=s ( ) n 2 ( i 3 y=t ( ) a n (

判断下列函数奇偶性:

π x+4); π x+2); x-3 . π )

【答案】 1 非奇非偶 2 偶函数 3 奇函数 ( ) ( ) ( )

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例 3 1 求函数 f(x)=s ( ) n 2 ( i 2 设函数 y=s ( ) n 2 i x+ac o 2 s

π x- )的对称中心和对称轴方程. 6 π x 的图像关于直线 x=- 对称, 6

求 a 的值. π 【解析】 1 分析:利用三角函数的图像,把 2x-6看做 ( )

一变,换的法对中或称方,可考 个量用元方求称心对轴程也以 虑 y=s x 与 y=s n i n 2 ( i 对称中心.
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π x-6)的 系利 变 的 想 对 轴 关 ,用 换 思 求 称 与

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π 设 A=2x- ,函 则数 6

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方一 法

y=s A 对 中 为 n i 称心

(kπ, 0),

π kπ π 即 2x- =kπ, x= + . 6 2 12 对轴程 称方为 所 y=s 以 n 2 ( i 对轴 称为 π π π k 2x- = +kπ,x= + π. 6 2 3 2 π x- )的 称 心 对中为 6 π k x= + π(k∈Z). 3 2 kπ π ( + ,0). 2 12

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π π 方法二 由 2x-6=2(x-12),知 y=s n 2 ( i =s n 2 i π x 图像向右平移了 个单位. 12

π x-6)图像是由 y

π 所以对称轴与对称中心也相应地向右平移12个单位. π 而 y=s x 的对称中心(kπ,0),对称轴方程为 x=kπ+ , n i 2 所以 y=s n 2 ( i π kπ π x-6 )的周期为 π,对称中心为( 2 +12 ,0),对称

π kπ 轴方程为 x=3+ 2 (k∈Z).
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2 分析:利用对称的定义或利用对称轴的位置特征求解. ( ) 方法一 因为 y=s n 2 i x+ac o 2 s x= 1+a2n 2 ( i s x+θ),其中

π θ 由 a θ=a 确定.又图像关于 x=- 对称, n t 6 π 故在 x=- 处,函数应取得最大或最小值. 6 π 所以 x=- 时,y=s n i 6
? π? ?- ? +ac o s ? 3? ? π? ?- ? ? 3?

3 1 3 2 =- 2 +2a=± 1+a ,解得 a=- 3 .

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方法二 因为函数 f(x)=s n 2 i π =-6对 .以 称所 到

x+ac o 2 s

x 的像于线 图关直

x

π x=-6 距离相等的 x 值对应函数值相等. 即

π π f(-6+x)=f(-6-x)对定义域内任何值都成立. π π 令 x= ,得 f( =f(- ). 0 ) 6 3 所以 0+a=s n ( i 3 解得 a=- . 3 2π - 3 )+ac o ( s 2π - 3 ).

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π 方法三 ∵函数关于 x=-6对称,

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π π ∴x=-6为函数的极值点,∴f′(-6)=0. 即(2 2 c o s ∴c o ( s x-2as n 2 i π -3)-as n ( i π x)|x=- =0. 6 π -3)=0.

3 ∴a=- 3 . kπ π 【答案】 1 对称中心为( + ,0), 称 方 为 ( ) 对轴程 2 12

π x= 3

kπ + (k∈Z) 2

3 2 a=- ( ) 3
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探究 3 求函数 y=As n ( i 往转化为解方程问题.

ωx+φ)的 称 心 称 问 往 对中、 轴题 对

1 ∵y=s x 的对称中心是(kπ,0), ( ) n i ∴y=As n ( i ωx+φ)的 心 由 程 中,方 ωx+φ=kπ 解出 x 即可.

π 2 ∵y=s x 的对称轴是 x=kπ+ ,k∈Z, ( ) n i 2 π ∴ωx+φ=kπ+2解出 x,即为函数 y=As n ( i 轴. ωx+φ)的对称

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思考题 3 __________.

1 函数 y=t ( ) a n (

x π 2 +3 )的图像的对称中心为

2π 【答案】 (kπ- ,0),k∈Z 3
2 函数 y=s ( ) n 2 ( i x+θ)为偶函数的充要条件为__________. π 【答案】 θ=2+kπ(k∈Z)

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例 4 求下列函数的单调减区间: 1 y=c ( ) o ( s π -2x+3);

x x 2 y=s 2+c 2; ( ) n i o s 3 ( )
? y=-?n i s ?

π? ?x+4??. ?

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【解析】 1 ∵y=c ( ) o s

? π? ?-2x+ ?=c o s 3? ?

? π? ?2x- ? , 3? ?

π ∴由 2kπ≤2x-3≤2kπ+π(k∈Z), π 2π 得 kπ+6≤x≤kπ+ 3 (k∈Z).
? π 2π? 即所求单调减区间为?kπ+6 ,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ?

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x x 2 y=s +c = 2s ( ) n i o s n ( i 2 2

x π + ), 2 4

π x π 3π 由 2kπ+2≤2+4≤2kπ+ 2 ,
? π 5 ? 得原函数的单调减区间为?4kπ+2,4kπ+2π?(k∈Z). ? ?

3 ( )

? π π? 画图知单调递减区间为?kπ-4,kπ+4?(k∈Z). ? ?

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【答案】 1 ( ) 2 ( ) 3 ( )

? π 2π? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z) 6 3? ?

? π 5 ? ?4kπ+ ,4kπ+ π?(k∈Z) 2 2 ? ? ? π π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) 4 4? ?

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探究 4 由 角 数 调 问 , 遵 简 化 则 将 三函单性题应循单原, 解析式先化简,并注意复合函数单调性的规律.本例( 易出现 1 ) 以下错解: ∵y=c x 的单调减区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z, o s π ∴2kπ≤-2x+ ≤2kπ+π. 3 π π ∴-kπ- ≤x≤-kπ+ . 3 6
? π π? ∴单调减区间为?kπ-3 ,kπ+6?(k∈Z). ? ?

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为避上错的现我通要诱公把 了免述误出,们常用导式 As n ( i

y=

ωx+φ)式中的 ω 化成大于 0 的形式,然后再求单调区间,

利用了整体代换思想设 ωx+φ=X.

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思考题 4 1 求函数 y=t ( ) a n ( 2 求函数 f(x)=2 ( ) n i s xc x-2s o s c o

π 4-x)的单调区间.
2

x+2 的 调 间 单区.

【解析】 1 y=-t ( ) a n (

π x- ),此函数只有单调递减区间, 4

π π π π 由 kπ- <x- <kπ+ ,得原函数的单调递减区间为(kπ- ,kπ 2 4 2 4 3 + π k∈Z). ( ) 4

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2 f(x)=s ( ) n 2 i π -4)+1. x-(1+c o 2 s x)+2=s n 2 i

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x-c o 2 s

x+1= 2s n 2 ( i

x

π π 3π 3π 7π 由2+2kπ≤2x- 4≤ 2 +2kπ, 8 +kπ≤x≤ 8 +kπ. 得 ∴递 区 减间 3π 7π [ 8 +kπ, 8 +kπ],k∈Z.

π π π 由 2+2kπ≤2x- 4≤2+2kπ, - π 3π 得 +kπ≤x≤ +kπ. - 8 8 ∴f(x)的 增 间 递区为 π 3π [-8+kπ, 8 +kπ],k∈Z.
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【答案】 1 ( )

π 3 kπ- ,kπ+ π k∈Z) ( ) 4 4

π 3π 2 增区间[- +kπ, +kπ],k∈Z, ( ) 8 8 3 7 减区间[ π+kπ, π+kπ k∈Z) ( ] 8 8

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1.三角函数的最小正周期的求法有: 由定义出发去探求;根据图形去判断;化成 y=As n ( i φ),或 y=At a n ( 来确定等. 2. 断 数 奇 性 应 判 函 定 域 对 性 注 判 函 的 偶 ,先 定 数 义 的 称 . 意函的、、、仍偶数复函在合程 偶数和差积商为函;合数复过 中,对每个函数而言,“同奇才奇,一偶则偶”.
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ωx+

ωx+φ)等 型 , 基 结 类 后用 本 论

2π π T= ,或 T= |ω| |ω|

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3. 角 数 调 间 确 , 般 将 数 化 基 三 三 函 单 区 的 定一 先 函 转 为 本 角函数标准式,即 y=As n ( i ωx+φ)形 , 定 助 导 式 式一借诱公把

ω>0,把 ωx+φ 作为一整体,考虑 A 的符号. 4. 数 函 y=As n ( i ωx+φ)的图像与 x 轴 每 个 点 为 的一交均其 (x,± A)的点与 x 轴垂直的每一

对中,过图上标 称心经该像坐为

条直线均为其图像的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的 绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).

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1.列 数 ,期 下 函 中周 为 A.y=s n 2 ( i C.y=s n ( i
答案 A

π π π,在 [ , ]上为减函数的是( 且 4 2 B.y=c o 2 ( s D.y=c o ( s π x+ ) 2 π x+ ) 2
π x+ )=c o 2 s 2

)

π x+ ) 2 π x+ ) 2

解析 对于选项 A,意 注到

y=s n 2 ( i

x 的周期为

π π π,且在[ , ]上是减函数,故选 A. 4 2
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天津文)已知函数 f(x)=2 n ( i s

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2.(1 2· 0

ωx+φ),x∈R, 中 其 π x=2 时,f(x) ( )

ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π, 当 且 取得最大值,则 A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[ ,5 上是减函数 3 π π ] D.f(x)在区间[ ,6 上是减函数 4 π π ]
答案 A
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解 析

∵f(x)的 小 周 为 最正期

1 π 6π,∴ω=3,∵当 x=2 时 ,

1 π π π f(x)有最大值,∴ × +φ= +2kπ(k∈Z),φ= +2kπ,∵- 3 2 2 3 π π<φ≤π,∴φ= .∴f(x)=2 n ( i s 3 间[-2π,0]上 增 数 而 区 是函,在间 没调,区 单性在间 x π + ), 此 数 像 得 在 由函图易,区 3 3 [-3π, π]或[ ,5 上 - 3 π π 均 ] A.

4 ,6 上 单 增 数 故 [ π π 是调函.选 ]

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3. 知 已 的是

π α、β∈(2 ,π),且 c α+s β>0, 下 式 成 o s n i 则列子立 ( 3π B.α+β> 2 3π D.α+β< 2 )

A.α+β< π 3π C.α+β= 2
答案 D

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解 析 线知 ,

n β>-c α, n β> i s o s 即i n s ( i s

π α- )在 位 中 出 弦 单圆画正 2

π β+(α- < , D. ) π 选 2

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4.(1 22 0·

新课标全国理)已知 ω>0,函数 f(x)=s n ( i

π ωx+ ) 4 ( )

π 在(2,π)单调递减,则 ω 的取值范围是 1 5 A.[ 2,4] 1 C.(0, ] 2
答案 A
解析 方法一 (特值法)

1 3 B.[2,4] D.( 2 0 ] ,

当 ω=1 时,满足条件,当 ω=2 时,不满足条件, ∴选 A.
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方法二 函数 f(x)=s n ( i

π ωx+4)的图像可看作是由函数 y= π x+ )的 像 再 所 图,将 4

π n x 的图像先向左平移 个单位得 y=s i s n ( i 4

1 得图像上所有点的横坐标缩小到原来的 倍(纵坐标不变)得到 ω 的而数 ,函 y=s n ( i π π 5π x+4 )在[ 4, 4 ]上 调 减 所 要 函 单递,以使数 ?π 1 π ?4×ω≤2 , ? 5π 1 ? × ≥π, ?4 ω

f(x)=s n ( i

π π ωx+4)在(2,π)上 调 减需 足 单 递 ,满



1 5 得2≤ω≤4.
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5. 设函数 y=2 n 2 ( i s

π x+ )的图像关于点 P(x0,0)成中心对称, 3

π 若 x0∈[- ,0],则 x0=______. 2 π 答案 -6

解析 因为图像的对称中心是其与 x 轴的交点,所以由 y =2 n 2 ( i s π π π x+3)=0,x0∈[-2,0],得 x0=-6.

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6. 函 设数

f(x)=s n ( i

3x+φ) 0 ( <

φ< ,若函数 f(x)+f′(x) π )

是奇函数,则 φ=________.

2π 答案 3
解析 n 2 ( i s 由题意得 f′(x)= 3c o ( s 3x+φ),f(x)+f′(x)= π π 3x+φ+3)是奇函数,因此 φ+3=kπ(其中 k∈Z),φ=kπ

π 2π -3,又 0<φ<π,所以 φ= 3 .

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7.(1 22 0· 其中 ω> 0 .

重庆)设 f(x)=4 c o ( s

π ωx-6n i) s

ωx-c o 2 ( s

ωx+π),

1 求函数 y=f(x)的值域; ( ) 3π π 2 若 f(x)在区间[- 2 ,2]上为增函数,求 ω 的 大 . ( ) 最值

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3 1 解析 1 f(x)=4( c ωx+ n ωx) ( ) o s i s n i s 2 2 =2 3s ωxc ωx+2 n i o s n i s = 3s n 2 i ωx+1, ωx≤1, 以 数 所函
2

ωx+c o 2 s
2

ωx

ωx+c o s

2

ωx-s n i

ωx

因为-1≤s n 2 i + 3].

y=f(x)的值域为[1- 3,1

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π π 2 因 y=s x 在每个闭区间[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z)上为增 ( ) n i 2 2 函数,故 f(x)= 3s n 2 i kπ π kπ ωx+1(ω> 在每个闭区间[ - , + 0 ) ω 4ω ω

π ](k∈Z)上为增函数. 4ω

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3π π kπ π kπ π 依题意知[- 2 ,2]?[ - , + ]对某个 k∈Z 成立, ω 4ω ω 4ω π ? 3π ?- 2 ≥-4ω, 此时必有 k=0,于是? π π ? ≤ , ?2 4ω 1 1 解得 ω≤6,故 ω 的最大值为6.

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