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高中数学人教A版必修5同步课件:2.4 第1课时《等比数列的概念与通项公式》_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·必修5 第二章 数 列 第二章 2.4 等比数列 第1课时 等比数列的概念与通项公式 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 我们古代数学名著《孙子算经》 中有一个有趣的问题叫“出门望 九堤”:“今有出门望九堤,堤有 九木,木有九枝,枝有九巢,巢有 九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有 九色,问各有几何?”上述问题中的各种东西的数量构成了怎 样的数列? 1.还记得等差数列的定义吗?从________起,每一项与其 前一项的差________的数列,称为等差数列. 2.等差数列的通项公式:______,是关于n的________. 3.还记得指数型函数吗?________. [ 答案 ] 1. 第 2 项 等于同一个常数 2.an = a1 + (n - 1)d 一次函数式 3.y=c·ax(a>0且a≠1) 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项 的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常 an 数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母 q 表示(q≠0). 即: an-1 =q(n≥2,q≠0,n∈N*). an+1 注意: (1) 等比数列的定义可简述为 a = q(q 为常数, n q≠0). ①由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不能 为 0,因此 q 也不能为 0. an+1 ② a 均为同一常数,即比值相等,由此体现了公比的意 n 义,同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项之比, 不能前后颠倒次序. (2) 如果一个数列不是从第 2 项起,而是从第 3 项或第 n(n>3, n∈N*)项起, 每一项与它的前一项的比都是同一个常数, 此数列不是等比数列,但是可以说此数列从第 2 项起或第(n- 1)项起是一个等比数列. (3)常数列都是等差数列,却不一定都是等比数列.例如, 各项都为 0 的常数列,它就不是等比数列;各项都不为 0 的常 数列就是等比数列. 观察下面几个数列,其中一定是等比数列的有哪些? (1)数列 1,2,6,18,54,?; a2 a3 (2)数列{an}中,已知a =2,a =2; 1 2 (3)常数列 a,a,?,a,?; an+1 (4)数列{an}中, a =q,其中 n∈N*. n [ 解析] (1)不符合等比数列的定义,故不是等比数列. (2)不一定是等比数列, 当数列只有三项时, 它是等比数列; a4 当数列多于 3 项时, 故它不一定是等比数列. a3不一定也等于 2, a (3)不一定是等比数列.当 a=0 时,a无意义,它不是等比 a 数列;当 a≠0 时,a=1,数列是等比数列. an+1 (4)是等比数列.等比数列的定义用符号表示就是 a =q(n n ∈N*). 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),则等比数列 {an}的通项公式为 an=a1· qn-1(n∈N*). 等比数列的通项公式的推导方法如下: (1)归纳法:由定义很容易知道 a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4 =a3q=a1q3,?. 归纳得等比数列的通项公式为 an=a1· qn-1. an (2)累乘法:设等比数列{an}中, =q(n≥2), an-1 an-1 a2 a3 an 那么a =q,a =q,?, =q, =q. an-2 an-1 1 2 an-1 an a2 a3 将以上这(n-1)个式子相乘,得 a × a ×?× × = a a - - 1 2 n 2 n 1 qn-1, an ∴a =qn-1,∴an=a1· qn-1. 1 (3)迭代法:∵数列{an}是等比数列, ∴an=an-1q=an-2q· q=an-2q2=an-3q· q2=an-3q3=?=a1qn -1 . 注意:(1)等比数列通项公式的推导方法,体现了从特殊到 一般的思想. (2)已知等比数列的首项和公比,可以求得该数列中的任意 一项. (3)在等比数列中,若已知 a1,q,n,an 四个量中的三个, 就可以求出另一个量. a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an=( q )q , 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n,an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限,即这些点在曲线 y=( q )q 上,因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式. 已知等比数列{an}中, a1=-2, a3=-8, 则 an=________. [ 答案] [ 解析] -2n 或(-2)n -8 设公比为 q, 则 a3=a1q , ∴q = =4, ∴q=± 2. -2 2 2 ∴an=(-2)×2n-1 =-2n 或 an=(-2)×(-2)n-1 =(-2)n. 3.等比中项 (1)定义:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成 等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. G b (2)公式:若 G 是 a 与 b 的等比中项,则 a =G,所以 G2= ab,G=± ab. 注意:(1)在一个等比数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项. (2)当 a,b 同号时,a,b 的等比中项有两个,异号时,没 有等比中项.所以“a,G,b 成等比数列”与“G= ab”是不 等价的. 方程 x2-5x+4=0 的两根的等比中项是( 5 A.2 C.± 5 B.± 2 D.2 ) [ 答案] B [ 解析] 设方程的两根为 x1、x2,由韦达定理,得 x1x2=4, ∴两根的等比中项为± x1x2=± 2. 课堂典例探究 等比数列通项公式 已知等比数列{an}, 若 a1+a2+a3=7, a1a2a3=8, 求 an. [ 分析] (1)


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