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江西省抚州市临川十中2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理


临川十中 2015 届高二数学理科期中考试题
一.选择题(每小题只有一个答案正确,每小题 5') 1. 下列有关命题的说法正确的是
2





A.“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

8. 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 A1B1 与直线 BC 的距离相等,则动点 P 所在曲线的形状为 ( )

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. D.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

2. 若 A, B 是椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的上下顶点, C , D 是该椭圆的两个焦点,则以 A, B, C , D 为 顶点的 四边形的面积为( ) A. 24 B. 30 C. 48 D.
2 2

60
3. 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体, 其三视图如右图,若图中圆的半径为1,等腰三 角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积为( ) 9. 直线 y ? x ? b 与曲线 2 y ? A. [?2 5,5)

20 ? x 2 有两个不同的公共点,则实数 b?(
C. [?2 5, 2 5]

) D.

2? 3 C. 2?
A.

4? 3 D. 4?
B. ) C. (
3 1 , , 3) 2 2

B. (?5,5)

[2 5,5)
10. 如图在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,∠DAB 为直角, AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F 分别为

4.已知向量 a, b, c 是空间的一个单位正交基底,若向量 P 在基底 a , b, c 下的坐标为 (2,1,3) ,那 么向量 P 在基底 a ? b, a ? b, c 下的坐标为(
3 1 , , 3) 2 2 5 1 ( , ? , 3) 2 2

PC、CD 的中点;PA=kAB (k ? 0) ,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30°,则 k 的取值范围是(
2 15 15 2 15 C. 0 ? k ? 15

)

A. (?

B. (?

3 5 , , 3) 2 2

D.

A. k ?

2 15 5 2 15 D. 0 ? k ? 5

B. k ?

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1? ?9 ? k ? 25 ? 的( 5. 曲线 25 9 25 ? k 9 ? k
A.实轴长相等 等 B.虚轴长相等 C.离心率相等

) D.焦距相 )

二.填空题(每小题 5') 11. 抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离是 ______
2
2

__.

6. 已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a .若?AOB为直角三角形, 则必有 (
3

?

?

A. b ? a

3

B. b ? a
3

?

3

??b ? a ? ?

3

1? ? ??0 a?

x ? 2 y 2 ? 1 的左右顶点,点 M 在椭圆上(异于 A, B ),直线 AM , BM 的 2 斜率分别为 k1 , k 2 ;则 k1 ? k2 ? ______ __. r r r r ?2 ?2 13.已知空间向量 a ? (2, ? y, 2), b ? (4, 2, x) , a ? b ? 44 ,且 a ? b , x, y ? R ,
12. 已知 A, B 是椭圆 则 x ? y 的值为______ 14. 已知圆 C : x
2 2

1 1 3 ?0 D. b ? a ? a a 7. 如右图,平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,以顶点 A 为端点的
C. b ? a ? b ? a ?
3

__.

? ? y ? 3? ? 4 ,点 A?0,?3? , M 是圆上任意一点,线段 AM 的中垂线 l 和直
__.
2

D1

C1 B1

线 CM 相交于点 Q ,则点 Q 的轨迹方程为______

三条棱长都等于 1,且它们彼此的夹角都是 60 ,则 A1 到平面

0

ABCD 的距离为( 1 A. 2
6 C. 3

)

A1

15. 已知实系数方程 x +(1+a)x+1+a+b=0 的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率,则 值范围是______ __.

b 的取 a

5 B. 3 6 D. 4

D
C

A

B
-1-

三.解答题(解答题必须要写演算步骤,证明过程,文字说明) 16. 已知三点 P(5, 2)、F1 (?6, 0)、F2 (6, 0) (1)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)设点 P、F1、F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P?, F1?, F2? ,求以 F1?, F2? 为焦点且过点 P? 的双曲线 的标准方程.

20. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两不同的点。 P 为弦 AB 的中点。 25 9
4

(1)若直线 l 的斜率为 5 ,求点 P 的轨迹方程。 4 3 ( ,? ) (2)是否存在直线 l ,使得弦 AB 恰好被点 3 5 平分?若存在,求出直线 l 的方程 ,若不存 在,说明理由.

18. 如图直三棱柱 ABC ? A?B?C? 的侧棱长为 3 , AB ? BC ,且 AB ? BC ? 3 ,点 E , F 分别是棱

AB, BC 上的动点,且 AE ? BF . (Ⅰ)求证:无论 E 在何处,总有 CB? ? C?E ; (Ⅱ)当三棱锥 B ? EB?F 的体积取得最大值时,异面直 线 A?F 与 AC 所成角的余弦值.

A?

B?

C?
21. 如图,左边四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, DB ? 2, DC ? 1, BC ? 5,

A
E
19. 在直角梯形 PBCD 中, ?D ? ?C ?

C

AB ? AD ? 2. 将左图沿直线 BD 折起,使得二面角 A ? BD ? C 为 60?, 如右图
(1)求证: AE ? 平面 BDC; (2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值.

B

F

?
2

, BC ? CD ? 2, PD ? 4 ,A 为 PD 的中点,如下左图。
1 SD ,如下右图。 3

将 ?PAB 沿 AB 折到 ?SAB 的位置,使 SB ? BC ,点 E 在 SD 上,且 SE ?

(1)求证: SA ? 平面 ABCD; (2)求二面角 E—AC—D 的余弦值; (3)在线段 BC 上是否存在点 F,使 SF//平面 EAC?若存在,确定 F 的位置, 若不存在,请说 明理由。

-2-

-3-

姓名______ _____ 座位号________ __ ?????????????? 订 ???????????? 线??????????

临川十中 2013-2014 学年上学期期中考试 高二数学 答 题 卷

座位号

一、选择题(5′×10=50′) 题号 1 2 3 答案

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题(5′×5=25′) 11. ; 12. 13.

14.



15.

.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16.(本小题满分 12 分) 18.(本小题满分 12 分)

A?

B?

C?

A
E

C

班级______ ____ ??????????????? 装

B

F

17.(本小题满分 12 分)

19.(本小题满分 12 分)

-4-

20.(本小题满分 13 分)

临川十中 2015 届高二数学期中考试试题 (理科)参考答案 一.选择题 1 2 C A 二.填空题 21.(本小题满分 14 分) 3 B 4 C 5 D 6 B 7 C 8 C 9 D 10 A

?????

-5-

1 11. 8
三.解答题

12.

?

1 4

13. ?4

x2 14. y ? ?1 8
2

1 15. (?2, ) ? 2

19. 解法一:(1)证明:在上左图中,由题意可知, BA ? PD, ABCD 为正方形, 所以在上右图中, SA ? AB, SA ? 2 , 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 因为 SB ? BC ,AB ? BC, 所以 BC ? 平面 SAB, (2 分) 又 SA ? 平面 SAB, 所以 BC ? SA, 又 SA ? AB, 所以 SA ? 平面 ABCD, (4 分) (2) 在 AD 上取一点 O,使 AO ? 因为 SE ?

16. (1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为 2a=|PF1|+|PF2|= 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 .

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0),其半焦距 c=6. a 2 b2

∴a= 3 5 ,b2=a2-c2=45-36=9,所以所求方程为

x2 y 2 ? ?1. 45 9

(2)点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为 P′(2,5)、F′1(0,-6)、

F′2(0,6).
y 2 x2 设所求双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a1>0,b1>0). a1 b1

1 AD ,连接 EO。 3

由题意知,半焦距 c1=6, 2a1=||P′F′1|-| P′F′2||=| 112 ? 22 - 12 ? 22 |=4 5 . ∴a1=2 5 , b12 ? c12 ? a12 =36-20=16.所以所求方程为
y 2 x2 ? ?1. 20 16

所以 EO ? 平面 ABCD, 过 O 作 OH ? AC 交 AC 于 H,连接 EH, 则 AC ? 平面 EOH, 所以 AC ? EH。 所以 ?EHO 为二面角 E—AC—D 的平面角,

1 SD ,所以 EO//SA 3

2 4 SA ? . 3 3 在 Rt?AHO 中, EO ?
2 2 2 ? ? . 3 2 3 EO EH ? HO 2 ? EO 2 ? 2 , tan ?EHO ? ?2 2, OH HO 2 1 1 COS ?EH 0 ? ? : 2 ? 即二面角 E—AC—D 的余弦值为 EH 3 3 3 ?HAO ? 45?, HO ? AO ? sin 45? ?
. (3)当 F 为 BC 中点时,SF//平面 EAC, 理由如下:取 BC 的中点 F,连接 DF 交 AC 于 M, 连接 EM,AD//FC,

(10 分)

18.(Ⅰ) ? BB?C?C 是正方形,? B?C ? BC? 又? AB ? BC, BB? ? AB ,? AB ? 平面BB?C?C

? B?C ? AB ? B?C ? 平面ABC? ,又?C?E ? 平面ABC? ? B?C ? C?E
2 (Ⅱ)设 AE ? BF ? m 三棱椎 B? ? EBF 的体积为 V ? 1 m(3 ? m) ? (m ? 3 ? m) ? 9 . 2 4 8

FM FC 1 SE 1 ? ? ,又由题意 ? MD AD 2 ED 2 SF//EM,又 SF ? 平面 EAC,
所以 所以 SF//平面 EAC,即当 F 为 BC 的中点时, SF//平面 EAC (14 分) 解法二:(1)同方法一 (4 分) (2)如图,以 A 为原点建立直角坐标系, A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2),E(0,

3 即点 E , F 分别是棱 AB, BC 上的中点时,体积最大,则 2 3 2 3 5 9 cos ?A?FE 为所求;? EF ? , AF ? A?E ? , A?F ? , 2 2 2 2 ? cos ?A?FE ? ?12 分 2
当m ? ,故当 m ?

3 时取等号 2

2 4 , ) 3 3
易知平面 ACD 的法向为 AS ? (0,0,2)
-6-

设平面 EAC 的法向量为 n ? ( x, y, z )

(2)以 E 为原点建立如图示的空间直角坐标系,则 A(0,0,

3 1 ), C (?1, ,0) , 2 2

1 1 B(1, ? ,0), D(?1, ? ,0) ,(8 分),设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 2 2 ???? 2x ? 0 ? ? ?n ? DB ? 0 ? 由 ? ??? 得? 1 ,取 z ? 3 ,则 y ? ?3,? n ? (0, ?3, 3) . ? 3 z?0 ?n ? DA ? 0 ? x ? y ? ? ? 2 2 ???? ???? ???? 1 3 n?AC 6 ???? ? ? (11 分) ? AC ? (?1, , ? ),? cos ? n, AC ?? 2 2 4 | n || AC |

故直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值为

2 4 AC ? (2,2,0), AE ? (0, , ) 3 3 ?n ? AC ? 0 ? 由? , ?n ? AE ? 0 ? ?x ? 2 ?x ? y ? 0 ? 所以 ? ,可取 ? y ? ?2 ? y ? 2z ? 0 ?z ? 1 ?
所以 n ? (2,?2,1). 所以 cos ? n, AS ?? (7 分)

10 . 4

(12 分)

n ? AS | n || AS |

?

2 1 ? 2?3 3
(10 分)

即二面角 E—AC—D 的余弦值为 (3)设存在 F ? BC , 所以 SF//平面 EAC, 设 F (2, a,0)

1 3

所以 SF ? (2, a,?2) ,由 SF//平面 EAC, 所以 SF ? n ? 0 ,所以 4 ? 2a ? 2 ? 0, 即 a ? 1 ,即 F(2,1,0)为 BC 的中点 (14 分) 20.(1)点 P 的轨迹方程为: 9 x ? 20 y ? 0 ( ?4 ? x ? 4 ) (2)存在,直线 l 的方程为: 12 x ? 15 y ? 25 ? 0

1 21. (1)取 BD 中点 F ,连结 EF , AF ,则 AF ? 1, EF ? , ?AFE ? 60? , (2 分),由余弦定理知 2
1 3 ?1? AE ? 12 ? ? ? ? 2 ?1? cos 60? ? ,? AF 2 ? EF 2 ? AE 2 ,? AE ? EF ,(4 分),又 BD ? 平面 2 2 ?2? (6 分) AEF , ? BD ? AE, AE ? 平面 BDC ;
2

-7-



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